沈 燕

(嘉興學(xué)院 平湖校區(qū),浙江嘉興314200)

函數(shù)極限是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,利用等價(jià)無窮小代換求極限是高等數(shù)學(xué)中求極限的一個(gè)重要方法,恰當(dāng)?shù)厥褂玫葍r(jià)無窮小代換求極限,可化繁為簡,變難為易.但對一個(gè)分式如果隨意利用等價(jià)無窮小代換求極限,則很容易出錯(cuò).在對此問題進(jìn)行探討時(shí),有人以定理形式給出對一個(gè)分式利用等價(jià)無窮小代換求極限的適用范圍,但卻缺少對一個(gè)分式為什么不能隨意利用等價(jià)無窮小代換求極限進(jìn)行分析說明.[1]對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生來說,也是一知半解地照搬那些定理,知其然不知其所以然,造成學(xué)習(xí)的一大缺憾.筆者擬對此做一些分析與說明.

為敘述方便先給出下面的定義和定理：

定義：設(shè)α和β在自變量的同一變化過程中均為無窮小,即：li mα=0,li mβ=0.若li m=c≠0(c為常數(shù)),則稱α與β是同階無窮小.特別地,當(dāng)c=1時(shí),即li m=1,則稱α與β是等價(jià)無窮小,記作：α～β.

許多書上指出：等價(jià)無窮小代換是對分子分母的整體替換 (或?qū)Ψ肿臃帜傅囊蚴竭M(jìn)行替換),不能對 “+”“-”號連接的各部分分別替換.[2]如：

但上題若把分子化成積的形式,就可用無窮小等價(jià)代換計(jì)算：

細(xì)辨 “不能對 ‘+’‘-’號連接的各部分分別替換”就會發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)假命題,反例如下：

即：有些函數(shù)的極限,分子或分母各項(xiàng)用 “+”“-”號連接的各部分仍然可以用等價(jià)無窮小去代換.究其原因,可以從極限的運(yùn)算法則去說明：

何種情況下等價(jià)無窮小代換能對 “+”“-”號連接的各部分分別替換,引起了數(shù)學(xué)老師對這部分教學(xué)內(nèi)容的探究,如劉靜等在 《關(guān)于等價(jià)無窮小代換求極限方法的一點(diǎn)補(bǔ)充》一文中,對非乘積因子進(jìn)行等價(jià)無窮小的代換方法,以命題形式給出：[3]

這與把分子化成積的形式后,各因式再用無窮小等價(jià)代換的計(jì)算結(jié)果一致.

總之,等價(jià)無窮小代換是對分子分母的整體替換 (或?qū)Ψ肿臃帜傅囊蚴竭M(jìn)行替換),對 “+”“-”號連接的各部分根據(jù)具體情況也可分別替換.

1)求一個(gè)分式的極限,當(dāng)分式中分子、分母中的和或差項(xiàng)只要都是xα(α為常數(shù))的同階無窮小,則分式中分子、分母的各項(xiàng)都可用等價(jià)無窮小直接代換.如：

2)求一個(gè)分式的極限,當(dāng)分式中分子的和或差項(xiàng)是xα(α為常數(shù))的高階無窮小,分母的和或差項(xiàng)是xα(α為常數(shù))的同階無窮小,則其值為0;相反,當(dāng)一個(gè)分式中分母的和或差項(xiàng)是xα(α為常數(shù))的高階無窮小,分子的和或差項(xiàng)是xα(α為常數(shù))的同階無窮小,則其值為∞;如：

3)求一個(gè)分式的極限,當(dāng)分子、分母中的和或差項(xiàng)同是xα(α為常數(shù))的高階無窮小,則用其他方法去求極限,如洛必達(dá)法則或泰勒展開公式,或先化分子、分母為積的形式,等等.

解法一：

同一題得到兩個(gè)不同的結(jié)果,至少有一個(gè)答案是錯(cuò)的,問題出在解法一.

[1]殷君芳.用等價(jià)無窮小代換求極限的誤區(qū)及一點(diǎn)補(bǔ)充 [J].宜春學(xué)院學(xué)報(bào),2011(4)：25-26.

[2]吳素敏.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué) [M].北京：高等教育出版社,2008：24.

[3]劉靜,崢嶸.關(guān)于等價(jià)無窮小代換求極限方法的一點(diǎn)補(bǔ)充 [J].嘉興學(xué)院學(xué)報(bào),2005(5)：23-25.