張 晉， 黃世軍， 程林松

（中國石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院，北京 102249）

天然裂縫儲層壓裂定向井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量的蒙特卡洛計(jì)算

張 晉， 黃世軍， 程林松

（中國石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院，北京 102249）

針對各向異性天然裂縫儲層，蒙特卡洛隨機(jī)模擬天然裂縫分布，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度表征天然裂縫參數(shù)，根據(jù)勢疊加原理，把天然裂縫和人工裂縫當(dāng)成獨(dú)立的源進(jìn)行勢疊加，考慮天然裂縫和人工裂縫的耦合作用，建立壓裂定向井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量計(jì)算公式.計(jì)算結(jié)果表明，基于蒙特卡洛的天然裂縫模擬能從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度反映產(chǎn)量變化趨勢，能快速分析壓裂定向井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能.

天然裂縫；定向井；壓裂；產(chǎn)量計(jì)算；蒙特卡洛

0 引言

隨著油氣資源開發(fā)難度的加大，低滲透油氣藏已成為油氣田開發(fā)的主要對象.水力壓裂能增大泄流面積，溝通天然裂縫形成縫網(wǎng)，進(jìn)一步增加產(chǎn)量，已經(jīng)成為低滲透油藏開發(fā)的常規(guī)工藝［1－2］.對于海上低滲透油藏叢式井，受經(jīng)濟(jì)和技術(shù)因素的限制，多為壓裂大斜度井.關(guān)于天然裂縫性油藏的研究，Warren和Root［3］建立雙重介質(zhì)理論模型，Kazemi［4－5］、Sonier［6］等人在此基礎(chǔ)上將模型擴(kuò)展到二維和三維流動，模擬了全區(qū)油藏實(shí)際模型.Baca等［7］，Kim和Deo［8］，Karimi Fard和Firoozabadi［9］，黃朝琴［10］等基于有限元方法發(fā)展了離散網(wǎng)絡(luò)模型，相比于雙重介質(zhì)模型能更精確描繪每條裂縫.雙重介質(zhì)模型和離散網(wǎng)絡(luò)模型均能良好的模擬常規(guī)天然裂縫，但是對于低滲透油藏壓裂后形成復(fù)雜裂縫的情況處理困難，精度有限.馮金德等［11］運(yùn)用等值滲流阻力法處理天然裂縫，建立了裂縫性低滲透油藏穩(wěn)態(tài)滲流的理論模型.程林松等［12］根據(jù)裂縫性油藏水平井滲流特征，建立了考慮天然裂縫和水平井生產(chǎn)段共同滲流的耦合模型.Qin G等［13］通過蒙特卡洛方法模擬分析了體積改造（SRV）的產(chǎn)能規(guī)律，這三個(gè)模型均能有效分析天然裂縫儲層產(chǎn)能規(guī)律，但對于定向井壓裂成傾斜裂縫，無法處理.對于天然裂縫地層，定向井（斜井）壓裂產(chǎn)能及增產(chǎn)機(jī)理仍沒有一個(gè)系統(tǒng)完善的研究，因此從理論上研究天然裂縫儲層中定向井壓裂產(chǎn)能對大斜度壓裂叢式井的開發(fā)具有指導(dǎo)意義.

1 天然裂縫的模擬

在漫長的地質(zhì)年代中，構(gòu)造運(yùn)動、卸載作用和內(nèi)部流體作用等使得巖體內(nèi)部和表面產(chǎn)生大量各種類型的不連續(xù)結(jié)構(gòu)面，即天然裂縫.實(shí)踐中可以通過儀器測量了解天然裂縫的分布和形態(tài)特征，但是這樣費(fèi)時(shí)費(fèi)力、成本高且難以識別更微小的裂隙情況.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，逐漸發(fā)展用計(jì)算機(jī)表征天然裂縫的形態(tài)，包括整體的裂隙分布情況和裂隙面的凹凸情況等.

根據(jù)已有的巖體裂隙研究成果以及地質(zhì)工程實(shí)踐可知［14］，巖體裂隙的幾何要素一般都具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律，服從某一種或幾種類型的概率分布.一般來說，裂隙的條數(shù)依據(jù)其密度服從Poisson隨機(jī)過程；裂隙中心點(diǎn)位置服從研究域內(nèi)的均勻分布；產(chǎn)狀（走向和傾角）通常服從Bingham分布、單變量或雙變量Fisher分布、雙變量正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布、均勻分布等；跡長（半徑）和隙寬服從負(fù)指數(shù)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布.

蒙特卡洛原理是通過對模型和過程的觀察或者抽樣試驗(yàn)來計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，從而解決工程等方面的實(shí)際問題.對于蒙特卡洛模擬，首先是要構(gòu)造和描述概率過程.蒙特卡洛模擬基于各種概率分布的隨機(jī)變量，其中最重要的隨機(jī)變量是［0，1］隨機(jī)分布，其他分布的抽樣都是借助它來實(shí)現(xiàn).計(jì)算機(jī)上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)是通過迭代產(chǎn)生的，其結(jié)果不是隨機(jī)的，但是迭代過程開始前每一項(xiàng)都不能預(yù)知，大量這樣的數(shù)能夠通過局部隨機(jī)性檢驗(yàn)就可以作為隨機(jī)數(shù)來使用，即偽隨機(jī)數(shù).這樣的方法借助于迭代公式，速度快、費(fèi)用低廉［15］.其次，根據(jù)天然裂縫統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)回歸出概率分布的參數(shù)，將天然裂縫半徑、位置、數(shù)量、傾角和走向用隨機(jī)函數(shù)表征，通過計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一定分布的隨機(jī)數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)天然裂縫的模擬.

國內(nèi)外裂隙表征模型有三大類：力學(xué)模型，幾何模型和幾何力學(xué)模型.為了能方便計(jì)算產(chǎn)能，運(yùn)用Baecher圓盤模型［16］，裂縫半長，空間位置，產(chǎn)狀，裂縫密度（條數(shù)）各自服從一定的概率分布.根據(jù)統(tǒng)計(jì)天然裂縫的數(shù)據(jù)，回歸出各參數(shù)服從的概率分布參數(shù)，然后根據(jù)蒙特卡洛隨機(jī)模擬出天然裂縫的參數(shù)和分布位置.

假設(shè)某區(qū)塊天然裂縫的密度（條數(shù)）服從泊松分布，裂縫半徑服從對數(shù)正態(tài)分布，產(chǎn)狀（傾角和走向）服從雙變量正態(tài)分布，天然裂縫圓盤中心坐標(biāo)服從均勻分布.蒙特卡洛隨機(jī)模擬兩種產(chǎn)狀情況下天然裂縫分布結(jié)果如圖1所示.

圖1 天然裂縫模擬圖Fig.1 Simulation of natural fractures

2 天然裂縫儲層壓裂定向井產(chǎn)量模型

2.1 壓裂定向井勢函數(shù)

室內(nèi)真三軸模擬壓裂實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)定向井水力壓裂裂縫起裂及擴(kuò)展的一些規(guī)律［17］：當(dāng)定向井方位沿最大水平主應(yīng)力方向，裂縫沿最大水平主應(yīng)力方向起裂，且不發(fā)生偏轉(zhuǎn)；當(dāng)定向井沿最小水平主應(yīng)力方向，發(fā)生裂縫轉(zhuǎn)向；裂縫轉(zhuǎn)向后仍會沿最大主應(yīng)力方向擴(kuò)展.

為簡化模型，便于推導(dǎo)，將裂縫簡化成沿井筒的平面，裂縫沿最大主應(yīng)力方向延伸.其假設(shè)為：①油藏為均質(zhì)、等厚各向異性無限大地層，其中各向異性滲透率Kx＝Ky＝Kh，Kz＝Kv；②單相不可壓縮流體，油藏中滲流符合達(dá)西定律；③在任意x-y平面上，壓裂裂縫總是沿最大水平主應(yīng)力方向延伸（設(shè)為x方向）；④忽略重力和井筒沿程壓力損失的影響；⑤忽略裂縫內(nèi)的流動，流體流到裂縫即當(dāng)作流入了井筒；⑥裂縫段井筒為生產(chǎn)段，裂縫為傾斜縫；⑦井筒簡化成直線，裂縫簡化成平面；

根據(jù)勢疊加［18－20］，整個(gè)裂縫面在無限大地層中任意點(diǎn)M（x，y，z′）所產(chǎn)生的勢為

2.2 天然裂縫勢函數(shù)

含天然裂縫的儲藏，水力壓裂后產(chǎn)生非常復(fù)雜的裂縫網(wǎng)絡(luò)，將三維面勢疊加模型運(yùn)用于水力壓裂裂縫／天然裂縫系統(tǒng)，為簡化物理模型，假設(shè)天然裂縫連接主裂縫，流體從儲藏流入天然裂縫后流入主裂縫；對于人工壓裂的主裂縫，流體來自儲藏和連接的天然裂縫，然后主裂縫中流體流入井筒.對于未與人工裂縫連接的天然裂縫，當(dāng)成孤立裂縫，不影響壓裂定向井產(chǎn)能［21］.每個(gè)水力壓裂裂縫和天然裂縫是彼此相互獨(dú)立的源，運(yùn)用疊加原理可計(jì)算壓力和產(chǎn)量.

圖2 天然裂縫與人工裂縫耦合圖Fig.2 Coupled natural and artificial fractures

設(shè)計(jì)算法，將與人工裂縫交叉的天然裂縫選出來，如圖2（b），只有這部分的天然裂縫與人工裂縫溝通，流體可以通過這部分的天然裂縫流入人工裂縫，最終流入井筒，而空間中其他天然裂縫則為孤立裂縫，文中忽略這部分的裂縫對產(chǎn)能的影響.與人工裂縫交叉的天然裂縫可以作為單獨(dú)的源與人工裂縫一起進(jìn)行勢疊加，計(jì)算圓盤的勢.

對于圓盤做勢疊加，其勢函數(shù)為

式中有，xf＝Rkcosθ cost cosα＋Rksint sinα＋x0；yf＝－Rkcosθ cost sinα＋Rksint cosα＋y0；zf＝Rkcost sinθ＋z0．其中－π≤t≤π，0≤k≤1，（x0，y0，z0）為圓盤的圓心坐標(biāo)，（xf，yf，zf）為天然裂縫上任意點(diǎn)的坐標(biāo)，θ為圓盤天然裂縫的傾角，α為圓盤天然裂縫的走向，R為圓盤裂縫的跡長即半徑.

3 模型驗(yàn)證與敏感性分析

采用某油田的油藏參數(shù)（如表1所示），根據(jù)概率分布參數(shù)，隨機(jī)模擬天然裂縫，通過與人工裂縫一起進(jìn)行勢疊加，從而計(jì)算各自產(chǎn)量以及總產(chǎn)量.10次隨機(jī)模擬取產(chǎn)量平均數(shù)，如圖3所示.

用式（1）計(jì)算該壓裂定向井產(chǎn)量（即不考慮天然裂縫），得產(chǎn)量為4.68 m3·d－1，現(xiàn)場數(shù)據(jù)中缺乏對天然裂縫的統(tǒng)計(jì)，用假設(shè)的天然裂縫參數(shù)隨機(jī)模擬計(jì)算，得產(chǎn)量為6.77 m3·d－1，實(shí)際產(chǎn)量為6.1 m3· d－1，與蒙特卡洛隨機(jī)模擬結(jié)果接近.（1）式忽略了天然裂縫的貢獻(xiàn)，計(jì)算產(chǎn)量偏小，蒙特卡洛法假設(shè)裂縫無限導(dǎo)流，計(jì)算產(chǎn)量偏高，蒙特卡洛法計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值更為接近.此外，蒙特卡洛模型中誤差也來源于天然裂縫統(tǒng)計(jì)，并存在一定的隨機(jī)性.

表1 油藏參數(shù)Table 1 Reservoir parameters

圖3 產(chǎn)量敏感性分析圖Fig.3 Analysis of production sensitivity

如圖3（a）所示，隨著裂縫半長的增加，人工裂縫產(chǎn)量呈直線上升趨勢，天然裂縫產(chǎn)量和總產(chǎn)量由于模擬的隨機(jī)性，呈波動直線上升趨勢，天然裂縫與人工裂縫對產(chǎn)能貢獻(xiàn)比值在0.4左右波動，沒有明顯的變化趨勢.這是因?yàn)殡S著裂縫半長的增加，人工裂縫泄油面積增加，與人工裂縫相交的天然裂縫數(shù)量也線性增長，模型假設(shè)中天然裂縫和人工裂縫均作為獨(dú)立的源進(jìn)行勢疊加，所以兩者產(chǎn)量上升而比值不變.

如圖3（b）所示，隨著滲透率非均質(zhì)性程度增加，人工裂縫產(chǎn)量，天然裂縫產(chǎn)量和總產(chǎn)量均呈下降趨勢，且當(dāng)非均質(zhì)性較弱時(shí)產(chǎn)量下降快，天然裂縫與人工裂縫對產(chǎn)能貢獻(xiàn)比值在0.4左右波動，無明顯變化趨勢.這說明儲層各向異性對人工裂縫和天然裂縫產(chǎn)量影響很大，各向異性越強(qiáng)產(chǎn)量越低.模型假設(shè)中天然裂縫和人工裂縫均作為相同的源進(jìn)行勢疊加，所以兩者產(chǎn)量下降而比值不變.

如圖3（c）所示，隨著井斜角的增加，人工裂縫產(chǎn)量，天然裂縫產(chǎn)量和總產(chǎn)量均呈上升趨勢，且人工裂縫產(chǎn)量上升比天然裂縫快，天然裂縫貢獻(xiàn)比重有小幅下降趨勢.這是因?yàn)榫苯窃黾邮沟萌斯ち芽p面積越大，勢函數(shù)越大，產(chǎn)量越高，而人工裂縫面積越大，則與人工裂縫交叉的天然裂縫數(shù)量越多，天然裂縫產(chǎn)量也越大，但是人工裂縫產(chǎn)量增加更多，因此天然裂縫與人工裂縫產(chǎn)量比重有所下降.

如圖3（d）所示，隨著天然裂縫數(shù)量的增加，天然裂縫產(chǎn)量急劇上升，在300 m×300 m×30 m范圍內(nèi)天然裂縫數(shù)量達(dá)到12 000條左右時(shí)，天然裂縫貢獻(xiàn)產(chǎn)能部分超過了人工裂縫.如圖3（f）和圖3（g）所示，天然裂縫走向和傾角對產(chǎn)量影響不大，這是因?yàn)殡S著走向的變化，天然裂縫與人工裂縫相交的概率并沒有隨之增加.

4 結(jié)論

天然裂縫對產(chǎn)能的貢獻(xiàn)不可忽略，分析復(fù)雜裂縫網(wǎng)絡(luò)對產(chǎn)能的影響后可得到以下結(jié)論：

1）通過蒙特卡洛隨機(jī)模擬天然裂縫儲層，從統(tǒng)計(jì)規(guī)律角度表征天然裂縫具有實(shí)際意義.

2）通過計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬的方式分析天然裂縫儲層穩(wěn)態(tài)產(chǎn)量不僅經(jīng)濟(jì)而且省時(shí)，人工裂縫與天然裂縫耦合，能快速分析壓裂定向井穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能.

3）天然裂縫儲層壓裂定向井產(chǎn)能影響因素中，天然裂縫密度是最重要的影響因素.壓裂及井身設(shè)計(jì)時(shí)，為提高產(chǎn)量，可在經(jīng)濟(jì)允許條件下增大裂縫半長和井斜角.

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Monte Carlo Calculation of Stable Productivity of Fractured Directional Wells in Natural Fracture Reservoirs

ZHANG Jin，HUANG Shijun，CHENG Linsong
（College of Petroleum Engineering，China University of Petroleum（Beijing），Beijing 102249，China）

We focus on anisotropic reservoir with natural fractures，and simulate distribution of natural fracture with Monte Carlo.It characterizes natural fracture parameters from the perspective of statistics.Coupled natural and artificial fractures are considered as independent sources.A formula of steady production is derived according to potential superposition principle.It shows that Monte Carlo simulations of natural fractures reflect trends of productivity from a statistical point of view.It analyzes quickly steady productivity of fractured directional well.

natural fracture；directional well；fracture；productivity calculation；Monte Carlo

date：2013－10－11；Revised date：2014－01－27

TE319

A

2013－10－11；

2014－01－27

國家自然科學(xué)基金（51174215／E0403）資助項(xiàng)目

張晉（1990－），男，湖南湘鄉(xiāng)人，碩士生，主要從事油氣田開發(fā)與滲流機(jī)理研究，E-mail：zhangjin_1990＠foxmail.com

1001-246X（2014）05-0567-06