黃杰
一、展示不同解題方法,體現(xiàn)合作學(xué)習(xí)的魅力
一次考試,同一道題目,可能出現(xiàn)多種不同解法,在試卷講評中,讓學(xué)生把各種不同解法充分展示出來,對開拓學(xué)生思維,有著很好的引導(dǎo)作用。
考題:已知x2+y2=100,求x+y的最值,此題不難,但解決方法有多種,考試過后,同學(xué)們給出了多種不同解答。
學(xué)生1:換元法,設(shè)x=10cosθ,y=10sinθ
則x+y=10(cosθ+sinθ)=102sin(θ+214),顯然,最大值是102,最小值是-102。
學(xué)生2:數(shù)形結(jié)合法,設(shè)t=x+y,則y=-x+t。
轉(zhuǎn)化為求直線y=-x+t截距的最大最小值,利用圓心到直線的距離等于半徑就可求出r 的最大值和最小值。
學(xué)生3:判別式法,設(shè)t=x+y,得y=-x+t,代入x2+y2=100中,整理成關(guān)于x的一元二次方程,因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解,所以判別式Δ≥0,從而求出t的最大值。
學(xué)生4:運(yùn)用不等式,因?yàn)?xy≤x2+y2,
所以x2+y2+2xy≤2(x2+y2),
即(x+y)2≤200, 所以-102≤x+y≤102。
學(xué)生5:運(yùn)用向量法,設(shè)a=(x,y),b=(1,1)
因?yàn)閨a·b|≤|a||b|,
所以|x+y|≤102,
從而有-102≤x+y≤102。
學(xué)生6:運(yùn)用柯西不等式。
因?yàn)椋?+1)(x2+y2)≥(x+y)2即(x+y)2≤200,
所以-102≤x+y≤102。
學(xué)生7:運(yùn)用線性規(guī)劃,約束條件是x2+y2=100,表示一個圓周,目標(biāo)函數(shù)是u=x+y,直線y=-x+u從下方向上方移動,當(dāng)直線與圓相切時,u取得最大最小值。
通過對此題的合作探討,學(xué)生積極性高漲,思維活躍,學(xué)生感受到了自己成功的喜悅,也對別人思維的創(chuàng)新起了引導(dǎo)作用,這種合作交流,收到了事半功倍的效果。
二、暴露思維誤區(qū),讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中糾正思維偏差
考試過后,學(xué)生各種錯誤解法也能充分暴露出來,諸如審題誤差,方法繁鎖,計(jì)算錯誤等等,在試卷講評中,把學(xué)生出現(xiàn)的各種錯誤充分暴露出來,讓所有同學(xué)共享,對學(xué)生糾正思維偏差能起到很好的作用。
考題:已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=n·an (0an+1恒成立f(n)>f(n+1)恒成立。
f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù), f(x)≤0
在[1,+∞)恒成立,即1+lna≤0,所以lna≤-11x
所以lna≤-1,