馬 敏， 趙 亮， 王化祥

（1.中國民航大學航空自動化學院，天津 300300； 2.天津大學電氣與自動化工程學院，天津 300072）

自適應插值算法在圖像修復中的應用研究

馬 敏1， 趙 亮1， 王化祥2

（1.中國民航大學航空自動化學院，天津 300300； 2.天津大學電氣與自動化工程學院，天津 300072）

針對BSCB模型速度慢、整體變分模型易產(chǎn)生階梯效應的缺點，提出了一種基于擴散率函數(shù)的自適應插值算法。該算法利用待修復像素點周圍的已知像素點的梯度權函數(shù)和距離權函數(shù)，對未知像素點進行賦值。實驗結果顯示：將該算法應用到灰度圖像和彩色圖像的修復中，與傳統(tǒng)算法相比所需運算時間短，視覺效果較好，定量評價指標（峰值信噪比）也證明了該算法的有效性。

計量學；圖像修復；偏微分方程；擴散率函數(shù)；自適應插值

1 引 言

圖像修復是指根據(jù)已知信息對數(shù)字圖像中丟失、破損的部分進行還原修復，以恢復其完整性和原有的視覺效果［1］。圖像修復可用于修復圖像劃痕、去除多余物體以及文物保護等多方面，主要有基于紋理和基于非紋理的修復方法［2］。Criminisi等提出了基于紋理的圖像修復方法，在未受損圖像中尋找與受損模塊最為匹配的修復模塊并填充到受損區(qū)域內，從而實現(xiàn)圖像的修復［3，4］，該方法修復過程耗時大、效率低?；诜羌y理的圖像修復的最新方法是基于偏微分方程的方法，包括Bertalmio等人在2000年引入了BSCB模型，Chan和Shen等人基于偏微方程提出了整體變分（total variational，TV）和曲率驅動方法。這類算法可以保持邊緣同時去除噪聲，但是難以得到高效、穩(wěn)定的修復模型［5］。文獻［6］沿Sobel算子確定的邊緣方向進行自適應插值。文獻［7］將逆梯度運算融入傳統(tǒng)的雙線性與雙三次插值方法中，實現(xiàn)了圖像邊緣的銳化。這些插值方法雖可以得到較高的信噪比，但總體來說，這些圖像修復方法運行比較緩慢，且難以恢復紋理細節(jié)。

圖像的修復問題實質上是圖像插值問題，對圖像中已知像素的灰度值采用不同的距離權函數(shù)和梯度權函數(shù)進行運算，并對其賦值，從而得到未知像素的灰度值［8］。針對圖像劃痕等小面積修復情形，本文提出一種基于擴散函數(shù)的自適應插值算法（Adaptive Interpolation，AI）的修復模型，并進行算法實驗，取得了較好的結果。

2 擴散率函數(shù)

作為數(shù)學物理模型，熱傳導方程表示一種傳熱過程。它屬于線性偏微分方程，也被稱為擴散方程［8］。圖像的熱傳導平滑方程為

式中方程的初始條件為I0＝I（x，y，0），通常為輸入的原始圖像。?2為圖像拉普拉斯算子。由于熱傳導方程所描述的是各向同性的擴散過程，所以在圖像平滑過程中，其定位特性較差，在大尺度上所保留的圖像特征的空間位置會發(fā)生漂移，造成區(qū)域邊界的模糊。針對這一問題，Perona和Malik提出了擴散率可變的各向異性擴散方程［9］，

式中：div為散度算子，c（x，y，t）為擴散率函數(shù)，?為梯度算子，I0為方程的初始條件。擴散率函數(shù)是以像素點的梯度||?I（x，y，t）|| 為自變量的單調下降函數(shù)，

其中g（s）為單調下降函數(shù)。對于邊界點等梯度比較大的像素點，擴散率較小，從而平滑功能會減弱，而當灰度值變化較平緩時，梯度值較小，擴散率則會比較大。實際應用中，擴散率函數(shù)通常選擇為

式中參數(shù)λ用來區(qū)分需要不同平滑強度的區(qū)域。

3 算法描述

文獻［8］提出了一種圖像插值放大算法，其主旨是用未知像素周圍原始像素灰度值的加權和來決定待確定像素的灰度值，而各個原始像素的權值由圖像在這一點的歸一化導數(shù)值和它與被插像素之間的距離控制，并且原始像素點與內插像素距離越近，對它的影響就越大。假設插入的像素為α，在α附近有4個原始像素分別為α1，α2，α3，α4，它們之間的位置關系如圖1所示。

圖1 α與αi（i＝1，2，3，4）的位置關系

若用Δxi表示α與αi（i＝1，2，3，4）的水平距離，用Δyi表示兩者垂直方向的距離，則αi對α的影響權值D可以表示為：

本文提出一種將自適應插值用于圖像修復的方法，分別求取待修復區(qū)域像素點周圍的已知像素點的梯度權函數(shù)和距離權函數(shù)，對未知像素點進行賦值。

假設圖I表示一幅受損的灰度圖像，I（x，y）是像素點（x，y）的灰度值，D表示圖像I中待修復區(qū)域。在插值過程中，應充分利用已知像素信息以保證像素值估計的準確性，同時要權衡算法的運算量，因此本文選用了5×5鄰域來為像素點賦值，如圖2所示。

圖2 像素（i，j）的5×5鄰域示意圖

對于區(qū)域內一點（i，j），其灰度值I（i，j）由其5 ×5鄰域內已知像素的灰度值決定，表達式為式中m和n不同時為0。W為各個像素點的梯度權函數(shù)，S為各個像素點的距離權函數(shù)，距離權函數(shù)S的確定引用文獻［7］中的方法

式中Δx（u，v）和Δy（u，v）分別為待確定像素點（u，v）與其鄰域像素點（i，j）之間的垂直距離和水平距離。

由于梯度是表征像素是否在平滑區(qū)域的一個重要物理量，本文的另一個權值引用P-M各項異性擴散模型中的擴散率函數(shù)：

式中Ix（u，v）和Iy（u，v）分別為圖像在像素點α處垂直方向和水平方向的一階導數(shù)。將距離權函數(shù)式（7）與梯度權函數(shù)式（8）帶入式（6）即可計算出插入像素點的灰度值。式中λ為待定參數(shù)，根據(jù)圖像的具體情況取值，λ值越小，越趨向于對邊緣的增強；λ值的增大可加強對圖像的平滑作用。一般取χ＝3修復效果較好。

基于擴散率函數(shù)的圖像修復算法主要步驟如下：

1）輸入待修復圖像I和破損標記mask，其中，mask表示待修復區(qū)域；

2）將破損區(qū)域內像素點置0，其余置1；

3）對于待修復區(qū)域內的每個像素，計算出其5 ×5鄰域內所有已知像素的距離權值和梯度權值。

4）利用式（6）～式（8）求出待修復像素點（m，n）的灰度值I（m，n）；

5）重復步驟2）～步驟4），直到所有未知像素均被確定，輸出修復后的圖像I。

4 實驗及結果分析

本文以MATLAB2009a為平臺，在PC機（Intel（R）Core（TM）2 Duo CPU E4500，2.20 GHz，1 G內存）上對自適應插值算法進行實現(xiàn)，取參數(shù)λ＝3，并與經(jīng)典的的BSCB算法和基于TV模型的圖像修復方法進行比較。

本文采用峰值信噪比（PSNR）、耗時2個指標對所修復圖像進行科學的評估。峰值信噪比（PSNR）為：式中：U為原圖像；U1為修復后的圖像；M和N分別表示圖像的行值和列值。在圖像修復中，PSNR值越大，說明修復效果越好。

圖3 Lena圖像修復劃痕效果比較

圖3是用BSCB算法，TV算法和AI方法分別處理帶劃痕Lena圖像的對比試驗。從表1中可以看到本文的方法耗時為5.14 s，遠小于BSCB算法，相應的PSNR的數(shù)值也較大，修復質量較好。TV的算法雖然時間上略占優(yōu)勢，但對lena帽子上劃痕的修復存在錯誤的修復塊，且邊緣處不是很清晰。AI方法修復的圖片，直觀上修復質量略優(yōu)于BSCB算法和TV算法，而且從表1中可以看出其修復速度較前兩種方法有很大的提高。

圖4 Canyon圖像去除文字效果比較

圖4是用3種方法進行彩色圖像canyon上文字去除的對比試驗。雖然視覺效果沒有太大差別，但是從表1和表2中可以看出新提出的AI方法時效比BSCB算法提高到2.5倍，比TV方法也稍有提高，而客觀評價指標PSNR也比其它兩種算法有明顯提高。

實驗過程中3種方法的運算時間和峰值信噪比比較如表1和表2所示。

表1 運算時間比較s

表2 峰值信噪比比較

5 結束語

本文把圖像放大算法中插值的思想運用到圖像修復中，提出了以基于擴散率函數(shù)的自適應插值算法。從仿真及計算PSNR的結果可以看出，該方法在保持圖像修復質量基本不變的情況下，修復時效約為BSCB算法的4.8倍，而PSNR值比TV算法提高了許多。解決了傳統(tǒng)的修復算法耗時長、效率低的問題。經(jīng)過仿真結果表明，本文的方法修復后的圖像信息過渡自然，視覺效果有很大提高，具有較強的實用價值。該算法均能得到比其它算法更好的效果。

［1］ Li X D，Du Y，Ling F.Using a subpixelmappingmodel to improve the accuracy of landscape pattern indices［J］.Ecological Indicators，2011，11（5）：1160－1170.

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Application Research on Adaptive Interpolation Algorithm in Im age Restoration

MA Min1， ZHAO Liang1， WANG Hua-xiang2
（1.Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China；2.Tianjin University，Tianjin 300072，China）

Since the BSCBmodelhasan inherentslow rate，and the totalvariationmodel is subject to staircase effect，to overcome these disadvantages，an adaptive interpolation algorithm is proposed based on the diffusivity function.The proposed algorithm repairs the unknown pixels by using the gradient weight function and distance weight function of the neighboring pixels whose values are known.Experimental results show that compared to the traditional methods，the proposed algorithm can obtain relatively higher image quality in a shorter time for both gray and color image restoration，additionally，the quantitative evaluation indicator has also verified the effectiveness of the proposed method.

Metrology；Image restoration；Partial differential equation；Diffusivity function；Adaptive interpolation

TB96

A

1000-1158（2014）04-0331-04

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．04．06

2012-07-18；

2013-05-28

國家自然科學基金青年基金（61102096）

馬敏（1971－），女，安徽霍邱人，中國民航大學教授，研究生導師，主要從事無損檢測及新型傳感器的研究。mm5739＠163.com