滕玉永

摘 要： 本文采用了受力分析、運(yùn)動(dòng)分析，數(shù)學(xué)求導(dǎo)，以及Cauchy不等式等方法，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)物理量最值的理解和求解，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到求最值方法的多樣性，從而培養(yǎng)學(xué)生利用物理方法和數(shù)學(xué)方法求物理量最值的能力；利用gnuplot軟件畫(huà)出重力的功率隨θ的變化關(guān)系圖線(xiàn)，讓學(xué)生更形象、更直觀地認(rèn)識(shí)重力的功率隨θ的變化趨勢(shì)。

關(guān)鍵詞： 最值 受力分析 運(yùn)動(dòng)分析 求導(dǎo) Cauchy不等式

例題：如圖1所示，以O(shè)點(diǎn)為圓心，制作一個(gè)半徑為R=2m四分之一的光滑圓弧形軌道，質(zhì)量為m=0.1kg的小球從與O點(diǎn)等高的圓弧最高點(diǎn)滾下。求：小球沿光滑圓弧下滑過(guò)程中重力的最大功率為多大（g取10m/s）？

圖1 圖2

解析：小球沿光滑圓弧下滑過(guò)程中重力的功率最大時(shí)，如圖2所示：設(shè)小球所在位置與O點(diǎn)的連線(xiàn)與豎直線(xiàn)所成夾角為θ，小球速度為v，由功能關(guān)系得：mgRcosθ=mv （1），所以v= （2），P=mgv=mgvsinθ=mgsinθ （3），代入數(shù)據(jù)可得：P=mgsinθ=2sinθ （4），則：求重力最大功率的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求sinθ或cosθsinθ或cosθ（1-cosθ）的最大值問(wèn)題。

方法一：受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，豐富原有圖形，物理知識(shí)求最大值。

知識(shí)點(diǎn)類(lèi)比遷移過(guò)程：在高中物理問(wèn)題中，依據(jù)所研究問(wèn)題的需要，把實(shí)際研究對(duì)象及其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、受力情況等進(jìn)行合理抽象，對(duì)制約物體客體運(yùn)動(dòng)、變化的條件進(jìn)行取舍，即忽略次要因素，抓住決定性的條件，突出理想客體與主要條件的內(nèi)在聯(lián)系。如本題中，解決問(wèn)題時(shí)可以首先突出豎直方向上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以發(fā)現(xiàn)豎直方向的速度是先變大再變??；其次突出圓周運(yùn)動(dòng)，小球在任意一個(gè)位置的法線(xiàn)方向的合力提供向心力，因此可以采用如下步驟：

受力分析和運(yùn)動(dòng)分析1：如圖3所示：沿光滑圓弧下滑過(guò)程中小球受到重力mg和支持力N的作用，v達(dá)到最大值時(shí)，豎直方向的加速度為零，即豎直方向的合力為零，亦即：mg=Ncosθ可得：N=。

圖3 圖4

受力分析和運(yùn)動(dòng)分析2：小球在下滑過(guò)程中，做變速圓周運(yùn)動(dòng)（如圖4所示）：支持力N與重力G沿法線(xiàn)方向的分力的合力提供向心力。則有：N-mgcosθ=，結(jié)合前面（2）式和以上兩式可得：-mgcosθ=2mgcosθ，從而得：cosθ=，所以sinθ=，將上兩式代入（4）式可得：P=2sinθ=W。

方法二：重構(gòu)原有知識(shí)，創(chuàng)設(shè)多種情境，函數(shù)求導(dǎo)求最大值。

（一）對(duì)cosθsinθ求導(dǎo)，若要cosθsinθ取最大值，需要：

則有：=-sinθ+3cosθsinθ=0

可得：cosθ=，所以sinθ=

與（一）同理代入即可得到結(jié)果。

方法三：利用三角函數(shù)，聯(lián)系臨界條件，Cauchy不等式求最大值。

Cauchy不等式是數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的不等式，求函數(shù)最值是Cauchy不等式的基本應(yīng)用之一。

cosθsin

其中：2cosθ=sinθ時(shí)，cosθsinθ取最大值

此時(shí)有：P=mgsinθ=2sinθ=2=W。

方法四：利用gnuplot軟件，畫(huà)出重力的功率變化關(guān)系圖線(xiàn)，形成直觀印象。

筆者利用gnuplot軟件，畫(huà)出重力的功率隨θ的變化關(guān)系圖線(xiàn)，雖然該方法無(wú)法求出最值，但可以從圖像中清晰看出存在最值及重力的功率的變化趨勢(shì)，讓學(xué)生更形象、更直觀地認(rèn)識(shí)重力的功率隨θ的變化趨勢(shì)，加深對(duì)知識(shí)的理解與記憶。

通過(guò)力的獨(dú)立作用原理和運(yùn)動(dòng)的分解，進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，從具體的物理情景中逐步提煉出常見(jiàn)的物理模型，既符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣，又有利于對(duì)實(shí)際物理問(wèn)題的解決，充分利用所學(xué)的物理知識(shí)得到重力的最大瞬時(shí)功率，可以加深學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的理解和掌握。同樣，當(dāng)用物理知識(shí)考慮問(wèn)題有困難時(shí)，也可以利用數(shù)學(xué)所學(xué)到的函數(shù)求導(dǎo)方法或Cauchy不等式方法求重力的瞬時(shí)功率最大值。讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到求物理量最值的方法的多樣性，從而培養(yǎng)學(xué)生利用物理方法和數(shù)學(xué)方法求物理量最值的能力。