王 鑫 李紅麗

(江南大學(xué)教育部輕工過程先進(jìn)控制重點(diǎn)實驗室，江蘇 無錫 214122)

0 引言

雙酚A(Bisphenol-A，BPA)是生產(chǎn)環(huán)氧樹脂、聚砜樹脂、聚碳酸酯、聚苯醚樹脂、不飽和聚酯樹脂等多種高分子材料的一種關(guān)鍵原料，也是生產(chǎn)涂料、抗氧劑、增塑劑、阻燃劑、熱穩(wěn)定劑、橡膠防老劑、農(nóng)藥等精細(xì)化工產(chǎn)品的一種重要化工材料［1］。因此，BPA作為一種重要的化工原料，近年來越來越受到人們的重視。苯酚作為BPA生產(chǎn)過程的中間體，苯酚含量的實時監(jiān)測對BPA生產(chǎn)過程的控制是十分重要的。由于BPA生成過程極其復(fù)雜，因此很難對該過程建立結(jié)構(gòu)確定的參數(shù)模型，且苯酚的含量是很難直接在線測量的。

根據(jù)BPA生產(chǎn)過程的以上特點(diǎn)，本文提出了一種基于高斯過程回歸的苯酚含量預(yù)測方法。高斯過程回歸模型是一種貝葉斯非參數(shù)模型［2－3］。貝葉斯非參數(shù)模型是一種定義在無限維參數(shù)空間上的貝葉斯模型，它可以自動地適應(yīng)自身接收到的數(shù)據(jù)，事先不用指定模型的大小和參數(shù)的個數(shù)。貝葉斯非參數(shù)模型非常適合于集成來自多個傳感器的數(shù)據(jù)，以及基于觀測數(shù)據(jù)選擇合適的模型大小。這些特點(diǎn)使得高斯過程回歸模型特別適合用于長期持續(xù)監(jiān)測。

1 相關(guān)的工作

為了在線監(jiān)控苯酚含量等與生產(chǎn)過程關(guān)系密切的化工參數(shù)，有如下兩種傳統(tǒng)做法:①采用在線分析儀表對難以測量的參數(shù)進(jìn)行分析的方法，這種方法設(shè)備投資大、維護(hù)成本高，并且測量滯后較大，使得調(diào)節(jié)品質(zhì)有所下降;②采用間接的質(zhì)量指標(biāo)對難以測量的參數(shù)進(jìn)行控制的方法，如精餾塔靈敏板的溫度控制、溫差控制等，但這種方法難以保證最終質(zhì)量指標(biāo)的控制精度。

目前也有一些基于軟測量的模型。如文獻(xiàn)［4］使用最小二乘支持向量機(jī)算法(LS-SVM)在線建立估計模型。雖然該模型能夠適應(yīng)不斷變化的工況，但是由于不同的測試樣本選擇的局部樣本集不同，提取的主成分特征也不同，因此每次都需要重新確定LS-SVM參數(shù)，測試時間較長，不能滿足實際化工生產(chǎn)過程的應(yīng)用。文獻(xiàn)［5］提出了基于疏密部數(shù)據(jù)劃分的多模型軟測量方法。該方法雖然模型跟蹤性和泛化能力較好，但是模型比較復(fù)雜，而且建模過程中在確定鄰域半徑時，要根據(jù)數(shù)據(jù)分布情況，自行確定占有率和可調(diào)系數(shù)，具有很大的隨機(jī)性。一旦確定半徑有偏差，就會直接影響邊界閾值的大小，可能導(dǎo)致模型與實際相差甚遠(yuǎn)。文獻(xiàn)［6］提出了一種基于仿射傳播聚類和高斯過程的多模型建模方法。該方法雖然具有較高的估計精度，但是模型過于復(fù)雜。

2 高斯過程回歸模型

2.1 高斯過程回歸

假設(shè)給定訓(xùn)練數(shù)據(jù)集 D={(xi，yi)|i=1，2，…，n}，其中xi表示訓(xùn)練數(shù)據(jù)集D中的第i個輸入向量，yi表示訓(xùn)練數(shù)據(jù)集D中的第i個目標(biāo)輸出，n表示訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中樣本的個數(shù)。高斯過程回歸模型是對輸入向量與目標(biāo)輸出之間的關(guān)系f進(jìn)行推斷，即在給定輸入向量時確定目標(biāo)輸出的條件分布。

假定f是一個高斯過程，即 f～GP( m，k)，f是一個以m為均值函數(shù)、k為協(xié)方差函數(shù)的高斯過程。高斯過程是一個隨機(jī)過程［7］。與高斯分布類似，高斯過程完全由其均值函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)確定。

根據(jù)高斯過程的定義可知，f( x1)、f(x2)、…、f(xn)服從多元高斯分布，且該多元高斯分布的均值向量為m( xi)，協(xié)方差矩陣為K，因此:

實際目標(biāo)輸出y往往會包含一些噪聲:

于是，問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)觀測到訓(xùn)練數(shù)據(jù)集D:yi=f( xi)+ εi，i=1，2，…，n，需要在測試數(shù)據(jù)集 D*={( xi*，yi*)|i=n+1，n+2，…，n+n*}預(yù)測對應(yīng)的 輸出值f*。

訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的輸出向量y和測試數(shù)據(jù)集的預(yù)測值f*的多元高斯分布為:

根據(jù)多元高斯分布的條件分布形式，可得出高斯過程回歸預(yù)測方程的關(guān)鍵式為:

式中:矩陣X由訓(xùn)練數(shù)據(jù)集輸入xi的列向量組成;矩陣X*由測試數(shù)據(jù)集的輸入xi*的列向量組成。

2.2 超參數(shù)選擇

根據(jù)以上分析可知，協(xié)方差函數(shù)k對于高斯過程回歸分析是至關(guān)重要的。在高斯過程中，協(xié)方差函數(shù)k必須滿足Mercer條件。常用的協(xié)方差函數(shù)為平方指數(shù)函數(shù)［8］，其形式如下:

從式(8)可以看出，參數(shù) σf、σn、l對新輸入的輸出預(yù)測值y*影響較大。設(shè)超參數(shù) θ= { l，σn，σf}，對 θ進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整。本文通過極大似然法來獲得協(xié)方差函數(shù)的優(yōu)化后的超參數(shù)θ。對于上述給定的ky(x，x')，其訓(xùn)練樣本的對數(shù)邊緣似然函數(shù)為:

在極大似然估計框架下，需要通過不斷調(diào)整超參數(shù)θ，使得訓(xùn)練樣本的對數(shù)邊緣似然函數(shù)取得最大值。在優(yōu)化過程中，需要計算 lg［p( y|X，θ)］對 θ的偏導(dǎo)數(shù)，并令偏導(dǎo)數(shù)為0，獲得最優(yōu)超參數(shù)θ。

3 工業(yè)實例研究

3.1 工況介紹與數(shù)據(jù)描述

根據(jù)對精餾塔C303的工藝流程和現(xiàn)場分析，選擇了C303塔內(nèi)的液位、溫度、塔底出料的溫度及由前一單元V304軟測量模型的估計變量(苯酚、BPA、BPA-24的濃度)這6個輸入輔助變量;并選擇了精餾塔C303塔底的苯酚濃度為輸出的主導(dǎo)變量。輔助變量的實時數(shù)據(jù)是通過現(xiàn)場的集散控制系統(tǒng)(DCS)獲得的，主導(dǎo)變量的樣本數(shù)據(jù)通過每天人工分析值獲得。本文采集了2009年、2010年的共233組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，2011年的100組數(shù)據(jù)作為測試樣本。針對長達(dá)3年的數(shù)據(jù)情況，采用基于貝葉斯非參數(shù)模型的高斯過程回歸模型分析預(yù)測2011年苯酚濃度的輸出值，并將其與2011年真實的輸出值相比較。為了評價模型性能，本文使用平均相對誤差(MRE)和最大相對誤差(MXRE)來描述，MRE用來度量估計值與真實值的總體偏離情況，MXRE用來度量估計值與真實值偏離的最大幅度。它們的定義分別如下:

式中:yx和y分別為該模型預(yù)測的輸出值和2011年真實的輸出值。

3.2 特征選擇

一般來說，特征選擇的目標(biāo)主要有3個:①改善預(yù)測模型的預(yù)測性能;②更有效的預(yù)測模型;③更好地從數(shù)據(jù)理解生成數(shù)據(jù)的過程［9－10］。

本試驗已測得的特征有6個，考慮到特征個數(shù)并不大，以輸出目標(biāo)的均值為界，將回歸問題變成一個二元分類問題。然后，接收者按照操作特征(receiver operating characteristic，ROC)準(zhǔn)則對這6個特征進(jìn)行排序。

3.3 模型設(shè)置

完成特征排序之后，本工業(yè)實例設(shè)置高斯過程的均值函數(shù)為零常函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)為平方指數(shù)函數(shù)，似然函數(shù)為高斯函數(shù)。然后，根據(jù)式(9)，進(jìn)行超參數(shù)優(yōu)化，確定優(yōu)化后的超參數(shù)。最后，使用優(yōu)化后的待訓(xùn)練模型對訓(xùn)練樣本進(jìn)行訓(xùn)練，確定模型參數(shù)。

3.4 試驗結(jié)果

將訓(xùn)練所得模型對測試樣本進(jìn)行測試，真實值與估計值的對比曲線如圖1所示。

圖1 預(yù)測結(jié)果與真實值的對比曲線Fig.1 The comparison curves between the prediction results and the actual values

各個測試樣本點(diǎn)的相對誤差值曲線如圖2所示。

圖2 相對誤差值曲線Fig.2 The relative errors curve

不同方法的性能比較如表1所示。由表1可以看出，本文提出的模型在MRE與MXRE這兩個指標(biāo)方面都優(yōu)于其他模型。

表1 不同方法的性能比較Tab.1 Performance comparison of different methods

4 結(jié)束語

在僅進(jìn)行了簡單的特征排序與僅使用了單一模型的情況下，本文使用高斯過程回歸模型在苯酚含量預(yù)測中取得了較好的預(yù)測效果。這主要是因為作為貝葉斯非參數(shù)模型，高斯過程能夠根據(jù)數(shù)據(jù)自適應(yīng)地調(diào)整模型結(jié)構(gòu)與參數(shù)個數(shù)。這就巧妙地避免了其他方法中模型選擇與模型組合的難題。試驗結(jié)果表明，對于雙酚A生產(chǎn)過程等很難使用參數(shù)模型進(jìn)行建?；蚯蠼獾倪^程，高斯過程回歸模型可以作為一種有效的建模手段。

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