霍海娥，霍海波，敬成君

（1.四川大學建筑與環(huán)境學院，四川 成都 610065；2.上海海洋大學海洋工程研究所，上海 201306）

不同正交基函數(shù)系反演邊界溫度場比較

霍海娥1，霍海波2，敬成君1

（1.四川大學建筑與環(huán)境學院，四川 成都 610065；2.上海海洋大學海洋工程研究所，上海 201306）

基于3種不同的正交基函數(shù)系（三角函數(shù)正交系，Legendre正交多項式和Chebyshev正交多項式），比較研究了一類二維穩(wěn)態(tài)熱傳導方程反問題中邊界溫度場的數(shù)值反演方法。首先引入泛函，根據(jù)線性偏微分方程的疊加原理，將所研究的反問題轉(zhuǎn)化為求解泛函極小值的正問題；然后基于測點溫度，通過求解離散后的線性代數(shù)方程，得到各基函數(shù)的系數(shù)，對邊界溫度場進行有限維逼近，重構(gòu)得到邊界溫度場的分布。研究結(jié)果表明：采用3種正交基函數(shù)系均能有效地重構(gòu)邊界溫度場，數(shù)值反演結(jié)果曲線與邊界溫度場原函數(shù)曲線吻合較好，3種函數(shù)系均可應(yīng)用于類似的反演研究。

正交基函數(shù)系；導熱反問題；數(shù)值反演；泛函

0 引言

邊界溫度場的重建問題是導熱反問題中的基本問題，其原理是通過測點的溫度來反算邊界的溫度場分布。文獻［1－3］研究了一維熱傳導方程的邊界溫度場或邊界熱流量的反演問題；文獻［4］利用基本解法、文獻［5］利用擬解法結(jié)合偏微分方程的疊加原理，研究了二維熱傳導方程的邊界溫度場反演問題；文獻［6］探討了多項式數(shù)值逼近法在黑體輻射問題反演中的應(yīng)用，取得了較好的效果；文獻［7－8］基于一維瞬態(tài)熱傳導反問題，反演了導溫材料隨溫度變化的導熱系數(shù)。以上研究均沒有探討采用不同正交基函數(shù)系對數(shù)值反演結(jié)果的影響，也沒有研究測點數(shù)量和基函數(shù)個數(shù)對數(shù)值反演結(jié)果的影響程度。由于邊界溫度場的分布都可以看作是一個函數(shù)，而正交基函數(shù)系由于在空間上的正交特性，其線性組合能夠逼近任意函數(shù)［9］，因此，本文擬基于3種不同的正交基函數(shù)系，對二維穩(wěn)態(tài)導熱反問題的邊界溫度場進行數(shù)值反演計算，比較不同正交函數(shù)系的反演效果，探尋測點數(shù)量和基函數(shù)個數(shù)對數(shù)值反演結(jié)果的影響。

1 問題描述

考慮一個有限域二維穩(wěn)態(tài)傳熱邊界溫度場的反演問題，模型見圖1，其數(shù)學方程為控制方程：

求解方程時網(wǎng)格劃分及節(jié)點設(shè)置如圖2所示。

圖1 邊界溫度場反演模型

圖2 節(jié)點示意圖

問題提出：由測點溫度t0＝U（x0，y0）分布反推U（0，y）＝f（y），即x＝0邊界上溫度場的分布，假設(shè)原函數(shù)為U（0，y）＝sin（πy），采用文獻［5］提出的反問題數(shù)值解法進行求解。

2 結(jié)果與討論

2.1 測點位置及測點數(shù)對反演結(jié)果的影響

為了考查測點位置及測點數(shù)量對數(shù)值反演的影響，改變單測點的位置，數(shù)值反演結(jié)果如圖3所示，選取不同數(shù)量的測點進行計算，數(shù)值反演結(jié)果如圖4所示。

圖3 單測點位置對數(shù)值反演結(jié)果的影響

圖4 測點數(shù)量對數(shù)值反演結(jié)果的影響

圖3的計算條件為20×20網(wǎng)格，（0.3，0.3；7）表示測點位置為：x0＝0.3，y0＝0.3，數(shù)字7代表選取7個正交三角函數(shù)基函數(shù)。由圖3可以看出：通過改變測點位置，基于不同的測點溫度反演得到的反演結(jié)果曲線相差甚遠，如果采用左下角測點的數(shù)據(jù)，則曲線會向左偏移，如果測點取在右上角，反演結(jié)果曲線又會向下偏移。說明單測點所包含的信息不完整，需要采集多個測點的信息才能準確反演。

圖4的計算條件為20×20網(wǎng)格，采用7個正交三函數(shù)基函數(shù)進行數(shù)值反演，用于比較不同測點數(shù)對反演結(jié)果的影響。從圖4可以看出：隨著測點數(shù)的增加，數(shù)值反演結(jié)果曲線越來越逼近原函數(shù)，說明增加測點數(shù)對于數(shù)值反演是有利的。

2.2 基函數(shù)個數(shù)與網(wǎng)格數(shù)的匹配關(guān)系以及對反演結(jié)果的影響

為了考查基函數(shù)個數(shù)與網(wǎng)格數(shù)的匹配關(guān)系以及對反演結(jié)果的影響，分別采用20×20、30×30、40× 40的網(wǎng)格，基于正交三角函數(shù)系進行數(shù)值計算，結(jié)果如圖5～圖7所示。

圖5 20×20網(wǎng)格數(shù)值反演結(jié)果

圖6 30×30網(wǎng)格數(shù)值反演結(jié)果

從圖5～圖7可以看出：選取正交三角基函數(shù)系進行數(shù)值反演，當網(wǎng)格為20×20時，用5個基函數(shù)進行數(shù)值反演的結(jié)果與原函數(shù)吻合較好；網(wǎng)格為30×30時，用7個基函數(shù)數(shù)值反演的結(jié)果與原函數(shù)完全吻合；網(wǎng)格為40×40時，用9個基函數(shù)數(shù)值反演的結(jié)果已經(jīng)非常逼近原函數(shù)。由圖5～圖7還可看出：對于一定數(shù)量的網(wǎng)格數(shù)，初始隨著基函數(shù)個數(shù)的增加，反演結(jié)果曲線會越來越逼近原函數(shù)，而當基函數(shù)個數(shù)增加到某一值時，反演結(jié)果曲線與原函數(shù)的擬合度達到最高，之后隨著基函數(shù)個數(shù)的增加反演結(jié)果曲線會越來越偏離原函數(shù)。說明基函數(shù)個數(shù)的選取與網(wǎng)格數(shù)之間存在一定的關(guān)系，即當網(wǎng)格數(shù)和基函數(shù)的個數(shù)正好匹配時，此時的數(shù)值反演效果最好。

圖7 40×40網(wǎng)格數(shù)值反演結(jié)果

2.3 不同正交基函數(shù)系對反演結(jié)果的影響

本文中邊界溫度場重建的區(qū)間是y∈［0，1］，所采用不同正交基函數(shù)系的比較見表1。

表1 不同正交基函數(shù)系的比較

圖8為20×20網(wǎng)格用Legendre多項式正交基函數(shù)反演。由圖8可以看出：當采用20×20網(wǎng)格，選取Legendre多項式正交函數(shù)系作為基函數(shù)時，采用3個基函數(shù)和采用4個基函數(shù)時反演結(jié)果曲線重合，與原函數(shù)吻合較好；當采用5個基函數(shù)時反演結(jié)果曲線與原函數(shù)吻合度最高，隨著基函數(shù)個數(shù)的增加，反演結(jié)果曲線越來越偏離原函數(shù)，擬合誤差越來越大。所以對于20×20網(wǎng)格，采用5個正交Legendre多項式基函數(shù)可得到最佳數(shù)值反演結(jié)果。

圖9為20×20網(wǎng)格用Chebyshev多項式正交基函數(shù)反演。由圖9可以看出：當采用20×20網(wǎng)格，選取Chebyshev多項式正交函數(shù)系作為基函數(shù)時，反演結(jié)果與采用Legendre多項式正交函數(shù)系作為基函數(shù)時幾乎一致，當采用5個基函數(shù)時反演結(jié)果曲線與原函數(shù)已經(jīng)完全重合，隨著基函數(shù)個數(shù)的增加，反演結(jié)果越來越偏離原函數(shù)，反演誤差越來越大。所以對于20×20網(wǎng)格，采用5個正交Chebyshev多項式基函數(shù)可得到最佳數(shù)值反演結(jié)果。

圖8 20×20網(wǎng)格用Legendre多項式正交基函數(shù)反演

對于相同的網(wǎng)格數(shù)（20×20），分別采用相同個數(shù)的正交三角基函數(shù)、Legendre正交多項式基函數(shù)和Chebyshev正交多項式基函數(shù)對其進行數(shù)值反演，反演結(jié)果如圖10所示。

由圖10可以看出：網(wǎng)格數(shù)固定為20×20，采用文中提出的3種不同種正交函數(shù)系，分別取5個基函數(shù)進行數(shù)值反演計算時，3種函數(shù)系都能得到滿意的反演效果。其中，正交三角函數(shù)系的數(shù)值反演結(jié)果曲線與原函數(shù)的重合度較低，而Legendre多項式和Chebyshev多項式的數(shù)值反演結(jié)果曲線幾乎重合，且與原函數(shù)的重合度都很高。

圖9 20×20網(wǎng)格用Chebyshev多項式正交基函數(shù)反演

圖10 采用3種不同正交函數(shù)系的數(shù)值反演比較

3 結(jié)論

（1）在進行數(shù)值反演計算中，測點的位置及數(shù)量都有可能影響反演效果，通過比較發(fā)現(xiàn)：單測點所含的信息較少，為了保證反演效果，需采用多個測點的數(shù)據(jù)進行數(shù)值反演計算。

（2）在進行數(shù)值反演計算中，要注意正交函數(shù)系中基函數(shù)個數(shù)的選取與網(wǎng)格的劃分存在最佳匹配關(guān)系，如采用正交三角基函數(shù)系進行數(shù)值反演，對于20×20網(wǎng)格數(shù)，選用5個基函數(shù)反演效果最好；對于30×30網(wǎng)格數(shù)，選用7個基函數(shù)反演效果最好；對于40×40網(wǎng)格數(shù)，選用9個基函數(shù)反演效果最好。當兩者達到最佳匹配時，反演結(jié)果曲線與原函數(shù)曲線逼近度最高。

（3）正交三角函數(shù)系、Legendre正交多項式和Chebyshev正交多項式都可以用來進行邊界溫度場的反演計算，3種正交函數(shù)系中，Legendre正交多項式和Chebyshev正交多項式的反演效果非常好，正交三角函數(shù)系反演效果稍差。

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TB1

A

1672－6871（2014）04－0026－05

上海市自然科學基金項目（12ZR1413100）

霍海娥（1974－），女，山西代縣人，副教授，博士生；敬成君（1965－），男，四川南部人，為通信作者，教授，博士，博士生導師，研究方向為傳熱與建筑節(jié)能.

2013－06－28