莫卓凱，董 偉，吳智敏，曲秀華

(大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024）

混凝土KR阻力曲線的實用解析方法

莫卓凱，董 偉，吳智敏，曲秀華

(大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024）

根據(jù)混凝土Ⅰ型裂縫擴展準則，提出了新的KR阻力曲線及計算新方法。該KR阻力曲線認為，裂縫的擴展阻力由混凝土材料起裂斷裂韌度KiniIc和黏聚力提供的阻力組成并等于裂縫擴展的驅(qū)動力。采用該方法，只需給出混凝土的起裂斷裂韌度KiniIc，彈性模量E，抗拉強度ft和斷裂能GF便可計算混凝土的KR阻力曲線，而無需測定試件的荷載-裂縫口張開位移(P-CMOD）全曲線。在此基礎(chǔ)上，研究了混凝土三點彎曲梁試件強度等級從C20到C120的KR阻力曲線，計算了強度相同初始縫高比不同以及初始縫高比相同而試件高度不同的混凝土KR阻力曲線，并探討了各種情況下的斷裂過程區(qū)長度以及黏聚力分布。研究結(jié)果表明：混凝土強度等級提高，KR阻力曲線上升，但其上升幅值逐漸減小，強度等級在C60以后，其上升幅值趨于穩(wěn)定；混凝土的KR阻力曲線存在一定的尺寸效應(yīng)，當韌帶長度足夠大時，KR阻力先增大，而后趨于穩(wěn)定；混凝土強度等級提高，最大完整斷裂過程區(qū)長度減?。辉嚰某叽鐚嗔堰^程區(qū)長度也有著較大影響。

混凝土；KR阻力曲線；斷裂過程區(qū)；裂縫；黏聚力；起裂斷裂韌度

混凝土是一種多相復(fù)合材料，其破壞和斷裂機理非常復(fù)雜。很多大型混凝土結(jié)構(gòu)如混凝土壩等的破壞都是由裂縫引起的，所以研究混凝土結(jié)構(gòu)的裂縫擴展KR阻力曲線有著重要的意義。為了描述裂縫在混凝土材料中的擴展，許多學者開始研究以應(yīng)力強度因子形式描述的裂縫擴展阻力及其相關(guān)特征。

很多學者還對影響混凝土KR阻力曲線的因素進行了研究。徐世烺和H.W.Reinhardt［5］的研究結(jié)果表明，KR阻力曲線與材料本身的特性有關(guān)，與試件的尺寸無關(guān)。S.Kumar和S.V.Barai［11］采用三點彎曲梁試件和緊湊拉伸試件研究了試件型式和試件尺寸對KR阻力曲線的影響，研究發(fā)現(xiàn)KR阻力曲線與試件的型式無關(guān)，但與試件尺寸相關(guān)。徐鋒等［12］根據(jù)試驗測得的P-CMOD曲線，研究了斷裂過程區(qū)長度對KR阻力曲線的影響，發(fā)現(xiàn)KR阻力隨著裂縫擴展而增大，但達到完整斷裂過程區(qū)長度后，會趨于恒定值。

盡管國內(nèi)外對混凝土的KR阻力曲線進行了大量研究，但仍有以下工作要做：①沒有考慮混凝土裂縫擴展中斷裂過程區(qū)的變化；②P-CMOD曲線與斷裂能的取值相互獨立，與實際情況相矛盾；③缺乏對高強混凝土KR阻力曲線方面的研究；④關(guān)于試件尺寸對KR阻力曲線是否存在影響，仍沒有一致的結(jié)論。

針對上述問題，本文基于混凝土裂縫擴展準則，采用解析方法，研究混凝土三點彎曲梁試件強度等級從C20到C120的KR阻力曲線，研究強度相同初始縫高比不同以及初始縫高比相同而試件高度不同的混凝土KR阻力曲線并討論其尺寸效應(yīng)，還對不同情況下的斷裂過程區(qū)長度的變化規(guī)律進行研究。

1 基于裂縫擴展準則的KR阻力曲線

式中：KIP為由外荷載P引起的裂縫尖端應(yīng)力強度因子；KIσ為由黏聚力σ(W）引起的裂縫尖端應(yīng)力強度因子。

而在裂縫擴展過程中，裂縫擴展準則的表達式為［9］：

對比式(2）與式(3），可以得到：

式中：Δa為對應(yīng)于P時的裂縫擴展量。

根據(jù)裂縫擴展準則，外力為裂縫擴展的驅(qū)動力，它克服阻力使裂縫擴展。無論荷載處于上升段還是下降段，都有與其相對應(yīng)的裂縫擴展量Δa，該驅(qū)動力克服阻力使裂縫繼續(xù)擴展，即阻力與驅(qū)動力是相同的。將同一構(gòu)件不同裂縫長度及與其相對應(yīng)的驅(qū)動力所產(chǎn)生的應(yīng)力強度因子建立函數(shù)關(guān)系，即可計算混凝土的KR阻力曲線。

2 KR阻力曲線的實用解析方法

本文采用標準三點彎曲梁試件(見圖1），外力產(chǎn)生的應(yīng)力強度因子KIP(P，Δa）可以由H.Tada等［14］提出的表達式求得：

式中：a為有效裂縫長度；D為試件高度；B為試件厚度；S為試件跨度。

根據(jù)文獻［15］，由黏聚力產(chǎn)生的應(yīng)力強度因子KIσ為：

式中：σ(x）為x處的黏聚應(yīng)力；a0為初始裂縫長度。

根據(jù)P.E.Peterson［16］建議的雙線性軟化本構(gòu)曲線(如圖2所示），σ(x）的表達式如下：

式中：ft為混凝土的抗拉強度；W為裂縫張開位移。

圖1 混凝土三點彎曲梁Fig.1 Three-point bending beam

圖2 雙線性軟化本構(gòu)曲線Fig.2 Curve of bilinear softening traction-separation law

σs，Ws與W0的值可以分別由以下式求出，GF為混凝土的斷裂能：

有效裂縫長度擴展到a時，x處對應(yīng)的裂縫張開位移W可用文獻［15］中的公式求得：

而CMOD的值由H.Tada［14］提出的公式求得：

式中：E為混凝土的彈性模量；λ=(a-H0）/(D+H0）；H0為放置夾式引申儀的刀片邊緣厚度。綜上可得，KIσ可以由式(7）～(12）求得。

3 試驗及結(jié)果分析

3.1 材料參數(shù)的選取

根據(jù)歐洲混凝土模式規(guī)范CEB-FIB Model Code 2010［17］，混凝土的彈性模量E和斷裂能GF可以通過下式求得：

圖3 起裂斷裂韌度分布Fig.3 Initial fracture toughness for different compressive strengths

利用以上材料參數(shù)的公式，得到所需的材料參數(shù)列于表1。采用上節(jié)的解析方法，對3組不同的混凝土試件進行KR阻力曲線計算。

表1 材料參數(shù)Tab.1 The material parameters of concrete

這3組試件分別為：

第1組，同一尺寸不同混凝土強度的試件。強度等級分別為C20，C40，C60，C80，C100和C120的混凝土三點彎曲梁試件。試件尺寸相同，跨度S為800 mm，高度D為200 mm，厚度B為100 mm，初始縫高比a0/D都為0.4。

第2組，同一強度不同縫高比的試件。強度等級均為C40的混凝土三點彎曲梁試件，試件尺寸同第1組一致。而初始縫高比a0/D分別為0.05，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7和0.8。

第3組，同一縫高比不同試件高度的試件。強度等級均為C40的混凝土三點彎曲梁試件，試件初始縫高比a0/D為0.4，試件厚度B為100 mm。試件高度D分別為200，400，600，800，1 000，1 500和2 000，試件的跨高比S/D都為4。

3.2 KR阻力曲線的計算結(jié)果分析

利用上述解析方法，輸入每組所需的材料參數(shù)，即可得到每組KR阻力曲線。

圖4 KR阻力曲線隨強度等級的變化Fig.4 KRcurves for different strength grades

圖5 KIσ曲線隨強度等級的變化Fig.5 KIσcurves for different strength grades

將第2組的KR阻力曲線的計算結(jié)果繪于圖6中。從圖6可知，試件的初始縫高比對混凝土KR阻力曲線有一定的影響，不同試件初始縫高比的KR阻力曲線在Δa/(D-a0）為0.6之前，隨初始縫高比的增大，KR阻力曲線減小，在Δa/(D-a0）為0.6之后，隨初始縫高比的增大，KR阻力曲線增大。

將第3組的KR阻力曲線的計算結(jié)果繪于圖7中。從圖7可知，試件高度對混凝土KR阻力曲線有一定的影響，不同試件高度的KR阻力曲線在Δa/(D-a0）為0.4之前，隨試件高度的增大，KR阻力曲線增大，在Δa/(D-a0）為0.6之后，隨試件高度的增大，KR阻力曲線減小。

圖6 KR阻力曲線隨試件初始縫高比的變化Fig.6 KRcurves for different initial crack length/depth ratios

圖7 KR阻力曲線隨試件高度的變化Fig.7 KRcurves for different depths

總結(jié)第2和第3組的計算結(jié)果，可得出一個結(jié)論：混凝土的KR阻力曲線存在一定的尺寸效應(yīng)。觀察圖6與圖7，發(fā)現(xiàn)試件的韌帶長度越長，其KR阻力曲線越平緩。強度等級為C40，初始縫高比a0為0.2，試件高度D為2 000 mm的混凝土試件的KR阻力曲線如圖8所示。從圖8可知，當韌帶長度足夠長時，KR阻力先增大，而后趨于穩(wěn)定。

圖8 韌帶足夠長時的KR阻力曲線Fig.8 KRcurve for infinite ligament length

3.3 混凝土FPZ(斷裂過程區(qū)）長度的結(jié)果分析

斷裂過程區(qū)(fracture process zone，簡寫為FPZ）是裂縫擴展過程中宏觀裂縫前端的微裂縫區(qū)，斷裂過程區(qū)內(nèi)分布著阻礙裂縫擴展的黏聚力，F(xiàn)PZ的存在是斷裂能和斷裂韌度等斷裂參數(shù)具有尺寸效應(yīng)和邊界效應(yīng)的主要原因。完整FPZ長度是指黏聚力σ從0所對應(yīng)的位置到ft所對應(yīng)的位置之間的長度，F(xiàn)PZ長度的計算就是用有效裂縫長度a減去W0所對應(yīng)位置的裂縫長度，通過上述解析方法可以求得。

將3組試件的計算結(jié)果分別繪于圖9中，可知：斷裂過程區(qū)長度隨著裂縫擴展而發(fā)生變化，先隨著有效裂縫長度的增加而增加，當裂縫尖端張開位移為W0時，達到完整斷裂過程區(qū)長度，然后開始減小。由圖9 (a）可知，混凝土強度提高，最大完整斷裂過程區(qū)長度減小，達到完整斷裂過程區(qū)時的裂縫擴展長度與韌帶長度的比值減??；由圖9(b）可知，試件的初始縫高比增大，最大完整斷裂過程區(qū)長度減小，達到最大完整斷裂過程區(qū)時的裂縫擴展長度與韌帶長度的比值增大；由圖9(c）可知，隨試件高度的增加，最大完整斷裂過程區(qū)長度增大，達到最大完整斷裂過程區(qū)時的裂縫擴展長度與韌帶長度的比值減小。

圖9 FPZ長度隨強度等級、試件初始縫高比及試件高度的變化Fig.9 FPZ lengths for different strength grades，different initial crack length/depth ratios and different depths

裂縫擴展至有效裂縫長度a，會有其對應(yīng)的FPZ長度與黏聚力分布，通過圖2即可確定。選取第2組中初始縫高比為0.05，0.4，0.8的試件，分別繪制FPZ長度與黏聚力分布的變化(見圖10）。圖10(a）與圖10 (b）均分為4個階段：第1階段表示的是裂縫開始失穩(wěn)擴展的時刻(圖(a1）和(b1））；第2階段表示的是起始裂縫尖端的黏聚力減小至0的時刻(圖(a2）和(b2）），即達到最大完整斷裂過程區(qū)長度的時刻；第3階段表示達到最大完整斷裂過程區(qū)長度后，裂縫尖端不受力，黏聚力為0的點后移，F(xiàn)PZ長度開始減小的時刻(圖(a3）和(b3））；第4附件表示的是裂縫擴展到接近試件邊界處的時刻(圖(a4）和(b4））。由于初始縫高比為0.8的試件，韌帶長度過短，不能擴展至完整斷裂過程區(qū)，因此只選取了3個階段：圖(c1）表示的是裂縫開始失穩(wěn)擴展的時刻；圖(c2）表示的是有效裂縫長度a擴展至0.92D的時刻；圖(c3）表示的是裂縫擴展到接近試件邊界處的時刻。

圖10 不同初始縫高比試件的FPZ長度與黏聚力分布的變化Fig.10 Variation of FPZ length and cohesive stress distribution within the FPZ for specimen with different ratios of a0/D

4 結(jié) 語

(1）混凝土強度等級提高，KR阻力曲線上升，但其上升幅值逐漸減小，強度等級達到C60以后，其上升幅值趨于穩(wěn)定。

(2）混凝土的KR阻力曲線存在一定的尺寸效應(yīng)。不同初始縫高比的KR阻力曲線在Δa/(D-a0）為0.6之前，隨初始縫高比的增大，KR阻力曲線減小，在Δa/(D-a0）為0.6之后，隨初始縫高比增大，KR阻力曲線增大；不同試件高度的KR阻力曲線在Δa/(D-a0）為0.4之前，隨試件高度的增大，KR阻力曲線增大，在Δa/(D-a0）為0.6之后，隨試件高度的增大，KR阻力曲線減小。

(3）當韌帶長度足夠長時，KR阻力先增大，而后趨于一穩(wěn)定值。

(4）混凝土強度等級提高，最大完整斷裂過程區(qū)長度減小，達到完整斷裂過程區(qū)時的裂縫擴展長度與韌帶長度的比值減小。

(5）試件的初始縫高比增大，最大完整斷裂過程區(qū)長度減小，達到最大完整斷裂過程區(qū)時的裂縫擴展長度與韌帶長度的比值增大；隨試件高度的增加，最大完整斷裂過程區(qū)長度增大，達到最大完整斷裂過程區(qū)時的裂縫擴展長度與韌帶長度的比值減小。

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A practical analytical approach to determine KR-curves of concrete

MO Zhuo-kai，DONG Wei，WU Zhi-min，QU Xiu-hua
(State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering，Dalian Uniυersity of Technology，Dalian 116024，China）

concrete；KRextension resistance curve；fracture process zone(FPZ）；crack；cohesive force；fracture toughness of concrete cracking

TV431 文獻標心碼：A

1009-640X(2014）03-0009-09

2013-11-05

國家自然科學基金資助項目(51109026）

莫卓凱(1989-），女，湖南益陽人，碩士研究生，主要從事混凝土斷裂機理研究。E-mail：mozhuok@163.com