姚雨帆， 孫玉發(fā)， 王仲根， 盛 濤

（安徽大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，安徽 合肥 230039）

在目標(biāo)電磁散射特性的常規(guī)分析中，縫隙作為弱散射源，往往被學(xué)者們忽視。但隨著隱身技術(shù)的發(fā)展，縫隙對(duì)雷達(dá)散射截面（RCS）的影響愈加明顯［1］。近年來，與計(jì)算規(guī)則目標(biāo)RCS相比，研究人員更側(cè)重于對(duì)開縫導(dǎo)體電磁散射特性的研究。對(duì)于縫隙形狀比較簡單的目標(biāo)，當(dāng)寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于照射平面波波長時(shí)，文獻(xiàn)［2］根據(jù)Babinet原理推導(dǎo)出較精確的經(jīng)驗(yàn)公式。對(duì)于內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜且?guī)в须娦〕叽缈p隙的電大物體，可以采用時(shí)域有限差分法［3］、多層快速多極子算法［4］等電磁場數(shù)值計(jì)算方法，也可以運(yùn)用各種數(shù)值解法與高頻近似法相結(jié)合的混合算法求解，保證計(jì)算的精度和速度，比如物理光學(xué)法與矩量法（MOM）結(jié)合［5］、周期矩量法與矩量法結(jié)合［6］等。此外，文獻(xiàn)［7－8］分別介紹了實(shí)驗(yàn)測試法和半實(shí)測法處理縫隙電磁散射問題，都取得了不錯(cuò)的效果。本文采用等效偶極子（EDM）法加速阻抗矩陣元素填充，并與自適應(yīng)交叉近似（ACA）算法相結(jié)合壓縮遠(yuǎn)場的阻抗矩陣，最終實(shí)現(xiàn)電大開縫導(dǎo)體目標(biāo)RCS的快速計(jì)算。

1 理論分析

1.1 等效偶極子法

任意三維理想導(dǎo)體目標(biāo)在入射平面波Ei照射下，表面S將產(chǎn)生等效電流J，進(jìn)而產(chǎn)生散射場Es。根據(jù)理想導(dǎo)體表面總切向電場為0的邊界條件，可得如下方程：

等效電流J可用RWG矢量基函數(shù)展開，即

采用伽略金法，權(quán)函數(shù)選取fm（r），可將（1）式轉(zhuǎn)化為矩陣方程［9］：

其中，Z為阻抗矩陣；I為待求電流；V為激勵(lì)矢量。

MoM填充Z的方法如文獻(xiàn)［10］所述，計(jì)算過程中會(huì)涉及大量的雙重積分，當(dāng)未知數(shù)較多時(shí)，該方法非常耗時(shí)。文獻(xiàn)［11］提出一種快速填充阻抗矩陣元素的新方法——等效偶極子法。如圖1所示，ln、lm分別代表2個(gè)三角單元對(duì)T±n、T±m(xù)的公共邊，當(dāng)場源之間的距離大于某一閾值時(shí)，每個(gè)三角單元對(duì)可等效為一個(gè)電偶極子，第n個(gè)三角單元對(duì)的等效偶極矩表達(dá)式如下：

其中，In為電流系數(shù)；分別為三角形T＋n、T－n質(zhì)心的位置矢量。第n個(gè)等效偶極子在rn處產(chǎn)生的散射電場［12］可表示為：

圖1 偶極子模型

R＝rm－rn為距離矢量；R＝｜R｜；η和k為自由空間的波阻抗和波數(shù)。

將（5）式代入（1）式，用權(quán)函數(shù)fm（r）作用于（1）式兩邊，并從Es（r）中提出電流系數(shù)In可得：

阻抗矩陣元素表達(dá)式可由（6）式整理得：

給定頻率和入射角，通過（7）式計(jì)算出Zmn后代入（3）式求出電流系數(shù)In，進(jìn)而雷達(dá)散射截面可由（8）式計(jì)算：

其中，u＝uxsinθcosφ＋uysinθsinφ＋uzcosθ，為入射波單位矢量。

數(shù)值試驗(yàn)表明當(dāng)場源距離R＞0.15λ時(shí)可運(yùn)用EDM法加速填充阻抗矩陣元素，不滿足此條件，則采用MoM填充。從（7）式可知EDM法的阻抗矩陣元素表達(dá)式中沒有耗時(shí)的積分運(yùn)算，這正是EDM法顯著提高計(jì)算效率的主要原因。

1.2 自適應(yīng)交叉近似算法

自適應(yīng)交叉近似（ACA）算法具有純數(shù)學(xué)理論特性，用于快速計(jì)算阻抗矩陣［13］。其原理是將阻抗矩陣分解成尺寸大小不同的子矩陣，通過自適應(yīng)的方法確定每個(gè)子矩陣的秩，盡可能地提取到每個(gè)矩陣最小的秩值，從而減少矩陣填充元素，提高計(jì)算效率。ACA算法的理論概述如下。

用m×n矩陣Zm×n代表矩量法中遠(yuǎn)場組的阻抗矩陣。該算法通過2個(gè)元素較少的矩陣相乘來構(gòu)造近似矩陣，并用來近似Zm×n，即

其中，r為矩陣Zm×n的秩；Um×r和Vr×n均是秩為r的滿秩矩陣。

誤差矩陣Rm×n滿足（10）式終止迭代：

其中，ε為誤差迭代門限；‖·‖是矩陣的Frobenus范數(shù)。

在實(shí)際計(jì)算中，秩r?min（m，n），阻抗矩陣元素由m×n個(gè)下降到（m＋n）×r個(gè)，運(yùn)算量明顯降低，填充時(shí)間大大減少。對(duì)近場組，采用MoM結(jié)合EDM法加速填充Zm×n。遠(yuǎn)場作用區(qū)域，用ACA算法結(jié)合EDM法加速填充抽取行列阻抗矩陣元素。

2 數(shù)值結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，分別計(jì)算了單縫平板、單縫長方體、三縫隙長方體的雙站RCS。所有算 例 均 在 Pentium（R）Dual－Core E6500 2.93 GHz 3.46GB RAM計(jì)算機(jī)上計(jì)算的，編譯環(huán)境為VC＋＋6.0。算例中入射角度θi＝0°，φi＝0°，垂直于縫隙入射，散射角度θs＝0°～360°，φs＝0°，縫隙尺寸為0.1m×1.0m。采用自重啟的最小廣義余量迭代法GMRES（m）求解矩陣方程，重啟數(shù)m＝30，ACA、GMRES（m）誤差迭代門限均為0.001。

算例1 計(jì)算1.0m×1.5m的單縫理想導(dǎo)體平板的雙站RCS?？p隙位于導(dǎo)體平板表面中央，入射頻率為1GHz，用三角單元進(jìn)行剖分，單元數(shù)為3 020個(gè)，未知量數(shù)為4 425，共分割成49個(gè)非空組。采用 MoM、EDM 法、EDM－ACA方法計(jì)算的單縫導(dǎo)體平板雙站RCS如圖2所示。由圖2可見，3種方法計(jì)算結(jié)果吻合良好。

圖2 單縫平板的雙站RCS

算例2 計(jì)算尺寸為2.0m×2.5m×1.0m的單縫理想導(dǎo)體長方體的雙站RCS?？p隙位于長方體表面中央，入射頻率為350MHz，用三角單元進(jìn)行剖分，單元數(shù)為5 554個(gè)，未知變量數(shù)為8 331個(gè)，共分割成49個(gè)非空組。3種方法計(jì)算的單縫導(dǎo)體長方體雙站RCS曲線如圖3所示。由圖3可見，3種方法計(jì)算結(jié)果較為吻合。

圖3 單縫長方體的雙站RCS

算例3 計(jì)算一個(gè)邊長為2.0m×2.5m×1.0m的三縫隙理想導(dǎo)體長方體的雙站RCS，入射頻率為450MHz，采用三角單元剖分長方體，共有10 804個(gè)單元，16 206個(gè)未知變量，目標(biāo)被分割成36個(gè)非空組。本文方法計(jì)算的雙站RCS如圖4所示，從圖4中可以看出，EDM－ACA方法與商業(yè)軟件FEKO計(jì)算結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了本文方法在分析復(fù)雜開縫導(dǎo)體時(shí)也具有較高精度，可移植性好。

圖4 3縫隙長方體的雙站RCS

3種算例所消耗的內(nèi)存、時(shí)間見表1所列，從表1可以看出，在同等精度條件下，EDM－ACA方法在節(jié)省內(nèi)存和時(shí)間上更具有優(yōu)勢。

表1 3種算例的內(nèi)存消耗、CPU時(shí)間比較

3 結(jié)束語

本文將EDM法與ACA算法相結(jié)合計(jì)算電大開縫導(dǎo)體的RCS。對(duì)于近場作用區(qū)域采用EDM結(jié)合MoM加速填充阻抗矩陣，遠(yuǎn)場作用區(qū)域阻抗矩陣用ACA算法進(jìn)行壓縮，并對(duì)抽取的行列阻抗矩陣元素用EDM法加速填充。數(shù)值計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的精確性和高效性。此方法還可以推廣到其他復(fù)雜開縫目標(biāo)RCS的快速分析中。

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