王勇++王劍

同學們學習常用邏輯用語時，因為對概念理解不透徹，思維不嚴謹，經常出現這樣或那樣的錯誤.下面分類列舉常見錯誤并加以剖析，希望對同學們有所幫助.

1. 對命題中的條件或結論否定時出錯

例1 寫出命題“若[x2+y2=0]，則[x，y]全為零”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.

錯解 逆命題：若[x，y]全為零，則[x2+y2=0]，是真命題.

否命題：若[x2+y2≠0]，則[x，y]全不為零，是假命題.

逆否命題：若[x，y]全不為零，則[x2+y2≠0]，是真命題.

錯因分析 本題中的錯解主要是對命題中的條件或結論否定時出錯.對“[x，y]全為零”的否定，應為“[x，y]不全為零”，而不是“[x，y]全不為零”.

正解 逆命題：若[x，y]全為零，則[x2+y2=0]，是真命題.

否命題：若[x2+y2≠0]，則[x，y]不全為零，是真命題.

逆否命題：若[x，y]不全為零，則[x2+y2≠0]，是真命題.

2. 寫否命題時忽略大前提致誤

例2 將命題“[a>0]時，函數[y=ax+b]的值隨[x]的增大而增大”寫成“若[p]，則[q]”的形式，并寫出其否命題.

錯解 “若[p]，則[q]”的形式：若[a>0]，則函數[y=ax+b]的值隨[x]的增大而增大.

否命題：若[a≤0]，則函數[y=ax+b]的值隨[x]的不增大而不增大.

錯因分析 原命題有兩個條件：“[a>0]”和“[x]增大”，其中“[a>0]”是大前提，在寫原命題、逆命題、否命題、逆否命題時，都要把“[a>0]”置于“若”字的前面，把“[x]增大”作為原命題的條件.錯解中對否命題的寫法，把“[a>0]”和“[x]增大”都否定了，從而改變了一次函數的性質，特別是當[a=0]時，失去了研究函數[y]“增”與“不增”的意義了，應在不改變函數性質的前提下完成解答.

正解 “若[p]，則[q]”的形式：當[a>0]時，若[x]增大，則函數[y=ax+b]的值也隨著增大.

否命題：當[a>0]時，若[x]不增大，則函數[y=ax+b]的值也不增大.

3. 對四種命題的結構不明致誤

例3 命題“若[fx]是奇函數，則[f-x]是奇函數”的否命題是（ ）

A. 若[fx]是偶函數，則[f-x]是偶函數

B. 若[fx]不是奇函數，則[f-x]不是奇函數

C. 若[f-x]是奇函數，則[fx]是奇函數

D. 若[f-x]不是奇函數，則[fx]不是奇函數

錯解 A 因為否命題是條件和結論都否定，所以奇函數的否定為偶函數.

錯因分析 本題主要考查常用邏輯用語中否命題的寫法，容易出現兩個錯誤：一是容易把命題的否定和否命題混淆；二是對函數奇偶性分類不清楚，誤認為函數不是奇函數就是偶函數.

正解 一個命題的否命題是對條件和結論都否定，且對“函數[fx]是奇函數”的否定為“[fx]不是奇函數”，“[f-x]是奇函數”的否定為“[f-x]不是奇函數”.

答案 B

4. 充分條件、必要條件與充要條件相混淆致誤

例4 下列四個條件中，使[a>b]成立的充分不必要條件是（ ）

A. [a>b+1] B. [a>b-1]

C. [a2>b2] D. [a3>b3]

錯解 B ∵[a>b]，而[b>b-1]，∴[a>b-1].

錯因分析 錯解錯在沒有理解誰是誰的充分不必要條件.[p]是[q]的充分不必要條件是指：由[p]能推出[q]，但是由[q]推不出[p]. [p]是[q]的必要不充分條件是指：由[p]推不出[q]，但是由[q]能推出[p].

正解 對于A項，[a>b+1?a-b>1>0?][a>b]. 當[a=2， b=1]時滿足[a>b]，但此時[a=b+1]，故A項正確；對于B項，[a>b-1]不能推出[a>b]，故B項錯誤；對于C項，由[a2>b2]不能推出[a>b]，如[a=-2，b=1，-22>12]，但[-2<1]，故C項錯誤；對于D項，[a>b?a3>b3]，是互為充要條件，故D項錯誤.

答案 A

例5 已知方程[x2-2m+2x+m2-1=0]有兩個大于2的實數根，求實數[m]的取值范圍.

錯解 由于方程[x2-2m+2x+m2-1=0]有兩個大于2的實數根，設這兩個根分別為[x1，x2]，

則[Δ=4m+22-4m2-1≥0，x1+x2=2m+2>4，x1x2=m2-1>4.]解得，[m>5].

所以當[m∈5，+∞]時，方程[x2-2m+2x][+m2-1][=0]有兩個大于2的實數根.

錯因分析 若[x1>2，x2>2]，則有[x1+x2>4，x1x2>4]成立；但若[x1+x2>4，x1x2>4，]則不一定有[x1>2，x2>2]成立. 即[x1+x2>4，x1x2>4]是[x1>2，x2>2]的必要不充分條件.而[x1-2+x2-2>0，x1-2x2-2>0]是[x1>2，x2>2]的充要條件.

正解 由于方程[x2-2m+2x+m2-1=0]有兩個大于2的實數根，設這兩根分別為[x1，x2].

則[Δ=4m+22-4m2-1≥0，x1-2+x2-2>0，x1-2x2-2>0.]

將[x1+x2=2m+2，x1x2=m2-1]代入上式，可解得[m>5].

所以當[m∈5，+∞]時，方程[x2-2m+2x][+m2-1=0]有兩個大于2的實數根.endprint

5. 混淆了命題的否定與否命題而致誤

例6 （1）命題[p]：對頂角相等，寫出命題[p]的否命題.

（2）寫出命題“如果[A?B=B]，那么[A?B]”的否定.

錯解 （1）命題[p]的否命題為：對頂角不相等.

（2）“如果[A?B=B]，那么[A?B]”的否定是“如果[A?B≠B]，那么[A?B]”.

錯因分析 命題的否定與否命題是兩個不同的概念，應正確認識命題的否定與否命題的關系，弄清楚它們的聯(lián)系與區(qū)別. 命題的否定是直接對命題的結論進行否定；而否命題則是對命題的條件和結論分別否定后組成的命題.對于“若[p]，則[q]”形式的命題，其命題的否定形式為“若[p]，則[?q]”，而其否命題的形式為“若[?p]，則[?q]”.命題的否定的真假與原命題總是相對的，而否命題的真假與原命題的真假沒有必然聯(lián)系.

正解 （1）命題[p]的否命題為：不是對頂角的兩個角不相等.

（2）“如果[A?B=B]，那么[A?B]”的否定是“如果[A?B=B]，那么[A?B]”.

6. 對命題的否定不全面致誤

例7 已知[p：3x-4>2，q：1x2-x-2>0]，求[?p]和[?q]分別對應的[x]的取值集合.

錯解 由[p：3x-4>2]得，[?p：3x-4≤2，]

[∴-2≤3x-4≤2，∴23≤x≤2].

即[?p：x23≤x≤2].

由[q：1x2-x-2>0]得，[?q：1x2-x-2≤0，]

[∴-1

錯因分析 如果由條件[p]中的元素組成的集合為[M]，那么對[p]的否定[?p]中的元素組成的集合就是[M]的補集. 在本題中，容易出現“由[q：1x2-x-2>0]得出[?q：1x2-x-2≤0]”的錯誤，所以在解題時應先求出滿足[q]的[x]的取值集合，再求其補集.

正解 由[p：3x-4>2]得，[p：{x|x>2]或[x<23}].

∴[?p：{x|23≤x≤2}].

由[q：1x2-x-2>0]得，[q：{x|x>2]或[x<-1}].

∴[?q：{x|-1≤x≤2}].

7. “或”“且”“非”理解不準確致誤

例8 已知命題[p]：不等式[x+x-1>m]的解集為[R]；命題[q：fx=-5-2mx]是減函數.若“[p]或[q]”為真命題，“[p]且[q]”為假命題，求實數[m]的取值范圍.

錯解 因為不等式[x+x-1>m]的解集為[R]，由絕對值的幾何意義知，[m<1]. 由[fx=-5-2mx]是減函數知，[5-2m>1]. 所以[m<2].又“[p]或[q]”為真命題，“[p]且[q]”為假命題，則[p]，[q]都是真，或都是假，所以[m<1]或[m≥2].

錯因分析 對“[p]或[q]”為真命題，“[p]且[q]”為假命題理解不到位，不知道[p]，[q]的真假情況導致錯誤.

正解 因為不等式[x+x-1>m]的解集為[R]，由絕對值的幾何意義知，[m<1]. 由[fx=-5-2mx]是減函數知，[5-2m>1]. 所以[m<2].又“[p]或[q]”為真命題，“[p]且[q]”為假命題，所以[p]，[q]一真一假.若[p]真，則[q]假，可得[m<1]且[m≥2]，不成立；若[p]假，則[q]真，可得[1≤m<2].由以上兩種情況可得，實數[m]的取值范圍是[1≤m<2].

8. 對含有量詞的命題的否定不當致誤

例9 命題“存在[x0∈R，2x0≤0]”的否定是（ ）

A. 不存在[x0∈R，2x0>0]

B. 存在[x0∈R，2x0≥0]

C. 對任意的[x∈R，2x≤0]

D. 對任意的[x∈R，2x>0]

錯解 存在的否定是不存在，小于或等于的否定是大于，所以本題應選A.

錯因分析 本題是對特稱命題的否定. 因此否定時既要對“存在”否定，又要對“[≤]”否定. 但是“存在”的否定是“任意”，“[≤]”的否定是“[>]”. 錯解錯在顧此失彼.全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題. 對全稱命題和特稱命題否定時，不僅要否定結論，還要將全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，存在量詞變?yōu)槿Q量詞.

正解 D

9. 寫命題時忽略隱含的量詞致誤

例10 命題：等腰三角形都是直角三角形，寫出命題的否定形式.

錯解 該命題的否定形式為：等腰三角形一定不是直角三角形.

錯因分析 這個命題雖然沒有明顯的關鍵詞“所有”，但我們從語意上分析，它所研究的對象不是一個個體，而是所有的等腰直角三角形，它是一個全稱命題，它的完整形式應該是“所有的等腰三角形都是直角三角形”，所以它的否定形式應該是“有的等腰三角形不是直角三角形”.如果將原命題改為“等腰[ΔABC]是直角三角形”，顯然它所研究的對象僅是一個個體，那么它的否定形式就可以寫成“等腰[ΔABC]不是直角三角形”.

正解 “有的等腰三角形不是直角三角形”或“等腰三角形不都是直角三角形”.

1. 設原命題是“已知[a，b，c，d]是實數，若[a=b]且[c=d]，則[a+c=b+d]”，則它的逆否命題是（ ）

A. 已知[a，b，c，d]是實數，若[a+c≠b+d]，則[a≠b]且[c≠d]

B. 已知[a，b，c，d]是實數，若[a+c≠b+d]，則[a≠b]或[c≠d]

C. 若[a+c≠b+d]，則[a，b，c，d]不是實數，且[a≠b]，[c≠d]

D. 以上答案都不對

2.如果[a，b，c∈R]，那么[b2>4ac]是“方程[ax2+bx][+c=0]有兩個不等實根”的（ ）

A. 充要條件

B. 充分不必要條件

C. 必要不充分條件

D. 既不充分也不必要條件

3. 命題“所有能被2整除的數都是偶數”的否定是（ ）

A. 所有不能被2整除的數都是偶數

B. 所有能被2整除的數都不是偶數

C. 存在一個不能被2整除的數是偶數

D. 存在一個能被2整除的數不是偶數

4. 命題甲：[x≠2]或[y≠3]，命題乙：[x+y≠5]，則（ ）

A. 甲是乙的充分非必要條件

B. 甲是乙的必要非充分條件

C. 甲是乙的充要條件

D. 甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

5. 已知命題[p]：對任意的[x∈R]，有[lnx>1]，則[?p]是（ ）

A. 存在[x0∈R]，有[lnx0<1]

B. 對任意的[x∈R]，有[lnx<1]

C. 存在[x0∈R]，有[lnx0≤1]

D. 對任意的[x∈R]，有[lnx≤1]

6. 已知命題[p]：若[x-2013+y-2014=0]，則[x=2013]且[y=2014]，那么命題“非[p]”為 .

7. 已知命題[p]：關于[x]的方程[x2-ax+4=0]有實根，命題[q]：關于[x]的函數[y=2x2+ax+4]在[3，+∞]上是增函數.若[p]或[q]是真命題，[p]且[q]是假命題，則實數[a]的取值范圍是 .

8. 已知命題[p]：[?x0∈R，x20+2x0+2≤0]，則[?p]為 .

9.已知集合[A=yy=x2-32x+1，x∈34，2，][B=xx+m2≥1]，命題[p：x∈A]，命題[q：x∈B]，并且命題[p]是命題[q]的充分條件，求實數[m]的取值范圍.

10. 設命題[p：x2-8x-20≤0]，命題[q]：關于[x]的方程[x2-2x+1-m2≤0m>0].若[?p]是[?q]的必要而不充分條件，試確定實數[m]的取值范圍.

1. B 2. C 3. D 4. B 5. C

6. 若[x-2013+y-2014=0]，則[x≠2013]或[y≠2014]

7. [-∞，-12?-4，4]

8. [?x∈R， x2+2x+2>0]

9. [-∞，-34?34，+∞]

10. [9，+∞]

C. 若[a+c≠b+d]，則[a，b，c，d]不是實數，且[a≠b]，[c≠d]

D. 以上答案都不對

2.如果[a，b，c∈R]，那么[b2>4ac]是“方程[ax2+bx][+c=0]有兩個不等實根”的（ ）

A. 充要條件

B. 充分不必要條件

C. 必要不充分條件

D. 既不充分也不必要條件

3. 命題“所有能被2整除的數都是偶數”的否定是（ ）

A. 所有不能被2整除的數都是偶數

B. 所有能被2整除的數都不是偶數

C. 存在一個不能被2整除的數是偶數

D. 存在一個能被2整除的數不是偶數

4. 命題甲：[x≠2]或[y≠3]，命題乙：[x+y≠5]，則（ ）

A. 甲是乙的充分非必要條件

B. 甲是乙的必要非充分條件

C. 甲是乙的充要條件

D. 甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

5. 已知命題[p]：對任意的[x∈R]，有[lnx>1]，則[?p]是（ ）

A. 存在[x0∈R]，有[lnx0<1]

B. 對任意的[x∈R]，有[lnx<1]

C. 存在[x0∈R]，有[lnx0≤1]

D. 對任意的[x∈R]，有[lnx≤1]

6. 已知命題[p]：若[x-2013+y-2014=0]，則[x=2013]且[y=2014]，那么命題“非[p]”為 .

7. 已知命題[p]：關于[x]的方程[x2-ax+4=0]有實根，命題[q]：關于[x]的函數[y=2x2+ax+4]在[3，+∞]上是增函數.若[p]或[q]是真命題，[p]且[q]是假命題，則實數[a]的取值范圍是 .

8. 已知命題[p]：[?x0∈R，x20+2x0+2≤0]，則[?p]為 .

9.已知集合[A=yy=x2-32x+1，x∈34，2，][B=xx+m2≥1]，命題[p：x∈A]，命題[q：x∈B]，并且命題[p]是命題[q]的充分條件，求實數[m]的取值范圍.

10. 設命題[p：x2-8x-20≤0]，命題[q]：關于[x]的方程[x2-2x+1-m2≤0m>0].若[?p]是[?q]的必要而不充分條件，試確定實數[m]的取值范圍.

1. B 2. C 3. D 4. B 5. C

6. 若[x-2013+y-2014=0]，則[x≠2013]或[y≠2014]

7. [-∞，-12?-4，4]

8. [?x∈R， x2+2x+2>0]

9. [-∞，-34?34，+∞]

10. [9，+∞]

C. 若[a+c≠b+d]，則[a，b，c，d]不是實數，且[a≠b]，[c≠d]

D. 以上答案都不對

2.如果[a，b，c∈R]，那么[b2>4ac]是“方程[ax2+bx][+c=0]有兩個不等實根”的（ ）

A. 充要條件

B. 充分不必要條件

C. 必要不充分條件

D. 既不充分也不必要條件

3. 命題“所有能被2整除的數都是偶數”的否定是（ ）

A. 所有不能被2整除的數都是偶數

B. 所有能被2整除的數都不是偶數

C. 存在一個不能被2整除的數是偶數

D. 存在一個能被2整除的數不是偶數

4. 命題甲：[x≠2]或[y≠3]，命題乙：[x+y≠5]，則（ ）

A. 甲是乙的充分非必要條件

B. 甲是乙的必要非充分條件

C. 甲是乙的充要條件

D. 甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件

5. 已知命題[p]：對任意的[x∈R]，有[lnx>1]，則[?p]是（ ）

A. 存在[x0∈R]，有[lnx0<1]

B. 對任意的[x∈R]，有[lnx<1]

C. 存在[x0∈R]，有[lnx0≤1]

D. 對任意的[x∈R]，有[lnx≤1]

6. 已知命題[p]：若[x-2013+y-2014=0]，則[x=2013]且[y=2014]，那么命題“非[p]”為 .

7. 已知命題[p]：關于[x]的方程[x2-ax+4=0]有實根，命題[q]：關于[x]的函數[y=2x2+ax+4]在[3，+∞]上是增函數.若[p]或[q]是真命題，[p]且[q]是假命題，則實數[a]的取值范圍是 .

8. 已知命題[p]：[?x0∈R，x20+2x0+2≤0]，則[?p]為 .

9.已知集合[A=yy=x2-32x+1，x∈34，2，][B=xx+m2≥1]，命題[p：x∈A]，命題[q：x∈B]，并且命題[p]是命題[q]的充分條件，求實數[m]的取值范圍.

10. 設命題[p：x2-8x-20≤0]，命題[q]：關于[x]的方程[x2-2x+1-m2≤0m>0].若[?p]是[?q]的必要而不充分條件，試確定實數[m]的取值范圍.

1. B 2. C 3. D 4. B 5. C

6. 若[x-2013+y-2014=0]，則[x≠2013]或[y≠2014]

7. [-∞，-12?-4，4]

8. [?x∈R， x2+2x+2>0]

9. [-∞，-34?34，+∞]

10. [9，+∞]