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        極限法在高中物理解題中的應(yīng)用探究

        2014-05-28 10:35:23賴曉芳
        理科考試研究·高中 2014年5期
        關(guān)鍵詞:鐵板質(zhì)點(diǎn)斜面

        賴曉芳

        筆者查閱高中階段的各類物理考試和競(jìng)賽試題發(fā)現(xiàn),目前高中物理試題考察的角度已經(jīng)不是簡(jiǎn)單的物理定律和理論知識(shí),而是學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力、邏輯思維能力和思變意識(shí)。極限法和極限思維本來是一種數(shù)學(xué)思維,在物理學(xué)上近些年開始廣泛地使用。極限法在高中物理中的應(yīng)用主要針對(duì)物理對(duì)象的過程和狀態(tài)的變化,按照物理過程的變化趨勢(shì)合理外推到極端的情況。這種方法的應(yīng)用為物理難題的解決找到了突破口和切入點(diǎn),一定程度上簡(jiǎn)化了解題過程和提高了解題效率。筆者通過大量的案例來詮釋極限法在高中物理試題解答中的具體應(yīng)用。

        案例1如圖1中所示,角度數(shù)為OP的斜面上方有一點(diǎn)O,在O點(diǎn)放一至斜面的光滑直軌道,并且滿足這一質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)沿軌道到達(dá)斜面P點(diǎn)的時(shí)間最短。試問直軌道與豎直方向的夾角β是多少?

        圖1試題解析從題干中給出的條件知道質(zhì)點(diǎn)沿OP做的是勻加速直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間應(yīng)該和待求的問題β角有一定的關(guān)系,從另外一個(gè)角度分析,只要解答t對(duì)于β角的函數(shù)的極值就可以解決問題。

        對(duì)于學(xué)過的物理知識(shí),需要運(yùn)用的是牛頓運(yùn)動(dòng)定律。由此可知,這一質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑的加速度為a=gcosβ,該質(zhì)點(diǎn)沿軌道由靜止滑到斜面所用的時(shí)間為t,

        則112at2=OP,

        解得t=2OOP1gcosβ ①

        利用數(shù)學(xué)關(guān)系式,在△OPC中有

        OP1sin(90°-α)=OC1sin(90°+α-β)

        解得OP=OCcosα1cos(α-β) ②

        將②式代入①式得

        t=2OCcosα1gcosβcos(α-β)=4OC1[cosα+cos(α-2β)]g

        經(jīng)分析得知,當(dāng)cos(α-2β)=1,即β=α12時(shí),求得t的最小值,即β=α12時(shí),t最短。

        案例2如圖2,底角為θ的斜面頂端,以初速度為v0水平拋出一小球,忽略阻力,則小球被拋出后,求離開斜面的最大距離H?

        圖2解析解決此題的關(guān)鍵是分析什么時(shí)間小球距離斜面的距離最大。從圖形可以看出只有當(dāng)所拋物體的速度方向與斜面平行時(shí),二者的距離最大。解決問題的過程中,首先建立坐標(biāo)系,以水平向右為x軸正方向,豎直向下為y軸正方向,則由

        vy=v0tanθ=gt,

        解得t=v01gtanθ,

        該點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x=v0t=v201gtanθy=112gt2=v2012gtan2θ)。

        由幾何關(guān)系得

        H/cosθ+y=xtanθ。

        圖3案例3如圖3中所示,一人的質(zhì)量視為m,此人在一個(gè)長(zhǎng)是l、重是M的鐵板一端勻加速跑向另一端,且在另一端驟然停止。假如鐵板和水平面間的摩擦因數(shù)是μ,人和鐵板間摩擦因數(shù)為μ′,且μ′μ。求人能使鐵板朝其跑動(dòng)方向移動(dòng)的最大距離L?

        解析題干中告知的是人跑向另一方之后驟然停止,人原有的動(dòng)量就轉(zhuǎn)化成與鐵板一起向前沖的動(dòng)量,此后,地面對(duì)載人鐵板的阻力是地面對(duì)鐵板的摩擦力f,其加速度

        a1=f1M+m=μ(M+m)g1M+m=μg。

        鐵板移動(dòng)距離L=v′212a1越大,L越大。v′是人與鐵板的速度,因此人應(yīng)以不會(huì)引起鐵板運(yùn)動(dòng)的最大加速度奔跑。人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動(dòng)時(shí),人若達(dá)到最大加速度,則地面與鐵板之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力μ(M+m)g,根據(jù)牛頓第二定律得F=ma2+M·0

        解得a2=F1m=μM+m1mg ①

        設(shè)v、v′分別是人奔跑結(jié)束及人和鐵板一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度

        因?yàn)閙v=(M+m)v′ ②

        且v2=2a2l,v′2=2a1L

        將a1、a2代入②式

        解得L=m1M+mlH=v2012gtanθ·sinθ。endprint

        筆者查閱高中階段的各類物理考試和競(jìng)賽試題發(fā)現(xiàn),目前高中物理試題考察的角度已經(jīng)不是簡(jiǎn)單的物理定律和理論知識(shí),而是學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力、邏輯思維能力和思變意識(shí)。極限法和極限思維本來是一種數(shù)學(xué)思維,在物理學(xué)上近些年開始廣泛地使用。極限法在高中物理中的應(yīng)用主要針對(duì)物理對(duì)象的過程和狀態(tài)的變化,按照物理過程的變化趨勢(shì)合理外推到極端的情況。這種方法的應(yīng)用為物理難題的解決找到了突破口和切入點(diǎn),一定程度上簡(jiǎn)化了解題過程和提高了解題效率。筆者通過大量的案例來詮釋極限法在高中物理試題解答中的具體應(yīng)用。

        案例1如圖1中所示,角度數(shù)為OP的斜面上方有一點(diǎn)O,在O點(diǎn)放一至斜面的光滑直軌道,并且滿足這一質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)沿軌道到達(dá)斜面P點(diǎn)的時(shí)間最短。試問直軌道與豎直方向的夾角β是多少?

        圖1試題解析從題干中給出的條件知道質(zhì)點(diǎn)沿OP做的是勻加速直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間應(yīng)該和待求的問題β角有一定的關(guān)系,從另外一個(gè)角度分析,只要解答t對(duì)于β角的函數(shù)的極值就可以解決問題。

        對(duì)于學(xué)過的物理知識(shí),需要運(yùn)用的是牛頓運(yùn)動(dòng)定律。由此可知,這一質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑的加速度為a=gcosβ,該質(zhì)點(diǎn)沿軌道由靜止滑到斜面所用的時(shí)間為t,

        則112at2=OP,

        解得t=2OOP1gcosβ ①

        利用數(shù)學(xué)關(guān)系式,在△OPC中有

        OP1sin(90°-α)=OC1sin(90°+α-β)

        解得OP=OCcosα1cos(α-β) ②

        將②式代入①式得

        t=2OCcosα1gcosβcos(α-β)=4OC1[cosα+cos(α-2β)]g

        經(jīng)分析得知,當(dāng)cos(α-2β)=1,即β=α12時(shí),求得t的最小值,即β=α12時(shí),t最短。

        案例2如圖2,底角為θ的斜面頂端,以初速度為v0水平拋出一小球,忽略阻力,則小球被拋出后,求離開斜面的最大距離H?

        圖2解析解決此題的關(guān)鍵是分析什么時(shí)間小球距離斜面的距離最大。從圖形可以看出只有當(dāng)所拋物體的速度方向與斜面平行時(shí),二者的距離最大。解決問題的過程中,首先建立坐標(biāo)系,以水平向右為x軸正方向,豎直向下為y軸正方向,則由

        vy=v0tanθ=gt,

        解得t=v01gtanθ,

        該點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x=v0t=v201gtanθy=112gt2=v2012gtan2θ)。

        由幾何關(guān)系得

        H/cosθ+y=xtanθ。

        圖3案例3如圖3中所示,一人的質(zhì)量視為m,此人在一個(gè)長(zhǎng)是l、重是M的鐵板一端勻加速跑向另一端,且在另一端驟然停止。假如鐵板和水平面間的摩擦因數(shù)是μ,人和鐵板間摩擦因數(shù)為μ′,且μ′μ。求人能使鐵板朝其跑動(dòng)方向移動(dòng)的最大距離L?

        解析題干中告知的是人跑向另一方之后驟然停止,人原有的動(dòng)量就轉(zhuǎn)化成與鐵板一起向前沖的動(dòng)量,此后,地面對(duì)載人鐵板的阻力是地面對(duì)鐵板的摩擦力f,其加速度

        a1=f1M+m=μ(M+m)g1M+m=μg。

        鐵板移動(dòng)距離L=v′212a1越大,L越大。v′是人與鐵板的速度,因此人應(yīng)以不會(huì)引起鐵板運(yùn)動(dòng)的最大加速度奔跑。人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動(dòng)時(shí),人若達(dá)到最大加速度,則地面與鐵板之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力μ(M+m)g,根據(jù)牛頓第二定律得F=ma2+M·0

        解得a2=F1m=μM+m1mg ①

        設(shè)v、v′分別是人奔跑結(jié)束及人和鐵板一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度

        因?yàn)閙v=(M+m)v′ ②

        且v2=2a2l,v′2=2a1L

        將a1、a2代入②式

        解得L=m1M+mlH=v2012gtanθ·sinθ。endprint

        筆者查閱高中階段的各類物理考試和競(jìng)賽試題發(fā)現(xiàn),目前高中物理試題考察的角度已經(jīng)不是簡(jiǎn)單的物理定律和理論知識(shí),而是學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力、邏輯思維能力和思變意識(shí)。極限法和極限思維本來是一種數(shù)學(xué)思維,在物理學(xué)上近些年開始廣泛地使用。極限法在高中物理中的應(yīng)用主要針對(duì)物理對(duì)象的過程和狀態(tài)的變化,按照物理過程的變化趨勢(shì)合理外推到極端的情況。這種方法的應(yīng)用為物理難題的解決找到了突破口和切入點(diǎn),一定程度上簡(jiǎn)化了解題過程和提高了解題效率。筆者通過大量的案例來詮釋極限法在高中物理試題解答中的具體應(yīng)用。

        案例1如圖1中所示,角度數(shù)為OP的斜面上方有一點(diǎn)O,在O點(diǎn)放一至斜面的光滑直軌道,并且滿足這一質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)沿軌道到達(dá)斜面P點(diǎn)的時(shí)間最短。試問直軌道與豎直方向的夾角β是多少?

        圖1試題解析從題干中給出的條件知道質(zhì)點(diǎn)沿OP做的是勻加速直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間應(yīng)該和待求的問題β角有一定的關(guān)系,從另外一個(gè)角度分析,只要解答t對(duì)于β角的函數(shù)的極值就可以解決問題。

        對(duì)于學(xué)過的物理知識(shí),需要運(yùn)用的是牛頓運(yùn)動(dòng)定律。由此可知,這一質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑的加速度為a=gcosβ,該質(zhì)點(diǎn)沿軌道由靜止滑到斜面所用的時(shí)間為t,

        則112at2=OP,

        解得t=2OOP1gcosβ ①

        利用數(shù)學(xué)關(guān)系式,在△OPC中有

        OP1sin(90°-α)=OC1sin(90°+α-β)

        解得OP=OCcosα1cos(α-β) ②

        將②式代入①式得

        t=2OCcosα1gcosβcos(α-β)=4OC1[cosα+cos(α-2β)]g

        經(jīng)分析得知,當(dāng)cos(α-2β)=1,即β=α12時(shí),求得t的最小值,即β=α12時(shí),t最短。

        案例2如圖2,底角為θ的斜面頂端,以初速度為v0水平拋出一小球,忽略阻力,則小球被拋出后,求離開斜面的最大距離H?

        圖2解析解決此題的關(guān)鍵是分析什么時(shí)間小球距離斜面的距離最大。從圖形可以看出只有當(dāng)所拋物體的速度方向與斜面平行時(shí),二者的距離最大。解決問題的過程中,首先建立坐標(biāo)系,以水平向右為x軸正方向,豎直向下為y軸正方向,則由

        vy=v0tanθ=gt,

        解得t=v01gtanθ,

        該點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x=v0t=v201gtanθy=112gt2=v2012gtan2θ)。

        由幾何關(guān)系得

        H/cosθ+y=xtanθ。

        圖3案例3如圖3中所示,一人的質(zhì)量視為m,此人在一個(gè)長(zhǎng)是l、重是M的鐵板一端勻加速跑向另一端,且在另一端驟然停止。假如鐵板和水平面間的摩擦因數(shù)是μ,人和鐵板間摩擦因數(shù)為μ′,且μ′μ。求人能使鐵板朝其跑動(dòng)方向移動(dòng)的最大距離L?

        解析題干中告知的是人跑向另一方之后驟然停止,人原有的動(dòng)量就轉(zhuǎn)化成與鐵板一起向前沖的動(dòng)量,此后,地面對(duì)載人鐵板的阻力是地面對(duì)鐵板的摩擦力f,其加速度

        a1=f1M+m=μ(M+m)g1M+m=μg。

        鐵板移動(dòng)距離L=v′212a1越大,L越大。v′是人與鐵板的速度,因此人應(yīng)以不會(huì)引起鐵板運(yùn)動(dòng)的最大加速度奔跑。人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動(dòng)時(shí),人若達(dá)到最大加速度,則地面與鐵板之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力μ(M+m)g,根據(jù)牛頓第二定律得F=ma2+M·0

        解得a2=F1m=μM+m1mg ①

        設(shè)v、v′分別是人奔跑結(jié)束及人和鐵板一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度

        因?yàn)閙v=(M+m)v′ ②

        且v2=2a2l,v′2=2a1L

        將a1、a2代入②式

        解得L=m1M+mlH=v2012gtanθ·sinθ。endprint

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