葛乃兵
一、注重師生互動(dòng)活動(dòng)過程的開展
高中生在學(xué)習(xí)探知高中數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)內(nèi)容和掌握高中數(shù)學(xué)問題案例解答策略的過程中,需要付出辛苦的勞作和艱辛的探索。這其中就需要高中生保持積極向上、勇于進(jìn)取、克難求進(jìn)的學(xué)習(xí)情感和堅(jiān)定信念。眾所周知,高中生探索實(shí)踐的過程,離不開教師的有效引導(dǎo)和激勵(lì)。同時(shí),高中生在探究分析數(shù)列章節(jié)的過程中,通過自身個(gè)體的獨(dú)立探知活動(dòng)以及師生之間雙邊互動(dòng)的雙重作用,實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)列章節(jié)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容要義的有效掌握。但在現(xiàn)實(shí)教學(xué)活動(dòng)中,高中數(shù)學(xué)教師忽視教學(xué)雙邊互動(dòng)特性,忽視師生雙邊互動(dòng)的情況時(shí)有發(fā)生。因此,高中數(shù)學(xué)教師在數(shù)列章節(jié)教學(xué)活動(dòng)中,要重視與學(xué)生的有效互動(dòng),不能將探究活動(dòng)看作是高中生個(gè)體完成的單邊“任務(wù)”,而應(yīng)該在學(xué)生探知過程中,開展師生之間的有效互動(dòng)。在高中生遇到“困難”或“卡殼”時(shí),要進(jìn)行及時(shí)的交流互動(dòng),利用激勵(lì)性的教學(xué)語言,鼓舞高中生戰(zhàn)勝困難的勇氣,增強(qiáng)高中生探究實(shí)踐的信念。
二、搭建有效數(shù)列探究情境的舞臺(tái)
探究活動(dòng)的開展,離不開探究實(shí)踐活動(dòng)情境的創(chuàng)設(shè)。教學(xué)實(shí)踐證明,高中生在適宜的探究情境中,其探究的積極性能夠得到顯著的激發(fā),探究的效能能夠得到有效的提升。但部分高中數(shù)學(xué)教師在探究能力培養(yǎng)中,忽視探究情境的創(chuàng)設(shè),強(qiáng)行將學(xué)生納入探究問題活動(dòng)中,導(dǎo)致高中生能動(dòng)探究情感受到壓抑,探究活動(dòng)處在被動(dòng)應(yīng)付地位,進(jìn)行呆板、單一的探究活動(dòng),探究效能達(dá)不到預(yù)期目標(biāo)。因此,在數(shù)列章節(jié)教學(xué)活動(dòng)中,教師要善于利用數(shù)列章節(jié)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容的生活性、探究性等特點(diǎn),設(shè)置具有探究意義的教學(xué)情境,搭建起高中生進(jìn)行能動(dòng)探究的活動(dòng)平臺(tái),讓高中生在濃厚教學(xué)氛圍中,在積極情感的驅(qū)使下,能動(dòng)進(jìn)行探知實(shí)踐活動(dòng)。如在“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”教學(xué)中,教師為了激發(fā)高中生的探知情感,利用數(shù)列章節(jié)的豐富歷史性,設(shè)置“等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見,在200多年前,歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯就曾經(jīng)上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲。那時(shí),高斯的數(shù)學(xué)老師提出了下面的問題:1+2+3+……+100=?當(dāng)時(shí),當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí),10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案:(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5050。你知道高斯是利用了等差數(shù)列的哪一個(gè)知識(shí)點(diǎn)嗎?”的教學(xué)情境,一下子抓住了高中生的注意力,將高中生的好奇心理有效“點(diǎn)燃”,主動(dòng)進(jìn)入到“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”新知探究活動(dòng)。
三、重視探究數(shù)列案例技能的傳授問題設(shè)C1,C2,…,Cn,…是坐標(biāo)平面內(nèi)的一列圓,它們的圓心都在x軸的正半軸上,且都與直線y=313x相切,對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n,圓Cn都與圓Cn+1相互外切,以rn表示Cn的半徑,已知{rn}為遞增數(shù)列。
(Ⅰ)證明:{rn}為等比數(shù)列;
(Ⅱ)設(shè)r1=1,求數(shù)列{n1rn}的前n項(xiàng)和.
在上述問題案例講解過程中,教師采用師生互動(dòng)的合作探究式教學(xué)方式,先讓學(xué)生自主合作探究,學(xué)生認(rèn)為設(shè)置該問題案例的意圖是考查學(xué)生運(yùn)用等比列相關(guān)性質(zhì)以及錯(cuò)位相減法求和等方面知識(shí)能力,此時(shí),教師結(jié)合學(xué)生的探析觀點(diǎn),進(jìn)行師生互動(dòng)探析活動(dòng),學(xué)生通過教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥,認(rèn)為第一個(gè)問題的解答,實(shí)際是求直線傾斜角的正弦,因此,可以設(shè)Cn的圓心為(λn,0),得λn=2rn,同理得λn+1=2rn+1,結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系,得兩圓半徑之間的關(guān)系,即{rn}中rn+1與rn的關(guān)系,證明{rn}為等比數(shù)列;第二小題需要借助于第一小題結(jié)論求{rn}的通項(xiàng)公式,并代入數(shù)列n1rn中,然后利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和運(yùn)算。學(xué)生解題過程略。最后,師生總結(jié)解題策略。在此基礎(chǔ)上,教師再次進(jìn)行師生互動(dòng),向?qū)W生指明,在解答該類型問題時(shí),利用幾何知識(shí),借助于數(shù)形結(jié)合策略,得出關(guān)于數(shù)列相鄰項(xiàng)an與an+1之間的關(guān)系,然后利用遞推關(guān)系,得出通項(xiàng)公式或其他所求結(jié)論。
四、強(qiáng)化數(shù)列綜合模擬試題的訓(xùn)練
探究實(shí)踐的過程,就是借助于已有知識(shí)技能經(jīng)驗(yàn),解決新問題、積累新經(jīng)驗(yàn)的前進(jìn)發(fā)展過程。它必須與高考要求與時(shí)俱進(jìn)。通過對(duì)新課改下的高考政策的研析,可以發(fā)現(xiàn),高考政策對(duì)高中生運(yùn)用多種解題方法的綜合探析能力提出了具體要求,而這也是教與學(xué)雙邊活動(dòng)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。因此,在數(shù)列章節(jié)階段性學(xué)習(xí)活動(dòng)中,高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重對(duì)相關(guān)高考試題及其模擬試題的收集、梳理和創(chuàng)新,設(shè)置出具有綜合探析特性的綜合模擬試題,鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合已掌握的數(shù)列方面的解題經(jīng)驗(yàn),探尋問題案例條件及內(nèi)在關(guān)系,選用解題方法或策略進(jìn)行解題活動(dòng)。同時(shí),教師進(jìn)行實(shí)時(shí)的巡視和指導(dǎo),針對(duì)出現(xiàn)的問題或不足進(jìn)行指點(diǎn),讓學(xué)生逐步掌握解答綜合性試題的經(jīng)驗(yàn)技能,提升綜合探析能力素養(yǎng)。
總之,探究能力的有效培養(yǎng),需要師生之間的共同努力,是技能型人才培養(yǎng)的重要內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中,應(yīng)遵循高中生探究實(shí)際,提供探究舞臺(tái),傳授探究技能,培養(yǎng)探究素養(yǎng)。
{an}的通項(xiàng)公式。
五、利用an與Sn的關(guān)系
對(duì)于知和求通項(xiàng)的問題,主要是通過公式an=S1 (n=1),
Sn-Sn-1 (n≥2)來確定。
例7已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1,求an。
略解(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=21+1=3。
當(dāng)n≥2時(shí), an=Sn-Sn-1=2n+1-(2n-1+1)=2n-1。而上式對(duì)a1=3時(shí)不成立。所以an=3 (n=1),
2n-1 (n≥2)。
注:此法解題時(shí)必須分兩種情況:n=1和n≥2。最后還需要驗(yàn)證n=1時(shí)是否符合n≥2的情況,若不符合須用分段的形式表示。
總之,求數(shù)列通項(xiàng)的方法很多,有些數(shù)列還有一些特殊的方法與技巧,這還需要大家自己去總結(jié)。筆者在此僅僅列舉了一些常見的解題方法,供大家參考。