吳金濤， 侯 健，*， 陸雪皎， 于 波

（1.中國石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東青島 266580；2.中國石油大學(xué)（華東）理學(xué)院，山東青島 266580）

注氣驅(qū)替煤層氣數(shù)值模擬

吳金濤1， 侯 健1，*， 陸雪皎1， 于 波2

（1.中國石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東青島 266580；2.中國石油大學(xué)（華東）理學(xué)院，山東青島 266580）

建立一種注氣驅(qū)替煤層氣的雙重介質(zhì)數(shù)學(xué)模型，考慮注氣驅(qū)替煤層氣中多組分氣體滲流、吸附／解吸、擴散及孔隙度和滲透率敏感性等多物理場的耦合，用有限差分方法對數(shù)學(xué)模型數(shù)值求解，并驗證模型的有效性.通過實例模擬，對比分析注入CO2、N2和70%N2＋30%CO2提高采收率、產(chǎn)出組分動態(tài)及儲層物性.計算表明：注入CO2、N2及其混合氣體均能顯著提高煤層氣藏采收率，提高程度可達(dá)28%以上；N2在注入后迅速突破產(chǎn)出，而CO2突破時間較晚；注氣后基質(zhì)的收縮／膨脹效應(yīng)在孔隙度和滲透率敏感性中起主導(dǎo)作用，CO2吸附造成孔隙度和滲透率減小，而N2吸附將增大孔隙度和滲透率.

煤層氣；注氣；數(shù)學(xué)模型；數(shù)值模擬

0 引言

目前北美、澳大利亞、中國已經(jīng)進入煤層氣商業(yè)化開發(fā)階段，隨著世界范圍內(nèi)煤層氣開發(fā)力度的加大和煤層氣開發(fā)技術(shù)研究的不斷深入，通過注入CO2、N2提高煤層氣采收率（Enhanced coalbed methane，ECBM）越來越受到重視.自1996年美國圣胡安盆地Burlington's Allison試驗區(qū)進行世界上首個注CO2提高煤層氣采收率（CO2-ECBM）礦場試驗以來［1］，國內(nèi)外多位學(xué)者通過室內(nèi)實驗和數(shù)值模擬的手段對注氣驅(qū)替煤層氣進行分析和預(yù)測［2－4］.我國于2003年開始在沁水盆地南部進行了CO2-ECBM單井微型先導(dǎo)試驗［6］.

煤層氣藏的儲集主要以CH4在煤巖基質(zhì)中的吸附為主，煤層氣藏的初次開采通過降低煤巖儲集層的壓力達(dá)到CH4從基質(zhì)解吸產(chǎn)出的目的.注入CO2或N2可以降低煤巖中CH4氣體組分分壓，促進CH4解吸；同時能夠保持儲層壓差，加速解吸CH4的滲流速度［7］.注氣驅(qū)替煤層氣是多物理場耦合的過程，既包含氣相和水相在煤巖割理系統(tǒng)中的滲流、煤巖基質(zhì)中氣體多組分的吸附／解吸和擴散，還包括煤巖有效應(yīng)力和基質(zhì)收縮導(dǎo)致的孔隙度和滲透率變化等.本文建立一種多物理場耦合的注氣驅(qū)替煤層氣的數(shù)學(xué)模型，力求全面、準(zhǔn)確地反映主要機理，通過數(shù)值模擬計算，分析對比注入CO2和N2的增產(chǎn)效果.

1 基本數(shù)學(xué)模型

基于如下假設(shè)，建立注氣驅(qū)替煤層氣數(shù)學(xué)模型：

1）煤巖中存在基質(zhì)和割理兩個系統(tǒng)，符合Warren-Root雙重介質(zhì)假設(shè)［8］；

2）割理中流體為氣、水兩相，流體流動滿足Darcy定律；

3）氣體通過吸附賦存于基質(zhì)中，并通過擴散與割理系統(tǒng)發(fā)生物質(zhì)交換；

4）模型忽略毛細(xì)管力和氣體在水中溶解的影響，水不可壓縮.

考慮氣相中氣相多組分和水相單組分條件，割理系統(tǒng)內(nèi)的物質(zhì)平衡方程可表示為

式中，ρg和ρw為氣相和水的密度，kg·m－3；ωi為氣體i組分的質(zhì)量分?jǐn)?shù)；μg和μw為氣相和水的粘度，Pa·s；kf為割理滲透率，m2；krg和krw為割理中氣相和水相的相對滲透率，小數(shù)；pw為水的壓力，Pa；pg為氣相壓力，Pa；g為重力加速度；D為煤巖深度，m；qmgi和qmw為氣體i組分和水相源匯項，kg·（m3·s）－1；γmi為氣體i組分的吸附／解吸擴散量，kg·（m3·s）－1；sg和sw為氣相和水相的飽和度，小數(shù)；φf為割理孔隙度，小數(shù).

1.1 基質(zhì)吸附／解吸擴散方程

由于大部分CH4賦存于煤巖基質(zhì)中，基質(zhì)吸附CO2和N2、解吸CH4的速率直接影響煤層氣藏的產(chǎn)出動態(tài).煤巖基質(zhì)中氣體的吸附／解吸擴散可采用Fick第二定律的擬穩(wěn)態(tài)過程進行描述［9］

式中，Vmi為基質(zhì)內(nèi)i組分的平均濃度，m3·m－3；VEi為基質(zhì)表面i組分的吸附濃度，m3·m－3；δ為基于Warren-Root雙重介質(zhì)假設(shè)定義的基質(zhì)形狀因子［8］，m－2；Di為基質(zhì)內(nèi)i組分的有效擴散系數(shù)，m2·s－1.通常將1／δDi定義為吸附／解吸時間i，并由實驗測定.

擴展的Langmuir等溫吸附方程能夠較為準(zhǔn)確地擬合多元氣體在煤巖基質(zhì)中的吸附特性［10］，其方程形式可表示為

式中，Vadsi為i組分的吸附量，m3·m－3；VLi為i組分的Langmuir體積，m3·m－3；yi為i組分的摩爾分?jǐn)?shù)，小數(shù)；pLi為i組分的Langmuir壓力，Pa；Nc為氣體組分?jǐn)?shù).

以Law等提供Langmuir氣體吸附常數(shù)為例［11］，煤巖對于CH4、CO2、N2的等溫吸附曲線如圖1所示，多組分狀態(tài)下CH4的等溫吸附曲線如圖2所示.

圖1 煤巖對CH4、CO2和N2的等溫吸附曲線［11］Fig.1 Isothermal adsorption of CH4，CO2and N2in coal［11］

圖2 多組分狀態(tài)下煤巖對CH4的等溫吸附曲線［11］Fig.2 Isothermal adsorption of CH4in coal under multiple components condition［11］

從圖1可以看出煤巖對氣體的吸附能力的順序為CO2＞CH4＞N2.多氣體組分的存在將導(dǎo)致組分間在煤巖基質(zhì)孔隙表面的競爭吸附，CH4所占據(jù)的吸附面積減少，吸附量下降.圖2反映出由于CO2比N2的吸附能力更強，相同組分濃度下，CO2導(dǎo)致的CH4吸附量的降低幅度大于N2.

式（4）的求解需已知初始時刻氣體組分濃度Vmi0及不同時刻VEi的值.在初始時刻氣體飽和吸附條件（割理中存在自由氣）下，Vmi0等于初始系統(tǒng)壓力下甲烷的吸附量；VEi對應(yīng)于割理氣體壓力pg和組分濃度yi下的平衡吸附濃度.

基質(zhì)與割理之間i組分的質(zhì)量交換可表示為

式中，ρi為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下i組分的密度，kg·m－3.

1.2 孔隙度和滲透率的敏感性模型

煤巖具有較大的變形特性，割理孔隙度和滲透率與孔隙壓力間呈現(xiàn)相互影響的耦合過程，其敏感性受兩方面因素的影響.一方面，隨孔隙壓力的降低（或升高）而發(fā)生的儲層壓實作用導(dǎo)致割理孔隙度和滲透率的減?。ɑ蛟龃螅?另一方面，隨孔隙壓力和氣體組分的變化，基質(zhì)內(nèi)不同氣體組分的解吸／吸附引起的基質(zhì)收縮／膨脹效應(yīng)將造成割理孔隙度和滲透率的變化；單組分氣體條件下，隨孔隙壓力的降低（或升高），基質(zhì)隨氣體的解吸（或吸附）發(fā)生上述（或膨脹），割理孔隙度和滲透率增大（或減小）.考慮恒定上覆巖層壓力和單軸應(yīng)變條件，煤巖有效水平應(yīng)力的變化可表示為［12］

式中，ν為煤巖的泊松比，無量綱；E為煤巖的楊氏模量，Pa；αsi為i組分吸附的基質(zhì)體積收縮系數(shù)，無量綱；pg0為儲層初始條件下割理中氣體的壓力，Pa；Vmi0為儲層初始條件下基質(zhì)內(nèi)i組分的平均濃度，m3·m－3.

儲層孔隙度和滲透率的變化與有效水平應(yīng)力的變化呈指數(shù)關(guān)系，如

式中，cf為孔隙體積壓縮系數(shù)，Pa－1.

1.3 氣相性質(zhì)參數(shù)描述

1）混合氣體密度的計算

Peng-Robinson狀態(tài)方程因其方程形式簡單和可靠的預(yù)測精度而被廣泛地應(yīng)用于石油和天然氣行業(yè).本文采用Peng-Robinson方程計算混合氣體的密度，方程形式如下［13］

式中，T為溫度，K；Tc為臨界溫度，K；pc為臨界壓力，Pa.α（T）項與溫度有關(guān)，可由下式計算［14］

式中，ω是偏心因子；Tr為對比溫度，K.

對于混合氣體，Peng-Robinson方程的相關(guān)參數(shù)a和b需要通過混合法則由各組分的相關(guān)參數(shù)值求取，混合規(guī)則如下［15］

式中，Cij和Dij分別為二元交互作用系數(shù)，與溫度有關(guān)，通常由實驗測定.為簡化模型，兩參數(shù)均取值0.計算單組分氣體a、b參數(shù)所需的氣體常數(shù)由表1給出.

表1 單組分氣體常數(shù)［15］Table 1 Pure gas constants［15］

2）氣相粘度的計算

Wilke方程適用于兩種及兩種以上多組分氣體粘度的計算［16］，采用該方法計算混合氣體粘度，方程形式如下

式中，μgi為i組分氣體的粘度，Pa·s，是溫度和壓力的函數(shù).

3）氣體Langmuir體積的修正

儲層條件下煤巖基質(zhì)具有一定水分含量，氣體在基質(zhì)中的吸附受其影響造成Langmuir體積較干燥條件下減小，模型中對氣體組分的Langmuir體積采用如下修正［17－18］

式中，Vdi為干燥煤巖的Langmuir體積，m3·m－3；B為水分含量乘子，無量綱；m為基質(zhì)水分含量（質(zhì)量分?jǐn)?shù)），%.

2 數(shù)學(xué)模型的求解方法

本文采用有限差分方法對上述模型進行數(shù)值求解.首先根據(jù)物質(zhì)平衡方程求解壓力，將式（1）和式（2）差分離散，壓力取為隱式，飽和度及其它函數(shù)取為顯式.方程合并消去飽和度項和組分質(zhì)量分?jǐn)?shù)項，得到壓力的差分方程有

式中，Δt為時間步長，s；上標(biāo)n，n＋1表示第n和n＋1時刻；下標(biāo)i，j，k表示坐標(biāo)i，j，k網(wǎng)格；Tg，Tw為氣相和水相的質(zhì)量傳導(dǎo)率，i網(wǎng)格方向值可根據(jù)（20）式求取，其中l(wèi)＝g或w；Vb為網(wǎng)格體積，m3；Gg和Gw為重力傳導(dǎo)項，Qmg和Qmw為網(wǎng)格源匯項，Γm為網(wǎng)格氣體吸附／解吸擴散項，ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa－1.

在忽略水的壓縮性的條件下，綜合壓縮系數(shù)由孔隙的敏感性和氣體的壓縮性決定，兩者均為壓力的函數(shù).ct可由式（21）確定：

由式（19）組成的線性方程組可用預(yù)處理的共軛梯度法求解，得到當(dāng)前時刻各網(wǎng)格點的壓力.然后將壓力值帶入水相差分方程中，顯式求得當(dāng)前時刻的飽和度：

得到氣、水兩相的壓力和飽和度值后，根據(jù)氣組分差分方程求取各氣體組分的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，如式（23）所示.各個網(wǎng)格的氣體摩爾組成可由質(zhì)量分?jǐn)?shù)值求得.

3 模型檢驗

Law等人對比了GEM、ECLIPSE、COMET2、SIMED II、GCOMP五款商業(yè)軟件對注CO2驅(qū)替煤儲層氣的模擬結(jié)果［11］.為檢驗本文方法的有效性，將其與Law等人的模擬結(jié)果進行對比.所采用的模型規(guī)模為50.294 m ×50.294 m×9 m，一注一采對角布井；割理孔隙度0.001，滲透率3.65×10－3μm2；原始地層壓力7.65 MPa；初始含水飽和度0.592；煤層溫度45℃；CH4、CO2、N2在干燥煤巖中的Langmuir體積分別為21.80 m3·m－3、44.45 m3·m－3、21.51 m3·m－3，Langmuir壓力分別為4.689 MPa、1.903 MPa、27.241 MPa.

由于考慮基質(zhì)水分對吸附能力影響，Law等人在模擬過程中將Langmuir體積賦值為干燥煤巖的77.68%.采用本文模型模擬計算時，該參數(shù)按照Law等人實際輸入?yún)?shù)為準(zhǔn).圖3～圖6給出了模擬結(jié)果的對比，可以看出，本文模型與已有商業(yè)軟件的模擬結(jié)果能夠較好地吻合，從而驗證了本文方法的有效性.

圖3 單排采和注CO2驅(qū)替中CH4產(chǎn)量Fig.3 Methane production rates in primary production and CO2injection

圖4 注CO2驅(qū)替中CO2產(chǎn)量和總氣體產(chǎn)量Fig.4 CO2and total gas production rates in CO2injection

圖5 注CO2驅(qū)替中產(chǎn)出氣體組分濃度Fig.5 Produced gas component concentrations in CO2injection

圖6 注CO2驅(qū)替中注入井底壓力Fig.6 Injection bottom-hole pressures in CO2injection

4 計算實例及結(jié)果分析

模擬計算中建立了三維均質(zhì)儲層，采用五點法布井，平面網(wǎng)格劃分和井位設(shè)置如圖7所示，注采范圍500 m×500 m，煤層厚度7.0 m，儲層物性和流體參數(shù)采用Law等人數(shù)據(jù)［11］.實際煤層氣藏開采初期一般經(jīng)歷排水降壓生產(chǎn)，同時產(chǎn)量出現(xiàn)峰值.為了貼合這一實際過程，初始含水飽和度取0.9，三年后開始注氣.同時設(shè)定基質(zhì)水分含量為0.96%，水分含量乘子為0.3；各組分的吸附／解吸時間均為5.0 d；孔隙體積壓縮系數(shù)為1.45×10－2MPa－1；基質(zhì)楊氏模量為2 900 MPa，泊松比為0.35.

為模擬對比注入不同氣體對煤層氣提高采收率的效果，分別注入CO2、N2和70%CO2＋30%N2.井的工作條件為：生產(chǎn)井最大產(chǎn)水量10 t·d－1，最低井底壓力0.2 MPa；注入井最大注氣量20 000 m3·d－1，最高井底壓力7.65 MPa.

圖8和圖9分別為CH4日產(chǎn)量和采出程度的變化曲線，可以看出注入CO2、N2或其混合氣體后，CH4產(chǎn)量將大幅度提高；單排采氣13年后采出程度在70%左右，注氣后提高采出程度28%以上.

圖7 模擬網(wǎng)格劃分及井位分布Fig.7 Grid system and well location in simulation

圖8 不同注入組分下的煤層氣產(chǎn)量Fig.8 Methane production rates with gas composition injections

圖9 不同注入組分下的煤層氣采出程度Fig.9 Methane recovery with gas composition injections

圖10 注入CO2后產(chǎn)出氣體組分變化Fig.10 Evolution of produced gas composition with CO2injection

圖10～圖12給出了注入不同組分氣體后產(chǎn)出氣體組分隨時間的變化，模擬結(jié)果表明，N2在注入后很早突破產(chǎn)出，CO2在注入近5年后才發(fā)生突破，注入混合氣體過程中發(fā)生了明顯的色譜分離現(xiàn)象，即N2突破很長時間后CO2才開始產(chǎn)出.從圖13注氣后割理氣相中CH4摩爾分?jǐn)?shù)的分布可以看出，注CO2過程中注入氣體有明顯的推進前緣，由于CO2的吸附能力遠(yuǎn)大于CH4，CO2波及區(qū)域基質(zhì)中的CH4被快速置換出來，而相應(yīng)的CO2突破時產(chǎn)出氣體組分濃度呈驟變的形式；而N2在三種氣體組分中的吸附能力最差，其促進CH4解吸主要通過降低CH4組分分壓，加速CH4解吸的速率較慢，因此注N2后產(chǎn)出氣體組分的變化呈現(xiàn)漸變趨勢.

圖14和圖15顯示了不同注入組分下割理平均孔隙度和滲透率的變化，反映了氣體組分對孔隙度和滲透率敏感性的影響.雖然注入氣體后割理孔隙壓力回升，但由于煤巖基質(zhì)對CO2的吸附能力遠(yuǎn)大于CH4，基質(zhì)的收縮／膨脹作用占主導(dǎo)作用，所以注入CO2后割理孔隙度和滲透率將減??；而N2在基質(zhì)中有相對CH4

較小的吸附能力，在促進CH4解吸的同時使基質(zhì)內(nèi)氣體的吸附量降低，基質(zhì)的收縮效應(yīng)造成割理孔隙度和滲透率的增大程度較單排開采時高.

圖11 注入N2后產(chǎn)出氣體組分變化Fig.11 Evolution of produced gas compositions with N2injection

圖12 注入70%CO2＋30%N2后產(chǎn)出氣體組分變化Fig.12 Evolution of produced gas compositions with 70%CO2＋30%N2injection

圖13 注氣后割理中CH4摩爾分?jǐn)?shù)分布Fig.13 Distribution of CH4mole fraction in cleat after gas injections

圖14 割理平均孔隙度變化Fig.14 Evolution of average porosity in cleat

圖15 割理平均滲透率變化Fig.15 Evolution of average permeability in cleat

5 結(jié)論

1）建立注氣驅(qū)替煤層氣開采的數(shù)學(xué)模型，較全面地考慮了注氣驅(qū)替煤層氣過程中的多組分氣體滲流、吸附、擴散以及孔隙度和滲透率敏感性等主要機理的耦合過程，給出數(shù)值求解方法，實現(xiàn)了實例模擬計算.模擬結(jié)果表明，使用注入CO2、N2及其混合氣體能夠大幅度提高煤層氣藏的采收率.

2）N2注入后會很早發(fā)生突破，CO2注入后突破時間較晚，注入混合氣體時會發(fā)生產(chǎn)出氣體組分的色譜分離現(xiàn)象.CO2在儲層中有明顯的推進前緣，突破時產(chǎn)出氣體組分呈驟變形式；N2突破產(chǎn)出后，產(chǎn)出氣體組分呈漸變趨勢.

3）注氣后基質(zhì)的收縮／膨脹作用在割理孔隙度和滲透率的敏感性中占主導(dǎo)作用，注CO2驅(qū)替割理孔隙度和滲透率將減小，注N2過程中表現(xiàn)出相反變化.

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Numerical Simulation of Coalbed Methane Displacement with Gas Injection

WU Jintao1， HOU Jian1， LU Xuejiao1， YU Bo2
（1.College of Petroleum Engineering，China University of Petroleum，Qingdao 266580，China；2.College of Science，China University of Petroleum，Qingdao 266580，China）

A double medium mathematical model for coalbed methane displacement with gas injection is established.Multi-physics coupling process containing Darcy flow，adsorption／desorption and diffusion of multiple component gas and variation of porosity and permeability is involved.The model is solved numerically with finite difference method and validity of the model is verified.In example simulation calculations，improved recovery，evolution of produced gas composition and variation of coal seam properties under injection of CO2、N2and 70%N2＋30%CO2are contrastively analyzed.It indicates that injections of CO2、N2and their mixed gas are able to improve coalbed methane recovery significantly by a degree over 28%.N2breaks through rapidly after injected，while CO2occurs in production well later.Shrinkage／swell effect plays a dominant role in variation of porosity and permeability after gas injection. Adsorption of CO2reduces porosity and permeability，while adsorption of N2leads their increase.

coalbed methane；gas injection；mathematical model；numerical simulation

date： 2013－11－18；Revised date： 2014－04－09

TD712.6；P61.11

A

2013－11－18；

2014－04－09

山東省自然科學(xué)杰出青年基金（JQ201115）；新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃（NCET-11-0734）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金（13CX05007A）；中國石油大學(xué)（華東）自主創(chuàng)新科研計劃（13CX06031A）及中國石油科技創(chuàng)新基金（2012D-5006-0207）資助作者簡介：吳金濤（1988－），男，山東鄒城，碩士生，主要從事油氣滲流理論與應(yīng)用研究，Email：wjtwave＠gmail.com *通訊作者：侯?。?972－），男，四川營山，教授，博士，從事油藏數(shù)值模擬、三次采油及油藏工程方案設(shè)計研究

1001-246X（2014）06-0681-09