馬建榮， 郝 群， 朱秋東， 胡 搖

（北京理工大學光電學院，北京 100081）

逆向哈特曼面形測量法中最佳針孔直徑確定

馬建榮， 郝 群， 朱秋東， 胡 搖

（北京理工大學光電學院，北京 100081）

在逆向哈特曼法中，針孔光闌具有選擇光線和決定測量分辨率的作用，其直徑大小直接影響CCD接收器上光斑的大小以及光線在瞳面上精確位置的確定。用衍射光學理論，推導出了精確計算針孔直徑的傅里葉變換表達式，并進一步給出了針孔直徑的快速解析計算式。實驗證明，在實際非球面面形測量中，快速估算式能夠滿足計算最佳針孔直徑的精度要求并提高計算效率。

計量學；逆向哈特曼；面形測量；非球面；最佳針孔

1 引 言

將非球面、自由曲面等復雜曲面取代球面用于成像系統(tǒng)，能有效改善像質、減小系統(tǒng)體積和重量［1］。這類復雜光學曲面面形的高精度檢測是其加工和光學系統(tǒng)裝調的基礎和前提。哈特曼測量法由哈特曼提出［2］，隨后在光學檢測中許多研究者采用了與其類似的原理和方法［3～6］。逆向哈特曼面形測量法［7］克服了傳統(tǒng)哈特曼法（THT）中動態(tài)范圍和分辨率難以同時提高的缺點，有效地降低了非球面測量時的光線斜率，增大了測量范圍，與干涉法［8］相比，其結構相對簡單，通用性好，抗干擾能力強，成本低。在逆向哈特曼法中，針孔選擇光線并決定測量分辨率，本文給出了該方法中確定最佳針孔直徑的傅里葉變換式，并進一步給出快速確定最佳針孔尺寸的解析式。

2 逆向哈特曼法面形測量原理及針孔的作用

逆向哈特曼面形測量法（IHSFM）的原理圖如圖1所示，整個系統(tǒng)由圖像發(fā)生器、分束鏡、針孔、CCD攝像機及計算機組成，其面形測量原理與THT相似，系統(tǒng)中的圖像發(fā)生器相當于哈特曼光闌，針孔選擇細光束。由于本方法中圖像發(fā)生器和探測面在光路中的位置與THT中的位置相反，因此稱為逆向哈特曼法。采用逆向法以后，避免了THT法中測量光線的遮擋切割問題，可測量較大非球面度的零件，而且可以使圖像發(fā)生器的尺寸比傳統(tǒng)哈特曼光闌大大減小，使整個裝置小型化。

圖1 逆向哈特曼測量法原理圖

圖2 被測鏡上采樣區(qū)域及CCD上彌散圓

在逆向哈特曼測量法中，針孔具有選擇光線和決定測量分辨率的作用。由圖2（a）可知，圖像發(fā)生器上的點光源經(jīng)被測鏡后，在距針孔p處成像，像點過針孔邊緣的光線反向延長后，在被測鏡上的對應區(qū)域就是被測鏡上的采樣區(qū)域，采樣區(qū)的直徑大小φ決定了采樣分辨率。由于CCD對被測面成像，圖像發(fā)生器的像在CCD上有離焦，如圖2（b）。因此，隨針孔直徑減小，衍射效應變大，CCD上的光斑尺寸增大；而針孔尺寸增大則彌散圓增大，光斑尺寸也增大。只有在二者之間找到一個最佳針孔值，才能使CCD上的光斑直徑最小。這樣既在被測面上得到合理的分辨率，又使測量效率較高，因此，優(yōu)化針孔直徑是實現(xiàn)該方法的關鍵因素之一。

3 基于衍射理論的復振幅計算及光斑直徑仿真

由于衍射計算的復雜性，目前沒有點光源經(jīng)針孔和透鏡之后在任意探測位置的復振幅分布解析表達式，來計算針孔直徑與復振幅分布的關系，因此需要通過兩次菲涅爾衍射近似，得到探測面上的復振幅表達式，然后用離散傅里葉變換的方法得到針孔直徑與復振幅分布的關系。所采用的衍射光路如圖3所示。

圖3 球面波照明針孔的衍射光路

式中：A0為復常數(shù)，p為點光源S（即像點）到針孔平面的距離，k為波數(shù)。

透過物體的光波復振幅分布為

從點光源S發(fā)出的單色球面波，在物平面（針孔平面）P1上的振幅分布為

式中：T（x0，y0）為衍射針孔的復振幅透射系數(shù)。

從針孔平面P1到透鏡孔徑平面P2，光波的傳播符合菲涅爾衍射，到達透鏡孔徑平面的光波復振幅U1（x′，y′）可表示為

式中：λ為波長，d為物平面（針孔平面）到透鏡孔徑平面的距離。

考慮到透鏡的位相變換因子，并假設透鏡的孔徑不受限制，于是由透鏡出射的光波復振幅分布為

式中f為成像透鏡焦距。

光波由透鏡的出瞳面到探測平面P3的傳播仍然符合菲涅爾衍射，傳播距離為q，再次應用菲涅爾公式，可得到（x，y）平面上光波的復振幅分布U（x，y），表示為

將式（3）（4）代入式（5），經(jīng)過化簡，可以得到

由式（6）可以看出，點光源S在P3面上的光場分布U（x，y）等于透過針孔的光波復振幅U0與一個二次位相因子的乘積經(jīng)傅里葉變換后，再與另一個位相因子的乘積。式（6）包括了衍射和彌散，因此由式（6）可得到任意p、d、q情況下對應針孔的光斑直徑D。由式（6）數(shù)值仿真得到的光斑輻照度分布圖如圖4所示，圖4中橫坐標r是與復振幅對應的光斑半徑，縱坐標為觀察面上各處輻照度與中心輻照度之比L（φ）／L（o），輻照度L＝U·U*。假設p＝7.505mm，d＝17.640mm，q＝20.233mm，f＝17.640mm，可以仿真計算出不同針孔直徑a時探測器上的光斑直徑Dt，計算結果如表1所示。

表1 數(shù)值仿真計算的光斑直徑mm

由表1可知，為得到光斑直徑Dt最小時的針孔直徑a，可用式（6）迭代計算，得到最佳針孔的精確值，但是計算復雜、效率低，可以此作為參考值，用于評估快速簡易算法的可靠性。

圖4 衍射光斑輻照度分布圖

4 最佳針孔直徑的快速確定

在實際應用中，針孔直徑需要根據(jù)被測鏡參數(shù)和測量分辨率要求進行變化，因此有必要研究快速確定最佳針孔直徑的方法。由于探測面上所得到的光斑，是針孔的衍射效應和CCD離焦造成的彌散二者共同作用的結果，愛里斑和彌散圓都可以簡單快速計算得到，研究愛里斑和彌散圓的關系，可探索一種快速估算最佳針孔直徑的方法。

愛里斑直徑的計算表達式為

由圖5所示光路，用幾何光學方法可推導出探測面上的彌散圓直徑表達式愛里斑半高寬的計算公式為

式（9）中所有變量均取絕對值。

圖5 彌散圓形成光路圖

在本方法中，針孔位于成像透鏡的前焦面上，即d＝f，因此式（9）可以化簡為

被測鏡與CCD探測器是物像共軛關系，可以得到探測器與透鏡的距離式中：d0為針孔到被測鏡頂點的距離，取絕對值。

用數(shù)值計算可以得到p、d、f、q確定時，不同針孔直徑a下的愛里斑直徑DA、半高寬DA，0.5L（o）、彌散圓直徑Dd，以及光斑直徑Dt，如表2所示。

表2 不同針孔對應的計算值mm

由表2可知，當彌散圓直徑等于愛里斑半高寬時，光斑直徑有達到最小的趨勢，因此取彌散圓直徑等于半高寬，作為快速確定最佳針孔直徑的條件，即

由式（8）、式（12）可以得到最佳針孔直徑a與λ、p、d0的關系，即

用式（13）即可計算出表2所給參數(shù)條件下的最佳針孔直徑a＝0.1605mm，而由式（6）迭代計算得到的針孔直徑為a＝0.1601mm。

5 實驗驗證

為了驗證以上所提出的快速確定最佳針孔直徑的條件，對表2所示的仿真結果，用曲率半徑R＝120mm的凹球面鏡，進行了實際光斑直徑測量。探測器采用1／2 in（12.7mm）、分辨率1280×1024像素的CCD。調整點光源S到針孔的距離p，分別進行了2組實驗。實驗所用的裝置和實驗圖象如圖6所示，2組實驗的結果如表3所示。其中D′t為探測到的光斑直徑。

圖6 實驗裝置及采集圖像

表3 確定最佳針孔直徑的實驗數(shù)據(jù)mm

由表3可以看出，當p＝13mm、針孔直徑a＝0.140mm時，愛里斑直徑等于彌散圓直徑，此時CCD上的光斑直徑D′t并不是最小值；而當p＝33 mm，針孔直徑a＝0.160mm時，彌散圓直徑等于半高寬，此時測得的光斑直徑最小。因此，利用式（13）計算最佳針孔直徑，是逆向哈特曼面形測量法中快速確定最佳針孔直徑的便捷計算法。

6 結 論

在逆向哈特曼面形測量法中，針孔具有選擇光線和決定測量分辨率的作用，并影響檢測效率。本文通過理論分析，給出了用衍射光學方法計算最小光斑時針孔直徑的傅里葉變換公式，但計算復雜，在此基礎上提出了快速確定最佳針孔直徑的方法。通過理論仿真和實驗驗證證明，當彌散圓直徑等于半高寬時，在CCD上所得光斑尺寸最小，從而給出了最佳針孔直徑估算的解析表達式，可以方便快速得到最佳針孔的尺寸。

［1］ Seiferta L，Prussb C，D?rbandc B，etal．Measuring Aspheres with a chromatic Fizeau Interferometer［C］／／Proc SPIE，Munich，Germany，Optical Measurement Systems for Industrial Inspection VI，2009，7389：1－9.

［2］ Hartmann J.Objektivuntersuchungen［J］.Zt．Instrumentenkd，1904，24：1.

［3］ Korovyakovskii Yu P.Use of the Hartmann method for testing the surface of the 6-meter LATmirror under shop conditions［J］.SovietJournalofOpticalTechnology，1977，44（11）：649－651.

［4］ Snezhko L I.On theaccuracy of the Hartmannmethod for testing aspherical wavefronts［J］.SovietJournalofOptical Technology，1980，47（9）：505－508.

［5］ Lane R G，Tallon M.Wave-front reconstruction using a Shack-Hartmann sensor［J］.AppliedOptics，1992，31（32）：6902－6907.

［6］ 劉丹，閆巖，任冰強，趙永凱，等.掃描型哈特曼檢測裝置研究［J］.強激光與粒子束，2005，17（9）：1377－1381.

［7］ 馬建榮，郝群，朱秋東，等.基于球坐標的逆向哈特曼面形測量法［J］.計量學報，2013，34（1）：11－15.

［8］ 吳繼宗，戴曉芳，采振祥.應用干涉型計算機全息圖檢測非球面［J］.計量學報，1987，8（4）：271－277.

中國計量測試學會科學技術進步獎簡介

為調動廣大計量測試科技工作者的積極性和創(chuàng)造性，促進計量測試領域科技人才的成長，全面推動計量測試科技創(chuàng)新和進步，經(jīng)國家質量監(jiān)督檢驗檢疫總局同意并報國家科學技術部、國家科學技術獎勵工作辦公室核準，中國計量測試學會特設“中國計量測試學會科學技術進步獎”（登記證書編號：國科獎社證字第0234號），以獎勵在計量測試領域科學研究、技術創(chuàng)新與開發(fā)、科技成果推廣與應用以及實現(xiàn)產(chǎn)業(yè)化方面取得卓著成績或者做出突出貢獻的個人和集體。

中國計量測試學會科學技術進步獎每年評獎一次，分基礎科研類和應用技術類。

參與評獎單位的范圍為：中國計量測試學會會員單位及個人。

具體管理辦法、申報程序、申報要求等詳見中國計量測試學會網(wǎng)站： http：／／www.china－csm.org

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E-mail：csm_jiang＠126.com

The Best Diameter Determ ination of the Pin Aperture in Inverse Hartm ann Surface Form Measurem ent System

MA Jian-rong， HAO Qun， ZHU Qiu-dong， HU Yao
（School of Optoelectronics，Beijing Institute of Technology，Beijing100081，China）

In the inverse Hartmann surface form measurement，the pin aperture selects light reflected from the test surface and determines themeasurement resolution.The diameter of the pin aperture has influence on the size of light spots on CCD and the accuracy of determining the ray location on the pupil.The Fourier transform expression for precisely calculating the pin aperture diameter is derived from diffraction optics theory.Moreover，an estimation formula which directly calculates the diameter of the pin aperture is also derived.Simulation and experiment show that the fast estimation formula canmeet the accuracy and effectively save time when calculate the best diameter of the pin aperture in realmeasurement.

Metrology；Inverse Hartmann system；Surface form measurement；Aspheric surface；Best pin aperture

TB96

A

1000-1158（2014）01-0039-05

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．01．09

2012-03-26；

2012-07-31

國家自然科學基金（61078044）

馬建榮（1972－），男，甘肅平?jīng)鋈?，北京理工大學高級工程師，在讀博士研究生，主要從事光學精密測量及儀器研究。mjr8868＠163.com