魏列江， 李旭方， 王 霖， 董萬(wàn)玉， 孟 犁

（1.蘭州理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，甘肅蘭州 730050； 2.甘肅省計(jì)量研究院，甘肅蘭州 730060）

低信噪比下基于Chirp信號(hào)的頻率特性測(cè)試方法

魏列江1， 李旭方1， 王 霖1， 董萬(wàn)玉1， 孟 犁2

（1.蘭州理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，甘肅蘭州 730050； 2.甘肅省計(jì)量研究院，甘肅蘭州 730060）

提出采用帶通濾波和小波包變換對(duì)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，再由FFT分析和處理獲得系統(tǒng)頻率特性曲線的方法，較好地解決了低信噪比下的系統(tǒng)頻率特性測(cè)試問(wèn)題，并降低了測(cè)試時(shí)對(duì)采集系統(tǒng)的硬件要求。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：對(duì)于截止頻率以下的頻段，在信噪比較低甚至為－20 dB時(shí)，可以得到精度不低于1 dB的幅頻特性曲線和不低于3°的相頻特性曲線，完全滿足系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)和控制器設(shè)計(jì)的應(yīng)用要求。

計(jì)量學(xué)；頻率特性；小波包變換；FFT

1 引 言

在控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)和控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中，頻率特性是最為重要的系統(tǒng)特性之一。系統(tǒng)頻率特性曲線測(cè)試通常采用FFT的分析方法獲得，該方法以Chirp信號(hào)作為被辨識(shí)系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)，將輸入與輸出信號(hào)作FFT變換，并計(jì)算出每個(gè)頻率處的響應(yīng)信號(hào)與激勵(lì)信號(hào)的幅值比、相位差，由這些計(jì)算結(jié)果就可以得到被測(cè)系統(tǒng)幅頻特性和相頻特性曲線［1］。這種方法具有計(jì)算效率高、測(cè)試速度快的特點(diǎn)［2］。但是這種方法在導(dǎo)彈和飛機(jī)等飛行器的發(fā)動(dòng)機(jī)噴管擺角控制、飛機(jī)起落架收放、船舶的減搖鰭運(yùn)動(dòng)控制等系統(tǒng)的頻率特性測(cè)試中往往不能獲得可信的結(jié)果。因?yàn)檫@類系統(tǒng)廣泛采用電液伺服閥控制的液壓缸作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)來(lái)推動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)通常工作在平衡點(diǎn)附近很小的范圍內(nèi)，所以測(cè)試其頻率特性時(shí)Chirp信號(hào)的幅值很小，在測(cè)試過(guò)程中系統(tǒng)的采樣量化誤差和測(cè)量通道干擾所帶來(lái)的噪聲很容易造成信噪比較低的情況，當(dāng)信噪比低于10 dB以下時(shí)，直接對(duì)Chirp信號(hào)激勵(lì)和系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT分析和處理，獲得的系統(tǒng)頻率特性曲線并不能滿足控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)和控制器設(shè)計(jì)的要求。

2 基于Chirp信號(hào)的頻率特性測(cè)試原理

圖1所示為基于Chirp信號(hào)的頻率特性測(cè)試原理，以Chirp信號(hào)作為被測(cè)系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)，對(duì)激勵(lì)信號(hào)x（t）和響應(yīng)信號(hào)y（t）同時(shí)進(jìn)行高速采集，得到x（k）和y（k）（k＝1，2，…，n；n為最大采樣點(diǎn)數(shù)），然后采用FFT算法將時(shí)域輸入輸出數(shù)據(jù)變換到頻域內(nèi)，得到激勵(lì)信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)的離散頻譜X（jωk）和Y（jωk），則被測(cè)對(duì)象的頻率特性為：

通過(guò)式（1）計(jì)算得到每個(gè)頻率處的響應(yīng)信號(hào)與激勵(lì)信號(hào)的幅值比、相位差，由這些計(jì)算結(jié)果就可以獲得被測(cè)系統(tǒng)幅頻特性和相頻特性曲線。

圖1 基于Chirp信號(hào)的頻率特性測(cè)試原理

3 測(cè)量噪聲對(duì)頻率特性曲線的影響

測(cè)量噪聲包括采樣量化和測(cè)量通道干擾所帶來(lái)的噪聲，這兩種噪聲疊加影響采樣數(shù)據(jù)的信噪比。隨著A／D位數(shù)的增加，量化誤差對(duì)響應(yīng)信號(hào)附加的畸變幅度減小，以舍入法處理尾數(shù)為例，對(duì)于定點(diǎn)舍入的情況，A／D位數(shù)每增加1 bit，信噪比增加約6 dB［3］。由于采樣量化誤差和測(cè)量通道的干擾均可視為白噪聲序列，因此可以用白噪聲模擬測(cè)量噪聲。測(cè)量噪聲很容易使得小幅值測(cè)量的采樣數(shù)據(jù)信噪比低于10 dB，直接影響頻率特性曲線的測(cè)試精度。并且，由于在系統(tǒng)工作的平衡點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，系統(tǒng)具有一定的穩(wěn)態(tài)直流分量，也會(huì)影響頻率特性曲線的測(cè)試精度。在Matlab環(huán)境下，以典型二階系統(tǒng)作為被測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

令ξ＝0.2，ωn＝1，輸入Chirp信號(hào)頻率特性測(cè)試范圍為0.001～20 Hz。在測(cè)量通道中信號(hào)y（k）加入白噪聲作為測(cè)量噪聲，使得信噪比為1 dB，在系統(tǒng)無(wú)穩(wěn)態(tài)直流分量的條件下，對(duì)Chirp激勵(lì)信號(hào)和響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT分析和處理，獲得的被測(cè)系統(tǒng)頻率特性曲線如圖2所示。如果在y（k）中再加入5 V穩(wěn)態(tài)直流分量，對(duì)Chirp信號(hào)激勵(lì)和響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT分析和處理，獲得的被測(cè)系統(tǒng)頻率特性曲線如圖3所示。對(duì)比分析圖2和圖3可知，系統(tǒng)在受到測(cè)量噪聲干擾的情況下，會(huì)影響頻率特性曲線的測(cè)試精度，而且當(dāng)系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)直流分量時(shí)，會(huì)直接影響FFT的能量值，頻率特性曲線的測(cè)試精度更低。

圖2 SNR＝1，系統(tǒng)無(wú)穩(wěn)態(tài)直流分量

圖3 SNR＝1，系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)直流分量

4 帶通濾波

為消除平衡點(diǎn)穩(wěn)態(tài)直流分量對(duì)系統(tǒng)頻率特性曲線測(cè)試的影響，可采用高通濾波器消除穩(wěn)態(tài)直流分量。為避免信號(hào)頻譜混疊情況出現(xiàn)，可采用低通濾波器作為抗混疊濾波器，還可以濾掉高頻干擾信號(hào)，綜合考慮可采用帶通濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)。

帶通濾波器的帶通下限截止頻率ωl和帶通上限截止頻率ωh可分別由Chirp信號(hào)的起始頻率f0和系統(tǒng)采樣頻率fs來(lái)確定，即：

式中，Kl和Kh取值與Chirp信號(hào)的起始頻率、終止頻率及被測(cè)系統(tǒng)的形式有關(guān)，可在對(duì)穩(wěn)態(tài)直流分量的濾除速度和濾除效果進(jìn)行折中后選取。經(jīng)過(guò)在Matlab下對(duì)測(cè)量通道中具有白噪聲的二階系統(tǒng)中的直流分量進(jìn)行濾波仿真分析，Kl取在0.01～0.1之間，Kh取在2～3之間，且fs≥2fn（fn為Chirp信號(hào)的終止頻率）時(shí)，可以獲得較滿意的結(jié)果。

5 基于小波包變換的信號(hào)去噪

經(jīng)過(guò)帶通濾波之后的Chirp信號(hào)響應(yīng)數(shù)據(jù)仍含有大量噪聲，需盡可能地提取被噪聲覆蓋的真實(shí)Chirp信號(hào)響應(yīng)數(shù)據(jù)。由于小波包變換具有時(shí)頻局部化和多分辨率的特性，對(duì)小波分解中所得到的高頻部分再繼續(xù)細(xì)分為一些子頻帶，并對(duì)每個(gè)子頻帶提取各自的閾值，具有更精細(xì)的信號(hào)去噪能力［4］。在Chirp響應(yīng)信號(hào)高頻部分，有用信號(hào)被較好地保留下來(lái)。因此，本文采用小波包變換作為工具對(duì)經(jīng)過(guò)帶通濾波的Chirp響應(yīng)信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)行更為精確的濾波。

對(duì)Chirp響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行逐層7級(jí)小波包分解，以有效反映子頻帶的范數(shù)隨分解層數(shù)的變化。如果某個(gè)子頻帶內(nèi)的小波系數(shù)極大模值較大，且隨著層數(shù)的增大而增大，表明信號(hào)的能量主要集中在該子頻帶內(nèi)。為此，引入子頻帶范數(shù)：

依據(jù)最小熵原則［5］，在各層上尋找范數(shù)大于均值的子頻帶，并根據(jù)子頻帶一分為二的小波包分解特點(diǎn)，考察其范數(shù)隨各層的變化，如果隨層數(shù)的增大范數(shù)出現(xiàn)一最大峰值，則保留該最大峰值所對(duì)應(yīng)的子頻帶，將范數(shù)小于均值和范數(shù)雖大于均值但隨各層層數(shù)的增大范數(shù)不出現(xiàn)最大峰值的子頻帶內(nèi)的小波系數(shù)視為零而舍去，根據(jù)最佳熵的原則設(shè)定下面的浮動(dòng)閾值：式中，M為子頻帶內(nèi)的小波系數(shù)個(gè)數(shù)，A為子頻帶范數(shù)。將幅值小于t的小波系數(shù)置零，保留大于t的小波系數(shù)，最后，由剩下的小波系數(shù)重構(gòu)信號(hào)。

圖4所示為經(jīng)過(guò)帶通濾波和小波包變換對(duì)Chirp信號(hào)響應(yīng)數(shù)據(jù)去噪后，進(jìn)行FFT分析與處理得到的二階系統(tǒng)頻率特性曲線?？梢?jiàn)，經(jīng)過(guò)帶通濾波的響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行小波包變換去噪后獲得的頻率特性曲線，明顯優(yōu)于圖3所示的響應(yīng)數(shù)據(jù)未經(jīng)過(guò)處理獲得的頻率特性曲線。

圖4 濾波后系統(tǒng)頻率特性曲線

6 實(shí)驗(yàn)研究

利用電阻、電容和運(yùn)算放大器等電子元件搭建二階線性電路作為被測(cè)試物理系統(tǒng)，如圖5所示，其中運(yùn)算放大器的型號(hào)為OP07CP，其它元件實(shí)測(cè)參數(shù)在圖5中已標(biāo)出。二階電路系統(tǒng)ξ＝0.8，ωn＝12.5，傳遞函數(shù)為：

在Matlab環(huán)境下建立基于xPC Target的頻率特性測(cè)試系統(tǒng)，xPC Target采用了宿主機(jī)-目標(biāo)機(jī)的模式，目標(biāo)PC機(jī)選用研華公司的IPC-610型工控機(jī)，與宿主機(jī)（普通筆記本電腦）用交叉線型的以太網(wǎng)電纜進(jìn)行連接。目標(biāo)機(jī)測(cè)控板卡選用研華公司PCI-1712，其中A／D和D／A的分辨率為12位。真實(shí)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)照片如圖6所示。

圖5 二階系統(tǒng)模擬電路

系統(tǒng)頻率特性測(cè)試范圍為0.001～20 Hz，采樣頻率為1000 Hz，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為217。當(dāng)輸入Chirp信號(hào)幅值為0.5 V時(shí)，由于電路零偏影響，響應(yīng)信號(hào)包含一個(gè)大約為0.21 V的穩(wěn)態(tài)直流分量。在系統(tǒng)響應(yīng)輸出信號(hào)中加入白噪聲作為測(cè)量噪聲，使得信噪比為－10 dB。采用帶通下限截止頻率和帶通上限截止頻率分別為0.001 rad·s－1和20 rad·s－1的帶通濾波器，運(yùn)用基于Sym8小波函數(shù)的浮動(dòng)閾值小波包變換對(duì)經(jīng)過(guò)帶通濾波后的典型二階系統(tǒng)Chirp信號(hào)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理，測(cè)試系統(tǒng)頻率特性曲線，測(cè)試結(jié)果如圖7所示。

圖6 真實(shí)的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)照片

系統(tǒng)頻率特性曲線的精度主要考查系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)和控制器設(shè)計(jì)的重要頻段［0，ωc］的測(cè)試精度和重復(fù)精度，ωc為系統(tǒng)截止頻率。以偏離理想頻率特性曲線最大點(diǎn)處的誤差作為測(cè)試精度；同一系統(tǒng)在相同條件下，多次測(cè)量結(jié)果之間的平均差值作為系統(tǒng)頻率特性測(cè)試的重復(fù)精度。以不加入白噪聲并濾除穩(wěn)態(tài)直流分量得到的頻率特性曲線作為理想頻率特性曲線，將信噪比繼續(xù)降低，分析在信噪比分別為1 dB、－5 dB、－10 dB、－20 dB的測(cè)試精度和重復(fù)測(cè)量5次的重復(fù)精度，如表1所示。

表1 不同信噪比下測(cè)試精度分析

由此可知，在真實(shí)系統(tǒng)中，信噪比不低于－20 dB時(shí)，應(yīng)用本文方法，幅頻特性曲線測(cè)試精度在不低于1 dB，重復(fù)精度不超過(guò)0.03 dB；相頻特性曲線測(cè)試精度不低于3°，重復(fù)精度不超過(guò)0.4°，完全可以滿足系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)和控制器設(shè)計(jì)的應(yīng)用要求。

7 結(jié) 論

本文在低信噪比背景下，基于系統(tǒng)對(duì)Chirp信號(hào)的響應(yīng)過(guò)程，采用帶通濾波和小波包變換去噪對(duì)系統(tǒng)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，再由FFT進(jìn)行分析和處理，獲得系統(tǒng)頻率特性曲線，從而完成系統(tǒng)頻率特性測(cè)試。

（1）本方法可以有效濾除測(cè)量通道干擾造成的噪聲和采樣A／D分辨率不足所帶來(lái)的采樣量化噪聲，降低系統(tǒng)對(duì)測(cè)量通道抗干擾的要求和對(duì)采樣系統(tǒng)A／D分辨率的要求。

（2）采用帶通濾波器濾除了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)直流分量，避免了頻譜的重復(fù)和混疊的情況，還可以濾掉高頻干擾信號(hào)，為之后的小波包變換減少運(yùn)算量。

（3）在信噪比＜10 dB的情況下，采用小波包變換對(duì)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行去噪處理，可以有效提取系統(tǒng)真實(shí)響應(yīng)信號(hào)，提高獲得系統(tǒng)頻率特性曲線的精度。

（4）本方法的有效性在典型二階系統(tǒng)模擬電路的實(shí)驗(yàn)中得到全面驗(yàn)證，特別是在控制系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)和控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，低于截止頻率的頻段，信噪比不低于－20 dB時(shí)，其幅頻特性曲線測(cè)試精度不低于1 dB，重復(fù)精度不超過(guò)0.03 dB；相頻特性曲線測(cè)試精度不低于3°，重復(fù)精度不超過(guò)0.4°，完全可以滿足系統(tǒng)性能評(píng)價(jià)和控制器設(shè)計(jì)的應(yīng)用要求。

［1］ 陳平，裘麗華.液壓伺服系統(tǒng)測(cè)試的譜分析法研究［J］.機(jī)床與液壓，2002，（1）：101－141.

［2］ 葉齊鑫，侯國(guó)屏，趙偉.虛擬儀器環(huán)境下的頻率特性測(cè)試方法［J］.電測(cè)與儀器，2005，22（2）：1－3.

［3］ 張群英，楊雪賢，何佩琨，等.A／D量化誤差對(duì)脈沖壓縮結(jié)果的影響［J］.現(xiàn)代雷達(dá)，2002，42（6）：64－68.

［4］ 范顯峰，姜興渭.基于小波包變換的信號(hào)去噪方法研究［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，35（7）：809－811.

［5］ 黃宜軍，汪金友.小波分析在微弱信號(hào)測(cè)量中的應(yīng)用研究［J］.計(jì)量學(xué)報(bào)，2007，28（2）：163－166.

［6］ 王玥萌.頻率特性綜合測(cè)試系統(tǒng)的研究和設(shè)計(jì)［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2012.

［7］ Wang Q G，Hang C C，Bi Q.Process Frequency Response Estimation from Relay Feedback［J］.Control Engineering Practice，1997，5（9）：1293－1302.

A MeasurementMethod of Frequency Response Characteristics Test Based on Chirp Signalat Low SNR

WEILie-jiang1， LIXu-fang1， WANG Lin1， DONGWan-yu1， MENG Li2
（1.School of Energy and Power Engineering，Lanzhou University of Technology，Lanzhou，Gansu 730050，China；
2.Gansu Institute of Metrology，Lanzhou，Gansu 730070，China）

A method using band-pass filter and wavelet packet transform to pre-treat signal and then using FFT analysis and treatment to get frequency response diagrams is described.Thismethod is better to solve the problems that frequency characteristic testof the system isunder low SNR，and reduce hardware requirements of acquisition system in the test.The research show thatwhen SNR is very low and even negative 20 dB value，the amplitude-frequency characteristic that accuracy is not less than 1dB and phase frequency response curve that accuracy is not less than 3°can be obtained for frequency bands that is below the cutoff frequency，which fully meet the system performance evaluation and controller design app lication requirements.

Metrology；Frequency characteristics；Wavelet packet transform；FFT

TB973

A

1000-1158（2014）03-0272-04

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．03．16

2013-09-23；

2013-12-30

國(guó)家自然科學(xué)基金（51365208）；863計(jì)劃項(xiàng)目（2012AA052903）

魏列江（1972－），男，甘肅皋蘭人，蘭州理工大學(xué)副教授，博士，主要從事流體測(cè)控方面的研究。weiliejiang＠126.com