唐 儀， 黃志剛， 郭鐘寧

(廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

四維空間內(nèi)的有限元體繪制轉(zhuǎn)換函數(shù)設(shè)計(jì)

唐 儀， 黃志剛， 郭鐘寧

(廣東工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

經(jīng)典的有限元體繪制轉(zhuǎn)換函數(shù)是定義在三維位置空間內(nèi)的，然而有限元分析中還存在四維空間的數(shù)據(jù)，為了對(duì)該類數(shù)據(jù)進(jìn)行顯示，現(xiàn)提出一種面向四維有限元數(shù)據(jù)的體繪制轉(zhuǎn)換函數(shù)模型。該模型結(jié)合有限元數(shù)據(jù)極大值區(qū)高關(guān)注度的特點(diǎn)和體繪制技術(shù)良好的數(shù)據(jù)篩選能力，在原有位置空間轉(zhuǎn)換函數(shù)的基礎(chǔ)上擴(kuò)充第四維，以變換出時(shí)序體繪制效果和多標(biāo)量體繪制效果。該模型的使用可極大的豐富有限元數(shù)據(jù)的圖形顯示方法。

轉(zhuǎn)換函數(shù)；四維空間；體繪制；有限元數(shù)據(jù)

經(jīng)典的有限元數(shù)據(jù)多采用表面繪制技術(shù)實(shí)現(xiàn)彩云圖、切片圖和等值面的顯示效果，雖然面繪制能高效的表現(xiàn)某種標(biāo)量數(shù)據(jù)在模型表面的分布情況，但它不便于觀察三維實(shí)體模型的內(nèi)部數(shù)據(jù)分布。相對(duì)面繪制而言，體繪制[1]作為直接提取興趣區(qū)域內(nèi)體數(shù)據(jù)進(jìn)行顯示的圖形學(xué)方法，它可以強(qiáng)調(diào)實(shí)體內(nèi)部興趣信息，去除或弱化非興趣信息，以實(shí)現(xiàn)實(shí)體內(nèi)部關(guān)鍵數(shù)據(jù)的顯示。

體繪制主要包括體繪制算法與轉(zhuǎn)換函數(shù)兩部分，體繪制算法用以獲取各采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)值，體繪制算法包含體光線投射法[2]、體單元投影法[3]和混合繪制方法，雖然體繪制計(jì)算量相當(dāng)大，但通過三維紋理映射[4]，并行機(jī)制[5]或硬件支持的多邊形RGBA填充[6]的圖形硬件加速方法仍可滿足有限元繪制的要求；轉(zhuǎn)換函數(shù)用以將采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)值映射到組成圖像的光學(xué)屬性(透明度和顏色)，它設(shè)定的好壞對(duì)成像質(zhì)量有著直接的影響。實(shí)際中設(shè)定一個(gè)較理想的轉(zhuǎn)換函數(shù)需要大量嘗試，而轉(zhuǎn)換函數(shù)設(shè)定的困難[7-9]影響著體繪制在實(shí)際可視化應(yīng)用中的發(fā)展。轉(zhuǎn)換函數(shù)的研究主要集中在自動(dòng)生成傳遞函數(shù)和提供交互界面兩個(gè)方向，Correa和Ma[10]提出依據(jù)特征空間輔助用戶設(shè)計(jì)傳遞函數(shù)的方法，Tzeng等[11]利用智能系統(tǒng)提取興趣體數(shù)據(jù)以自動(dòng)生成轉(zhuǎn)換方程，該方法操作簡(jiǎn)單但生成的轉(zhuǎn)換函數(shù)的類型存在局限性；Jankun-Kelly和Ma[12]用二維表格交互界面對(duì)多維可視化參數(shù)空間顯示，Tory等[13]基于并行坐標(biāo)界面表現(xiàn)可視化參數(shù)空間，以上研究極大的推動(dòng)了體繪制的應(yīng)用。

但以上轉(zhuǎn)換函數(shù)設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)對(duì)象都在三維位置空間內(nèi)，而有限元分析中存在著某些四維數(shù)據(jù)。故本文提出一種應(yīng)用于四維空間內(nèi)有限元數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)換函數(shù)模型，該模型在原本三維空間的基礎(chǔ)上增加第四維，改變第四維的意義即可生成新的體繪制顯示效果，如時(shí)序體繪制顯示效果和多標(biāo)量體繪制顯示效果，時(shí)序體繪制效果可將有限元瞬態(tài)分析多個(gè)時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)同時(shí)顯示在單幀圖像內(nèi)，以觀察某種數(shù)據(jù)隨時(shí)間的分布變化情況；多標(biāo)量體繪制顯示可將有限元分析中的多種數(shù)據(jù)標(biāo)量顯示在單幀圖像內(nèi)，以快速找出實(shí)體內(nèi)對(duì)多種標(biāo)量的敏感部位。

1 轉(zhuǎn)換函數(shù)模型設(shè)計(jì)

類比于三維體繪制中的轉(zhuǎn)換函數(shù)的設(shè)計(jì)方法，四維空間內(nèi)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換函數(shù)定義如下。

1.1 透明度設(shè)計(jì)

圖1為空間數(shù)據(jù)不透明度轉(zhuǎn)換函數(shù)示意圖，考慮到有限元分析中對(duì)極大值區(qū)域關(guān)注較多，將它定義為高通濾波函數(shù)，圖2為第四維不透明度轉(zhuǎn)換函數(shù)示意圖。通過以上兩個(gè)函數(shù)即可確定數(shù)據(jù)的最終不透明度。

圖1 空間數(shù)據(jù)不透明度轉(zhuǎn)換函數(shù)

圖2 第四維不透明度轉(zhuǎn)換函數(shù)

空間數(shù)據(jù)不透明度轉(zhuǎn)換函數(shù)的定義如式(1)：

最終不透明度被定義如式(2)：

其中，v代表模型的任一采樣點(diǎn)數(shù)值，vmax代表模型中數(shù)據(jù)的最大數(shù)值，w代表極大值數(shù)據(jù)區(qū)域的寬度，w(i)代表第四維坐標(biāo)值為i時(shí)對(duì)應(yīng)的不透明度值。

1.2 顏色模型設(shè)計(jì)

將投影到第四維上不同位置的數(shù)據(jù)用不同的顏色區(qū)分，將該顏色定義在 HSV(Hue, Saturation, Value)模型上。為了使第四維上相鄰數(shù)據(jù)明顯區(qū)分，將Hue設(shè)計(jì)如式(3)：

Saturation和Value模型被定義為式(4)：

其中，n表示共有n(n≥2)個(gè)第四維數(shù)據(jù)點(diǎn)，i代表第i個(gè)第四維數(shù)據(jù)點(diǎn)。

1.3 第四維積分

相對(duì)于三維空間的數(shù)據(jù)積分，四維空間需定義第四維度上的積分，第四維數(shù)據(jù)積分順序包括從后往前和從前往后兩種。

以遞歸的方式表達(dá)從前往后積分方程如式(5)所示[14-15]，該方法假想體光線從第四維坐標(biāo)的最小值開始向后依序跨越，對(duì)于每一個(gè)采樣點(diǎn)分別將顏色和不透明度乘以透明度(1–α)，再與已積累的顏色和不透明度相加生成下一采樣點(diǎn)積累顏色和不透明度。采用這種方式當(dāng)不透明度接近1時(shí)可提前結(jié)束跨越。

以遞歸的方式表達(dá)從后往前積分方程如式(6)所示，從后往前方法是基于通用的畫家算法，因其無法提前結(jié)束跨越，故效率較低。

2 轉(zhuǎn)換函數(shù)應(yīng)用

采用四維空間內(nèi)定義的轉(zhuǎn)換函數(shù)，通過改變第四維的數(shù)據(jù)對(duì)象意義即可得到新的體繪制顯示效果。若將第四維定義為時(shí)間維，即得到時(shí)序體繪制效果圖；若將第四維設(shè)定為標(biāo)量順序維，即得到多標(biāo)量體繪制效果圖。

2.1 時(shí)序體繪制方法

有限元法的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析[16-17]是工程計(jì)算最常用的分析方法之一。瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析是用于確定承受任意的隨時(shí)間變化載荷的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的方法，該方法可確定結(jié)構(gòu)在穩(wěn)態(tài)載荷、瞬態(tài)載荷和簡(jiǎn)諧載荷的隨意組合下的隨時(shí)間變化的位移、應(yīng)變、應(yīng)力及力。因其是基于時(shí)間變化的分析，故有限元瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析常采用動(dòng)畫對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行觀察。

動(dòng)畫顯示符合人們對(duì)動(dòng)態(tài)事物的觀察認(rèn)知習(xí)慣，它借助人類的瞬態(tài)記憶能力將多個(gè)時(shí)間點(diǎn)的圖像串聯(lián)起來，但動(dòng)畫顯示要求各圖像時(shí)間間隔足夠小，故不利于觀察時(shí)間間隔較大的情況。本方法考慮將多個(gè)時(shí)間點(diǎn)圖像合成單張圖像，靜態(tài)對(duì)比不同時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)分布情況，以確定時(shí)域內(nèi)應(yīng)力最大的時(shí)間點(diǎn)。以下用一個(gè)實(shí)例加以說明。

2.1.1 有限元模型描述

以下是有一個(gè)方形物體在長條形桌面上移動(dòng)的接觸分析[18]，圖3為其在0.8 s和1.0 s時(shí)的應(yīng)力分布圖，其最大應(yīng)力Vmax為19.317 Pa。

圖3 某瞬態(tài)分析在兩時(shí)間點(diǎn)的應(yīng)力分布圖

2.1.2 結(jié)果與分析

按時(shí)序體繪制各圖參數(shù)見表1：

表1 時(shí)序體繪制各圖參數(shù)

圖4～7為按表1參數(shù)繪制的時(shí)序效果圖。圖中若采用向后的時(shí)間積分，則w(1)對(duì)應(yīng)0.8 s時(shí)刻的透明度，w(2)對(duì)應(yīng)1.0 s時(shí)刻的透明度，據(jù)式(6)知0.8 s時(shí)刻數(shù)據(jù)為藍(lán)色，1.0 s時(shí)刻數(shù)據(jù)為紅色；若采用向前的時(shí)間積分則w(1)對(duì)應(yīng)1.0 s時(shí)刻的透明度，w(2)對(duì)應(yīng)0.8 s時(shí)刻的透明度，同理可知1.0 s時(shí)刻數(shù)據(jù)為藍(lán)色，0.8 s時(shí)刻數(shù)據(jù)為紅色。

圖5相對(duì)于圖4將1.0 s時(shí)的透明度調(diào)小后，可將干涉區(qū)域內(nèi)原本被覆蓋的0.8 s時(shí)的數(shù)據(jù)（紅色）透顯出來；圖6相對(duì)于圖4變換的時(shí)間積分的順序，圖4先積分0.8 s的數(shù)據(jù)(紅色)再積分1.0 s數(shù)據(jù)(藍(lán)色)，圖6先積分1.0 s數(shù)據(jù)(紅色)再積分0.8 s數(shù)據(jù)(藍(lán)色)，由圖4和圖6知干涉區(qū)域內(nèi)后積分的數(shù)據(jù)會(huì)覆蓋先積分的數(shù)據(jù)。故可通過調(diào)節(jié)時(shí)刻透明度或改變時(shí)間積分順序的方法觀察干涉區(qū)域內(nèi)的極大值區(qū)域。

圖7在設(shè)定參數(shù)下，僅顯示出1.0 s時(shí)的部分?jǐn)?shù)據(jù)(紅色)，表明1.0 s相對(duì)于0.8 s需承受更大的應(yīng)力，同時(shí)指明1.0 s時(shí)極大值區(qū)域的部位。但若采用圖3所示的面繪制方法則需每一張圖對(duì)比，并且若想觀察到極大區(qū)域需觀察變換角度。在確定出1.0 s為關(guān)鍵分析時(shí)刻后即可有針對(duì)性的進(jìn)一步分析。

圖4 w為15.454，w(1)為1，w(2)為1向后時(shí)間積分所生成的效果圖

圖5 w為15.454，w(1)為1，w(2)為0.1向后時(shí)間積分所生成的效果圖

圖6 w為15.454，w(1)為1，w(2)為0.2向前時(shí)間積分所生成的效果圖

圖7 w為3.863，w(1)為1，w(2)為1向后時(shí)間積分所生成的效果圖

2.2 多標(biāo)量體繪制方法

有限元分析結(jié)果中往往包含多種標(biāo)量數(shù)據(jù)，經(jīng)典的繪制方法一次只能顯示一種數(shù)據(jù)分布情況，若想觀察其他標(biāo)量的分布需進(jìn)行顯示的切換，現(xiàn)提出多標(biāo)量體繪制方法以實(shí)現(xiàn)多種標(biāo)量數(shù)據(jù)的單幀顯示，該方法的實(shí)現(xiàn)只需將轉(zhuǎn)換函數(shù)模型的第四維設(shè)定為標(biāo)量順序維度。以下用一個(gè)實(shí)例加以說明。

2.2.1 有限元模型描述

以下模型為扁平封裝器件(quad flat package，QFP)[19]的三維熱傳導(dǎo)分析。圖8為分析后的等效熱梯度分布云圖，熱梯度的數(shù)據(jù)值范圍為[0.65，6675]，圖9為該分析后的等效熱流量分布云圖，熱流量的數(shù)值范圍為[24.5，59308]。現(xiàn)擬在單張圖片上同時(shí)顯示出以上兩個(gè)標(biāo)量的分布。

2.2.2 結(jié)果與分析

多標(biāo)量體繪制各圖參數(shù)見表2。

表2 多標(biāo)量體繪制各圖參數(shù)

圖10～12為按表2參數(shù)繪制的多標(biāo)量顯示效果圖。將熱梯度標(biāo)量定為1號(hào)標(biāo)量，將熱流量標(biāo)量定為2號(hào)標(biāo)量，因均采用向后的標(biāo)量積分方向，故w(1)為熱梯度的透明度，w(2)為熱流量的透明度，故由式(3)推導(dǎo)得知熱梯度數(shù)據(jù)為紅色，熱流量數(shù)據(jù)為藍(lán)色。

圖8 QFP的熱梯度分布云圖

圖9 QFP的熱流量分布云圖

圖10的熱流量不透明度為0.0，由式(2)可知圖10僅會(huì)顯示出熱梯度標(biāo)量的極大值區(qū)域。同理，圖11僅會(huì)顯示出熱流量標(biāo)量的極大值區(qū)域。圖10和圖11實(shí)際只是單標(biāo)量體繪制效果圖。

圖 12才是真正的熱梯度和熱流量雙標(biāo)量體繪制圖，可認(rèn)為其是圖10和圖11的疊加。

圖10 QFP的熱梯度單標(biāo)量體繪制

圖11 QFP的熱流量單標(biāo)量體繪制

圖12 QFP的熱流量與熱梯度兩標(biāo)量體繪制顯示效果

圖 12除去表面結(jié)構(gòu)的干擾，直接顯示出整個(gè)模型的熱梯度(紅色)和熱流量(藍(lán)色)的極大值區(qū)域，而圖8與圖9因?yàn)楸砻嬲趽醯脑薀o法顯示出相應(yīng)標(biāo)量的極大值區(qū)域（紅色區(qū)域），更無法多標(biāo)量同時(shí)顯示。

3 結(jié) 論

本文提出了一種針對(duì)四維空間內(nèi)的有限元數(shù)據(jù)體繪制的轉(zhuǎn)換函數(shù)模型，該模型將三維有限元數(shù)據(jù)的顯示擴(kuò)充到四維，使體繪制顯示擁有更多新的變化，進(jìn)而衍生出時(shí)序體繪制顯示效果和多標(biāo)量體繪制顯示效果。

該模型的優(yōu)點(diǎn)在于首先它根據(jù)有限元分析中對(duì)極大值區(qū)域的高關(guān)注度，簡(jiǎn)化已有空間三維轉(zhuǎn)換函數(shù)模型；同時(shí)它在空間三維的基礎(chǔ)增加第四維，在第四維方向上又為有限元體繪制增加了自由度；最后因?yàn)樵O(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)換函數(shù)模型簡(jiǎn)單，便于實(shí)現(xiàn)良好的交互。

[1] Hansen C D, Johnson C R. Visualization handbook [M]. Waltham, Massachusetts, United States, 2005: 127-174.

[2] Bunyk P, Kaufman A E, Silva C T. Simple, fast, and robust ray casting of irregular grids [C]//Roceedings of the Scientific Visualization Conference, Washington, DC, USA, 1997: 30-36.

[3] Farias R, Mitchell J S B, Silva C T. Zsweep: an efficient and exact projection algorithm for unstructured volume rendering [C]//Proceedings of the 2000 IEEE Symposium on Volume Visualization, New York, NY, USA, 2000: 91-99.

[4] Van Gelder A, Kim K. Direct volume rendering with shading via three-dimensional textures [C]//Proceedings of the 1996 Symposium on Volume Visualization, Piscataway, NJ, USA, 1996: 23-30, 98.

[5] Wilhelms J, Van Gelder A, Tarantino P, Gibbs J. Hierarchical and parallelizable direct volume rendering for irregular and multiple grids [C]//Proceedings of the 7th Conference on Visualization'96, Los Alamitos, CA, USA, 1996: 57-63.

[6] Reed D M, Yagel R, Law A, Shin P W, Shareef N. Hardware assisted volume rendering of unstructured grids by incremental slicing [C]//Proceedings of the 1996 Symposium on Volume Visualization, Piscataway, NJ, USA, 1996: 55-62, 101.

[7] Pfister H, Lorensen B, Bajaj C, Kindlmann G, Schroeder W, Avila L S, Raghu K M, Machiraju R, Lee J. The transfer function bake-off [J]. Computer Graphics and Applications, 2001, 21(3): 16-22.

[8] Tory M, Mller? T. Human factors in visualization research [J]. Visualization and Computer Graphics, 2004, 10(1): 72-84.

[9] Martin S, Shen Hanwei. Interactive transfer function design on large multiresolution volumes [C]//Large Data Analysis and Visualization (LDAV), 2012 IEEE Symposium on, Seattle, WA, USA, 2012: 19-22.

[10] Correa C, Ma K L. Visibility histograms and visibility-driven transfer functions [J]. Visualization and Computer Graphics, 2011, 17(2): 192-204.

[11] Tzeng F Y, Lum E B, Ma K L. An intelligent system approach to higher-dimensional classification of volume data [J]. Visualization and Computer Graphics, 2005, 11(3): 273-284.

[12] Jankun-Kelly T J, Ma K L. Visualization exploration and encapsulation via a spreadsheet-like interface [J]. Visualization and Computer Graphics, 2001, 7(3): 275-287.

[13] Tory M, Potts S, Moller T. A parallel coordinates style interface for exploratory volume visualization [J]. Visualization and Computer Graphics, 2005, 11(1): 71-80.

[14] Levoy M. Display of surfaces from volume data [J]. Computer Graphics and Applications, 1988, 8(3): 29-37.

[15] Porter T, Duff T. Compositing digital images [J]. SIGGRAPH Comput Graph, 1984, 18(3): 253-259.

[16] Wang D, Randolph M F, White D J. A dynamic large deformation finite element method based on mesh regeneration [J]. Computers and Geotechnics, 2013, 54: 192-201.

[17] Fei Zhongxiu, Tong Shuiguang, Wei Chao. Investigation of the dynamic characteristics of a dual rotor system and its start-up simulation based on finite element method [J]. Journal of Zhejiang University-SCIENCE A, 2013, 14(4): 268-280.

[18] 龔曙光, 謝桂蘭. ANSYS操作命令與參數(shù)化編程[M].北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2004: 441-443.

[19] 包 陳, 王呼佳. ANSYS工程分析進(jìn)階實(shí)例[M]. 北京:中國水利水電出版社, 2009: 373-391.

Transfer Function Design for Volume Rendering of Finite Element Data in 4-dimension Field

Tang Yi, Huang Zhigang, Guo Zhongning
(College of Mechanical and Electrical Engineering, Guangdong University of Technology, Guangzhou Guangdong 510006, China)

Conventional transfer function for volume rendering of finite element data is defined in 3-dimension field, while there are some 4-dimension data. In order to render them, a transfer function model in 4-dimension field is put forward. The model combines the characteristic of finite element data that the maximal data is more significant and the capability for filtering spatial data of volume rendering. It extends the forth dimension to construct time-series volume rendering and multiple volume rendering, so it enhances the flexibility of display for finite element data.

transfer function; 4-dimension field; volume rendering; finite element data

TP 317.4

A

2095-302X(2014)05-0676-06

2014-03-25；定稿日期：2014-05-14

唐 儀(1987–)，男，重慶人，碩士研究生。主要研究方向?yàn)榭茖W(xué)計(jì)算可視化。E-mail：gduttangyi@163.com

黃志剛(1975–)，男，江西高安人，教授，碩士研究生導(dǎo)師。主要研究方向?yàn)槲⒂^與多尺度仿真中的數(shù)值方法。E-mail：huangzg@gdut.edu.cn