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        合作探究學(xué)習(xí)在試卷講評中的運(yùn)用

        2014-05-28 21:07:09黃杰
        理科考試研究·高中 2014年5期
        關(guān)鍵詞:奇函數(shù)考題圖象

        黃杰

        一、展示不同解題方法,體現(xiàn)合作學(xué)習(xí)的魅力

        一次考試,同一道題目,可能出現(xiàn)多種不同解法,在試卷講評中,讓學(xué)生把各種不同解法充分展示出來,對開拓學(xué)生思維,有著很好的引導(dǎo)作用。

        考題:已知x2+y2=100,求x+y的最值,此題不難,但解決方法有多種,考試過后,同學(xué)們給出了多種不同解答。

        學(xué)生1:換元法,設(shè)x=10cosθ,y=10sinθ

        則x+y=10(cosθ+sinθ)=102sin(θ+214),顯然,最大值是102,最小值是-102。

        學(xué)生2:數(shù)形結(jié)合法,設(shè)t=x+y,則y=-x+t。

        轉(zhuǎn)化為求直線y=-x+t截距的最大最小值,利用圓心到直線的距離等于半徑就可求出r 的最大值和最小值。

        學(xué)生3:判別式法,設(shè)t=x+y,得y=-x+t,代入x2+y2=100中,整理成關(guān)于x的一元二次方程,因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解,所以判別式Δ≥0,從而求出t的最大值。

        學(xué)生4:運(yùn)用不等式,因?yàn)?xy≤x2+y2,

        所以x2+y2+2xy≤2(x2+y2),

        即(x+y)2≤200, 所以-102≤x+y≤102。

        學(xué)生5:運(yùn)用向量法,設(shè)a=(x,y),b=(1,1)

        因?yàn)閨a·b|≤|a||b|,

        所以|x+y|≤102,

        從而有-102≤x+y≤102。

        學(xué)生6:運(yùn)用柯西不等式。

        因?yàn)椋?+1)(x2+y2)≥(x+y)2即(x+y)2≤200,

        所以-102≤x+y≤102。

        學(xué)生7:運(yùn)用線性規(guī)劃,約束條件是x2+y2=100,表示一個圓周,目標(biāo)函數(shù)是u=x+y,直線y=-x+u從下方向上方移動,當(dāng)直線與圓相切時,u取得最大最小值。

        通過對此題的合作探討,學(xué)生積極性高漲,思維活躍,學(xué)生感受到了自己成功的喜悅,也對別人思維的創(chuàng)新起了引導(dǎo)作用,這種合作交流,收到了事半功倍的效果。

        二、暴露思維誤區(qū),讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中糾正思維偏差

        考試過后,學(xué)生各種錯誤解法也能充分暴露出來,諸如審題誤差,方法繁鎖,計(jì)算錯誤等等,在試卷講評中,把學(xué)生出現(xiàn)的各種錯誤充分暴露出來,讓所有同學(xué)共享,對學(xué)生糾正思維偏差能起到很好的作用。

        考題:已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=n·an (0an+1恒成立f(n)>f(n+1)恒成立。

        f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù), f(x)≤0

        在[1,+∞)恒成立,即1+lna≤0,所以lna≤-11x

        所以lna≤-1,

        所以0

        正確答案:a∈(0,112)。

        分析數(shù)列f(n)>f(n+1)恒成立與f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù)并非充要條件,事實(shí)上,函數(shù)f(x)在[1,loga11e)上為增函數(shù),而不是減函數(shù),但此時,f(1)=a,f(2)=a2,仍有f(1)>f(2)>f(3)>…>f(n) >…成立。因此,在講評中,要強(qiáng)調(diào)兩個觀點(diǎn),①導(dǎo)數(shù)是定義在連續(xù)函數(shù)上的,而數(shù)列f(n)是離散函數(shù),不能直接求導(dǎo)。②問題的轉(zhuǎn)化必須保證等價性。

        三、引導(dǎo)學(xué)生考后探究,提升發(fā)散思維能力

        在試卷講評中,對問題所涉及的知識和方法,作進(jìn)一步的探究和延伸,可使學(xué)生學(xué)活知識,擴(kuò)大視野,深化思維,舉一反三,從而激發(fā)學(xué)生的探索欲,訓(xùn)練發(fā)散思維。

        考題:已知定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=f(x),且當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=3x,則f(4713)= 。此題提供的信息(1):函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,(2)f(x)是奇函數(shù),則可得結(jié)論:4是函數(shù)的一個周期,于是有:

        引伸1:設(shè)f(x)是R上奇函數(shù),又f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱,則f(x)是周期函數(shù),且T=4a是它的一個周期。

        引伸2:f(x)是R上偶函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=a對稱,則f(x)是周期函數(shù),且2a是它的一個周期。

        引伸3:函數(shù)y=f(x)(x∈R),給出三個結(jié)論:(1)f(-x)=f(x),(2)f(2a-x)=f(x),(3)f(2a+x)=f(x),則以其中任兩個作條件,可推出第三個。

        引伸4:設(shè)f(x)是定義在R上函數(shù),若其圖象關(guān)于直線x=a和x=b(a≠b)對稱,則f(x)為周期函數(shù),且2(b-a)是它的一個周期。

        聯(lián)想到奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱,于是可得

        引伸5:若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對稱,即f(a+x)=-f(a-x),(2)函數(shù)f(x)圖像關(guān)于直線x=b對稱,則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且T=4(b-a)是它的一個周期。以其中兩個作條件,可推出另一個。

        由此進(jìn)一步想到,若f(x)圖象有兩個對稱中心,那么f(x)是否為周期函數(shù)?經(jīng)過探索,得結(jié)論:

        引伸6:給出三個條件:(1)y=f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,y0)對稱,(2)y=f(x)的圖象關(guān)于(b,y0)對稱,(3)y=f(x)是周期函數(shù),且T=2(a-b)是它的一個周期。由其中2個可推出另一個。

        通過上述探究,同學(xué)們對函數(shù)的奇偶性,對稱性,周期性有了比較深刻的認(rèn)識,不僅理解圖象的幾何關(guān)系與函數(shù)的數(shù)量的辯證統(tǒng)一,明確“形”和“式”的結(jié)合、遷移、轉(zhuǎn)化的奧妙,而且開拓了視野,優(yōu)化了思維品質(zhì),

        總之,教師應(yīng)予重視試卷講評,通過講評達(dá)到提高學(xué)習(xí)興趣,排除思維障礙,激發(fā)探索創(chuàng)新精神的良好效果。

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