孫寶楠，袁業(yè)立，韓磊，楊永增*，連展

（1.中國(guó)海洋大學(xué)海洋環(huán)境學(xué)院，山東青島 266100；2.國(guó)家海洋局第一海洋研究所，山東青島 266061；3.海洋環(huán)境科學(xué)和數(shù)值模擬國(guó)家海洋局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266061）

波浪破碎下油滴粒徑分布理論模型研究

孫寶楠1，2，3，袁業(yè)立2，3，韓磊2，3，楊永增2，3*，連展2，3

（1.中國(guó)海洋大學(xué)海洋環(huán)境學(xué)院，山東青島 266100；2.國(guó)家海洋局第一海洋研究所，山東青島 266061；3.海洋環(huán)境科學(xué)和數(shù)值模擬國(guó)家海洋局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島 266061）

海上溢油在波浪破碎的情況下經(jīng)常會(huì)形成油滴，本文討論了油滴形成的可能機(jī)制，根據(jù)量綱分析瑞利法建立了油滴卷入率與能量耗散率、卷入深度等破碎統(tǒng)計(jì)物理量的關(guān)系?；诹烤V分析Π定理并根據(jù)毛細(xì)數(shù)、無(wú)量綱卷入時(shí)間與粘度比的實(shí)驗(yàn)關(guān)系，導(dǎo)出了油徑譜的理論模型。初步結(jié)果表明，理論譜斜率－2.29與觀測(cè)譜斜率－2.3符合良好，剪切率、表面張力、油滴半徑、油和水的黏度等因素是影響油滴總數(shù)的主要原因。

量綱分析法；卷入率；油徑譜；波浪破碎統(tǒng)計(jì)量

1 引言

近年來(lái)，海上溢油是造成海洋環(huán)境污染的主要因素之一。海上溢油在海風(fēng)、海浪和海流的綜合作用下進(jìn)行擴(kuò)展、漂移、蒸發(fā)、乳化、溶解、分散、沉降、岸上吸附、光解和生物沉降等過(guò)程。一部分溢油覆蓋在水面，另一部分則以油滴的形式大量分散在水中［1］。海洋動(dòng)力過(guò)程對(duì)油膜的影響主要體現(xiàn)在油膜的漂移和分散方面，而以往的研究大部分只關(guān)注溢油的漂移路徑，對(duì)于溢油分散過(guò)程即破碎波作用下的溢油入水、油滴生成方面的研究還比較少［2］。觀測(cè)表明，高海況下被破碎波卷入水下的溢油量可以達(dá)到溢油總量的50%以上，波浪破碎是溢油以油滴形式入水的主要機(jī)制［3］，與實(shí)際海浪破碎相聯(lián)系的油滴生成問(wèn)題及其分布規(guī)律是溢油分散領(lǐng)域尚未研究透徹的課題。

破碎波作用下油滴的分布是溢油分散過(guò)程的基本問(wèn)題，其具有很強(qiáng)的規(guī)律性。前人觀測(cè)的譜斜率結(jié)果在－2.3左右［4］。迄今對(duì)油徑譜的研究主要集中在實(shí)驗(yàn)結(jié)果的簡(jiǎn)單擬合，不能反映油徑分布規(guī)律的內(nèi)在聯(lián)系，也不能反映實(shí)際海況對(duì)油滴分布的影響，所以亟須提出一種結(jié)合油滴形成機(jī)制和實(shí)際海洋參量的理論模型。本文探討了油滴形成的可能機(jī)制，引入了Yuan等［5］破碎波統(tǒng)計(jì)物理模型，討論了毛細(xì)數(shù)、無(wú)量綱卷入時(shí)間與油水黏度比的關(guān)系，并應(yīng)用量綱分析法建立了破碎波影響下的油滴粒徑分布理論模型，理論結(jié)果揭示了控制油滴總數(shù)的影響因素并從理論解釋了油徑分布規(guī)律的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

2 理論與觀測(cè)研究成果

2.1 油徑譜的理論研究

早在20世紀(jì)30年代，油滴的生成、破碎和分布規(guī)律就已經(jīng)引起了科學(xué)家們的注意。Taylor［6］的研究認(rèn)為，牛頓型液-液兩相乳化液的分散相液滴在外力場(chǎng)的作用下會(huì)同時(shí)發(fā)生拉伸、破裂和聚合現(xiàn)象。小液滴發(fā)生碰撞聚合，大液滴被剪切，最終達(dá)到分散液滴的動(dòng)態(tài)平衡，毛細(xì)數(shù)和黏度比是影響液滴變形的主要因素。對(duì)于海上溢油來(lái)說(shuō)，油滴總數(shù)隨其半徑變化的分布便是油徑譜。油徑譜達(dá)到穩(wěn)定后存在能夠經(jīng)受外力而不會(huì)發(fā)生破裂的最大油滴半徑，Hinze［7］采用量綱分析法根據(jù)韋伯?dāng)?shù)臨界值和Kolmogorov湍流慣性子區(qū)理論得到油滴最大直徑的理論表達(dá)。Li和Garrett［2］假設(shè)油滴在破碎過(guò)程中受兩種不同的機(jī)制控制，湍流耗散率較小時(shí)，湍流動(dòng)壓占主導(dǎo)；湍流耗散率較大時(shí)，黏性剪切代替湍流動(dòng)壓起主導(dǎo)作用。近20年來(lái)，引入海洋環(huán)境要素研究溢油入水過(guò)程逐漸成為研究的焦點(diǎn)，Johansen［8］將風(fēng)應(yīng)力作為油滴垂向卷入的主要因素，并引入白冠覆蓋率作為衡量溢油卷入率的尺度。Mackay等［9］提出油滴分散參數(shù)化模型，認(rèn)為風(fēng)速、黏度、油水界面張力和油膜厚度對(duì)入水量具有很大影響。Riemsdijk將溢油入水量與波浪要素聯(lián)系起來(lái)，建立了簡(jiǎn)單的溢油入水量模型［10］。Tsouris和Tavlarides［11］提出模擬油滴數(shù)量的簡(jiǎn)單動(dòng)力模型。挪威的IKU模型、英國(guó)的OSIS模型、美國(guó)的ADIOS模型均采用Delvigne的實(shí)驗(yàn)室模型計(jì)算油滴的分散量［12］。但以上研究中未對(duì)實(shí)際海洋破碎動(dòng)力過(guò)程在溢油分散中的影響進(jìn)行定量的討論，也未深入分析油滴控制機(jī)制間的內(nèi)在聯(lián)系。所以，要弄清楚這些問(wèn)題必須把破碎波統(tǒng)計(jì)要素和油滴生成控制機(jī)制結(jié)合起來(lái)，才能提出更加符合實(shí)際的理論模型。研究該理論模型可為油滴動(dòng)力平衡譜作參考，也可快速估計(jì)破碎波影響下的溢油入水量。

2.2 油徑譜的觀測(cè)研究

由于海上觀測(cè)破碎波攜油入水的過(guò)程較困難，相關(guān)研究主要集中在實(shí)驗(yàn)室中，F(xiàn)orrester［13］、Delvigne［14—16］、Bouwmeester和Wallace［17］的研究得到了不少沿用至今的結(jié)論。其中，代爾夫特水動(dòng)力實(shí)驗(yàn)室的Delvigne和他的同事們的研究最為突出（后簡(jiǎn)稱(chēng)D＆S實(shí)驗(yàn)）。D＆S實(shí)驗(yàn)對(duì)破碎波作用下的溢油卷入深度、油滴粒徑分布規(guī)律等做了詳細(xì)的實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)中使用激光束粒子篩選器計(jì)算水中油粒子的數(shù)目，采用高頻紫外光束將油滴、氣泡和灰塵粒子區(qū)分開(kāi)來(lái)，最小可探測(cè)出3μm的微觀粒子。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，油滴的最大尺寸依賴于油的黏度和平均能量耗散率等因素，一般不大于2 000μm，平均尺寸在200μm左右，油膜垂直擴(kuò)散率介于每小時(shí)0.4%～2.1%。在不同油品、不同破碎能量、不同油膜厚度的試驗(yàn)中總能得到油滴粒徑較統(tǒng)一的分布律［14］。如圖1所示，油滴數(shù)量N（縱坐標(biāo)）與油滴粒徑a（橫坐標(biāo)）呈對(duì)數(shù)線性關(guān)系：N～a－2.3。Bouwmeester和Wallace［17］設(shè)計(jì)的溢油水槽實(shí)驗(yàn)表明，在表層水體附近油滴分布遵循分布律N～a－1。油滴卷入實(shí)驗(yàn)均表明，油滴數(shù)量分布顯著依賴于油滴粒徑尺度，兩者的對(duì)數(shù)呈明顯線性關(guān)系，但對(duì)于存在這種關(guān)系的內(nèi)部原因，目前的研究還并不充分。本文在第三部分中，將應(yīng)用量綱分析法，結(jié)合破碎波統(tǒng)計(jì)量從理論上解釋油徑分布規(guī)律的可能原因。

圖1 破碎波攜油入水得到的油滴樣本及粒徑分布規(guī)律（據(jù)文獻(xiàn)［16］修改）Fig.1 Dispersion sample of oil droplet under breaking waves and observed droplet size distribution（modified from literature［16］）

3 油徑譜理論模型的建立

3.1 量綱分析法

量綱分析法主要用于分析物理現(xiàn)象中的內(nèi)部規(guī)律，通過(guò)對(duì)有關(guān)物理量做量綱冪次分析，將它們組合成無(wú)量綱的組合量，揭示物理量之間在量綱上的內(nèi)在聯(lián)系，特別是對(duì)那些很難從理論上進(jìn)行分析的復(fù)雜問(wèn)題，更能顯示出該方法的優(yōu)越性。Maxwell提出長(zhǎng)度（L）、質(zhì)量（M）、時(shí)間（T）的計(jì)量單位為“基礎(chǔ)單位”，其他單位為“衍生單位”，對(duì)力學(xué)問(wèn)題來(lái)說(shuō)，任一物理量的量綱均可表示為L(zhǎng)-M-T的冪次之積。Rayleigh提出了用定性物理量的某種冪次之積的函數(shù)來(lái)表示被決定的物理量，對(duì)于變量較少的簡(jiǎn)單過(guò)程，瑞利法可以方便地直接求出結(jié)果。對(duì)于變量較多的復(fù)雜過(guò)程，此法有局限性。Buckingham建立的量綱分析Π定理，可以解決較多物理量的復(fù)雜問(wèn)題。根據(jù)Π定理，如果一個(gè)物理過(guò)程涉及n個(gè)物理量和m個(gè)基本量綱，Π定理可給出將該方程等價(jià)地重寫(xiě)為具有n－m個(gè)無(wú)量綱參數(shù)方程（Π方程）的方法［18—20］。在油滴分布規(guī)律的研究中，采用量綱分析法并結(jié)合實(shí)驗(yàn)室觀測(cè)可以得到各種控制因素之間的內(nèi)部聯(lián)系，可避免重要因素的重復(fù)或缺失。

3.2 溢油入水卷入率模型的建立

石油一旦溢漏到海上，將在破碎波的作用下以小油滴的形式進(jìn)入水中。如果油滴足夠小，湍流將阻止油滴上浮，此過(guò)程被稱(chēng)為分散。在惡劣海況下，溢油的分散是自然去除浮油的主要機(jī)理，在眾多溢油事件中，大部分的浮油都以油滴的形式被分散到水中［21］。自然分散條件下，波浪破碎的能量較大或浮油的黏度很低時(shí)，這一過(guò)程是非常顯著的，所以破碎波是引起溢油入水的最直接最主要的因素。在海況較平靜時(shí)，溢油入水很小，油水界面張力也會(huì)導(dǎo)致溢油入水，但與波浪作用相比量級(jí)很小。實(shí)驗(yàn)表明，波浪破碎過(guò)程中大部分的能量都用來(lái)克服浮力做功。同樣，我們可以假設(shè)波浪破碎的過(guò)程中，一定比例的能量用來(lái)克服浮力攜油入水，Lamarre和Melville［22］認(rèn)為這部分能量大約為破碎能量的0.3～0.5倍。根據(jù)Johanson［8］、Tkalich和Chan［23］的一階模型，把從浮油到混合層的油滴質(zhì)量用運(yùn)動(dòng)方程描述為：

式中，Ms是浮油的質(zhì)量，Me是混合層里油的質(zhì)量（均表示單位海表面積下的量值），Qo為單位質(zhì)量的浮油被破碎波卷入的速率。由式（1）可以看出，卷入率Qo在卷入過(guò)程中起著決定性的作用。卷入率所涉及的變量不多，可利用瑞利法進(jìn)行以下步驟的量綱分析［18—19］。

（1）根據(jù)理論和實(shí)驗(yàn)可知卷入率Qo與單位時(shí)間、單位水體上海波破碎損耗的能量Et／Vb、油滴密度ρ、油滴重力gz有關(guān)，其中z油滴卷入深度、g為重力加速度。

（2）將它們寫(xiě)成指數(shù)乘積關(guān)系Qo＝k（Et／Vb）aρb（ gz）c，其中，k是無(wú)量綱量，并且取基本量綱為長(zhǎng)度量綱L、時(shí)間量綱T和質(zhì)量量綱M。

（3）對(duì)基本物理量進(jìn)行量綱分析并利用量綱和諧原理求出待定指數(shù)：

3.3 油徑譜理論模型的建立

破碎波加強(qiáng)了湍流的剪切作用，使油滴發(fā)生形變導(dǎo)致破碎，在Hinze微長(zhǎng)度尺度內(nèi)，表面張力是抵制油滴破碎的原因，當(dāng)表面張力不足以抵制剪切造成表面變形，油滴將發(fā)生破裂，這個(gè)過(guò)程主要由毛細(xì)數(shù)Ca即界面張力數(shù)控制［3］。毛細(xì)數(shù)為流體黏性力和界面張力的比值［7］，同時(shí)也是韋伯?dāng)?shù)We和雷諾數(shù)Re的比值，在流體力學(xué)中可預(yù)測(cè)兩相流體分散相液滴的形變和破裂發(fā)生的可能性［28］。實(shí)驗(yàn)表明，毛細(xì)數(shù)、無(wú)量綱卷入時(shí)間與分散相和連續(xù)相的黏度比λ存在對(duì)數(shù)線性關(guān)系［2］（圖2）。所以，假設(shè)油徑譜是關(guān)于油滴半徑a、油滴動(dòng)力黏度μd、水的動(dòng)力黏度μ、油滴所受的剪切率S、卷入率Qo、表面張力系數(shù)γ的函數(shù)。綜上所述，運(yùn)用量綱分析法的Π定理可以對(duì)以上相關(guān)物理量進(jìn)行量綱分析（表1）。

圖2 毛細(xì)數(shù)（a）和無(wú)量綱時(shí)間（b）隨黏度比的變化曲線（據(jù)文獻(xiàn)［3］修改）Fig.2 Critical capillary number（a）and dimensionless time（b）as a function of viscosity ratio（modified from reference［3］）

表1 各物理量的量綱分析Tab.1 Dimensional analysis of various physical quantities

倘若此物理過(guò)程的方程式為F（a，μ，μd，S，N，Q0，γ）＝0，其中涉及M-L-T 3個(gè)基本量綱和7個(gè)物理量，則存在4個(gè)無(wú)量綱Π數(shù)，根據(jù)量綱和諧原理，具體為：

所以，只要求出n的值，就可導(dǎo)得油徑譜的模型。

根據(jù)圖3a可知，油滴半徑與湍流耗散率的關(guān)系在不同的控制機(jī)制下表現(xiàn)為不同的斜率，而D＆S實(shí)驗(yàn)的半徑大都落在－2／5次方率的區(qū)間上，所以a～ε－2／5。

圖3 Prudhoe灣樣本油滴半徑隨湍流耗散率的變化曲線（a）和D＆S實(shí)驗(yàn)3種深度處的油滴粒徑分布（b）（據(jù)文獻(xiàn)［3］修改）Fig.3 Curves of Prudhoe Bay oil droplet radius changing with dissipation rate（a）and droplet size distribution versus droplet radius at three depths from D＆S experiments（b）（modified from reference［3］）

當(dāng)油滴尺寸大于Kolmogorov長(zhǎng)度尺度，剪切率S＝2.3ε1／3a－2／3［2］，根據(jù)式（10）、a和ε冪次率的關(guān)系可得到：

當(dāng)油滴尺寸小于Kolmogorov長(zhǎng)度尺度，剪切率S＝3.65ε1／2ν1／2［2］，根據(jù)式（10），a和ε的冪次率的關(guān)系可得到：

所以，需要確定試驗(yàn)中的Kolmogorov長(zhǎng)度尺度，才能確定油徑譜斜率。Kolmogorov長(zhǎng)度尺度是指在湍流中黏性開(kāi)始起作用的微長(zhǎng)度尺度［6］。D＆S試驗(yàn)中Prudhoe灣油樣運(yùn)動(dòng)黏度ν＝40～120 cst，能量耗散率ε＝0.1～1 m2s－3［4］。根據(jù)Kolmogorov長(zhǎng)度尺度的定義式η＝ （ν3／ε）1／4，η最小為0.08 m，觀測(cè)油滴尺度在3～1 200μm遠(yuǎn)小于這個(gè)值，所以黏性起到主要的控制作用。油徑斜率選擇式（12）的表達(dá)，即譜斜率式（13）變?yōu)椋?/p>

式（13）即本文推導(dǎo)的油徑譜理論模型，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)黏度ν和動(dòng)力黏度μ的轉(zhuǎn)換，引入了油滴密度ρd。為了考慮實(shí)際海浪破碎的影響，Q0可以選擇式（5）至式（7）的表達(dá)。理論譜模型的譜斜率約為－2.29，這與D＆S實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的譜斜率－2.3非常接近，說(shuō)明文中量綱分析所考慮的物理量和控制機(jī)制比較合理，較好的反應(yīng)了觀測(cè)譜的規(guī)律。從式（10）、（13）中可以看出，黏度、湍流耗散率、卷入率、表面張力系數(shù)等量均對(duì)油滴的總數(shù)有影響，黏度和湍流耗散率越大，油滴個(gè)數(shù)越多，油滴密度、表面張力系數(shù)越大，油滴個(gè)數(shù)越少。但卷入率對(duì)油滴總數(shù)影響不大，這可以理解為卷入率影響的是油滴卷入的時(shí)間，對(duì)油徑譜的結(jié)構(gòu)沒(méi)有很大的貢獻(xiàn)。

4 結(jié)論

本文應(yīng)用量綱分析法，基于Yuan等［5］波浪破碎統(tǒng)計(jì)模型，導(dǎo)出油滴的卷入率理論形式，此模型可結(jié)合海浪數(shù)值模式定量估算波浪破碎過(guò)程帶來(lái)的卷入效果。在此基礎(chǔ)上，利用Π定理分析了油滴產(chǎn)生破碎過(guò)程的控制因素及4個(gè)無(wú)量綱相似數(shù)表達(dá)，在毛細(xì)數(shù)和無(wú)量綱卷入時(shí)間的觀測(cè)基礎(chǔ)上，建立了油滴總數(shù)與油滴半徑、湍流能量耗散率、表面張力、黏度的關(guān)系，即油徑譜的理論模型。

利用該油徑譜模型初步解釋了D＆S實(shí)驗(yàn)中油滴數(shù)量與油徑的對(duì)數(shù)線性關(guān)系，而這一關(guān)系依賴于油和水的黏度、湍流耗散率、油滴表面張力、卷入率等物理量。初步結(jié)果表明，油徑譜理論譜斜率為－2.29，與實(shí)驗(yàn)室觀測(cè)的油徑譜斜率－2.3非常接近，從理論上解釋觀測(cè)油徑譜的規(guī)律和控制機(jī)制?；诹烤V分析建立的油徑譜模型還需要今后的觀測(cè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步檢驗(yàn)和完善。本文的理論研究和實(shí)際觀測(cè)工作結(jié)合起來(lái)，可在海洋溢油的應(yīng)急響應(yīng)和評(píng)估中起到一定的參考作用。

致謝：感謝審稿人對(duì)本文提出的寶貴意見(jiàn)和建議。本研究得到科技部863項(xiàng)目、國(guó)家海洋局第一海洋研究所基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金項(xiàng)目的支持。

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On theoretical models for oil droplets size distribution under the influence of surface wave breaking

Sun Baonan1，2，3，Yuan Yeli2，3，Han Lei2，3，Yang Yongzeng2，3*，Lian Zhan2，3

（1.Laboratory of Physical Oceanography，Ocean University of China，Qingdao 266100，China；2.First Institute of Oceanography，State Oceanic Administration，Qingdao 266061，China；3.Key Lab of Marine Science and Numerical Modeling，State Oceanic Administration，Qingdao 266061，China）

Marine oil spill often forms oil droplets in stormy conditions..Based on the dimensional analysis Rayleigh method，the relationship is established between entrainment rate of oil droplet and statistical physical quantities such as the energy dissipation rate，intrusion depth et al.An expression of size spectrum of oil droplets is derived based onΠtheorem and relationship between capillary number，the dimensionless intrusion time and viscosity ratio.Preliminary results show that the slope of the derived spectrum is－2.29，which agrees well with the measured slope－2.3 in laboratory.Shear rate，surface tension，droplet radius，oil and water viscosity is the main factors controlling the total number of the oil droplets.

dimensional analysis；entrainment rate；size spectrum of oil droplets；surface wave breaking statistics

P731.22

A

0253-4193（2014）09-0030-07

孫寶楠，袁業(yè)立，韓磊，等.波浪破碎下油滴粒徑分布理論模型研究［J］.海洋學(xué)報(bào)，2014，36（9）：30－36，

10.3969／j.issn.0253-4193.2014.09.004

Sun Baonan，Yuan Yeli，Han Lei，et al.On theoretical models for oil droplets size distribution under the influence of surface wave breaking［J］.Acta Oceanologica Sinica（in Chinese），2014，36（9）：30－36，doi：10.3969／j.issn.0253-4193.2014.09.004

2013-12-26；

2014-04-19。

國(guó)家高科技研究發(fā)展計(jì)劃（863）（2013AA09A506）；國(guó)家海洋局第一海洋研究所基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金項(xiàng)目（GY0212148，GY0212181）。

孫寶楠（1984—），女，山東省青島市人，研究實(shí)習(xí)員，主要從事海洋波動(dòng)動(dòng)力學(xué)研究。E-mail：sunbn＠fio.org.cn

*通信作者：楊永增（1969—），男，山東省泰安市人，研究員，主要從事海浪數(shù)值模擬研究。E-mail：yangyz＠fio.org.cn