李 勇

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067)

在社會(huì)科學(xué)各領(lǐng)域中，常常會(huì)出現(xiàn)一些具有嵌套結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)類型。如在教育學(xué)中，學(xué)生組成班級(jí)，班級(jí)形成學(xué)校，學(xué)校匯成學(xué)區(qū);在研究學(xué)生的情況時(shí)，可以涉及學(xué)生變量，同時(shí)可能考慮班級(jí)變量(包括學(xué)生變量的匯總，也包含班級(jí)自身變量)、學(xué)校變量和學(xué)區(qū)變量等。這就形成了從不同層級(jí)出發(fā)考慮同一問(wèn)題的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這樣的結(jié)構(gòu)在很多領(lǐng)域都存在，如環(huán)境科學(xué)中的個(gè)體、種群和群落之間;經(jīng)濟(jì)學(xué)中的微觀、中觀和宏觀;社會(huì)學(xué)中的個(gè)人、群體和全體;地理區(qū)劃中的鄉(xiāng)鎮(zhèn)、區(qū)縣、省市和國(guó)家等?？梢?jiàn)具有嵌套結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)類型比比皆是。如何利用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)這類層次結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析?對(duì)這一問(wèn)題的研究，形成了當(dāng)前統(tǒng)計(jì)學(xué)科的一個(gè)熱門(mén)領(lǐng)域——層次模型理論和方法。

1 基本模型

層次模型是一種基于層次結(jié)構(gòu)所形成的數(shù)據(jù)所構(gòu)成的一種統(tǒng)計(jì)模型。在不同的研究領(lǐng)域中名稱不同:在生物統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域，常稱為混合效應(yīng)模型(mixed-effects models)和隨機(jī)效應(yīng)模型(random-effects models，見(jiàn)Elston ＆ Grizzle，1962;Laird ＆ Ware，1982);在社會(huì)學(xué)領(lǐng)域，常稱為層次模型(hierarchical linear models，見(jiàn)Lindley ＆ Smith，1972;Bryk ＆ Raudenbush，1992)和多水平模型(multilevel linear models，見(jiàn) mason et al.，1983;Goldstein，1986);在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，稱為隨機(jī)系數(shù)回歸模型(random-coefficient regression models，見(jiàn)Rosenberg，1973;Longford，1987);在統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域，稱為協(xié)方差成分模型(covariance componentsmodels，見(jiàn)Dempster et al，1977)。

一般地，層次模型設(shè)為

其中，Y表示N×1響應(yīng)向量;β表示p×1固定效應(yīng)參數(shù)向量;X表示關(guān)于固定效應(yīng)參數(shù)向量β的N×p解釋性變量的設(shè)計(jì)矩陣;e(k)表示水平k下均值為0的隨機(jī)誤差;Z(k)表示隨機(jī)誤差e(k)對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)陣。

層次模型構(gòu)建的幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題:層次模型結(jié)構(gòu)中的層數(shù)、各層結(jié)構(gòu)中的解釋變量、各層結(jié)構(gòu)中變量的概率分布，以及聯(lián)結(jié)期望結(jié)果與一組解釋變量之間的關(guān)聯(lián)函數(shù)。模型一旦確定，下一步就是對(duì)各種參數(shù)的估計(jì)理論和方法。

2 模型統(tǒng)計(jì)推斷發(fā)展理論

Lindley＆Smith(1972)在研究對(duì)線性模型的貝葉斯估計(jì)方法時(shí)，提出了一個(gè)針對(duì)復(fù)雜誤差結(jié)構(gòu)嵌套數(shù)據(jù)的研究框架模型;但該模型的應(yīng)用需要對(duì)非平衡數(shù)據(jù)進(jìn)行協(xié)方差成分的估計(jì)，僅能解決一些極簡(jiǎn)單的問(wèn)題。Dempster，Laind＆Rubin(1977)提出的求參數(shù)極大似然估計(jì)的最大期望算法(Expectation-maximization algorithm，簡(jiǎn)稱EM算法)，此算法從技術(shù)上突破了協(xié)方差成分估計(jì)的障礙。隨后形成了解決方差協(xié)方差估計(jì)的3種不同思路:基于完全最大似然法(MLF)的迭代廣義最小二乘估計(jì)(Goldstein，1986)和Fisher得分算法(Longford，1987);基于限制最大似然法(mason et al.，1983;Raudenbush＆Bryk，1986)的限制迭代廣義最小二乘估計(jì)(Goldstein，1989)和基于貝葉斯的馬爾科夫鏈蒙特卡羅迭代算法(MCMC)(Gelman et al，1995;Gilks et al，1996;Carlin ＆ Louis，1996;Raudenbush ＆ Bryk，2002)。

隨后開(kāi)發(fā)了大量統(tǒng)計(jì)程序和軟件來(lái)擬合層次模型，如VARCL(Longford，1988)、BUGS(Spiegelhalter et al.，1994)、SAS 子程序 Proc Mixed(Little et al.，1996)、MIXOR(Hedeker ＆ Gibbons，1996)、MLWIN(Rasbash et al.，2000)和 HLM(Raudenbush et al.，2000)等。

我國(guó)學(xué)者在層次模型的理論方面取得一定的成果，如探討了縱向數(shù)據(jù)混合效果方差分量估計(jì)(王松桂、吳密霞，2002);層次模型的統(tǒng)計(jì)診斷并提出了高水平單元的局部影響分析方法(石磊，2008);將灰色系統(tǒng)的建模思想融入層次模型構(gòu)建了系列累加多層統(tǒng)計(jì)模型(劉殿國(guó)，2009)。系列專(譯)著對(duì)層次模型的基本理論進(jìn)行了闡述(王濟(jì)川等，2010;郭志剛等，2007;溫福星，2009;陳華珊等譯，2011)。

基于完全最大似然法(MLF)的估計(jì)法基本原理:通過(guò)選擇待估參數(shù)的估計(jì)值，使得觀測(cè)到的這一實(shí)際數(shù)據(jù)的似然值達(dá)到最大。這一估計(jì)方法具有一系列大樣本的優(yōu)良特性:一致性、漸進(jìn)有效性、抽樣分布正態(tài)性以及待估參數(shù)的函數(shù)估計(jì)便捷性等。但基于完全最大似然法的方差協(xié)方差估計(jì)依賴于固定參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，為此，提出限制最大似然法(MLR)，對(duì)固定參數(shù)的不確定性進(jìn)行調(diào)整，以適用于對(duì)于層次模型中高階層單位數(shù)量較小且數(shù)據(jù)平衡的情況。而MLF和MLR在對(duì)固定參數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，都依賴于方差協(xié)方差參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)的準(zhǔn)確度。這使得MLF和MLR方法都存在局限性。而基于貝葉斯分析的估計(jì)方法，對(duì)參數(shù)的推斷僅依賴于給定數(shù)據(jù)的后驗(yàn)分布，能夠適用于高階層單位數(shù)量較小且數(shù)據(jù)可能不平衡的情況。經(jīng)研究證明，基于貝葉斯的方法能夠有效地解決層次模型中的小樣本、數(shù)據(jù)不平衡以及輔助參數(shù)不確定而影響焦點(diǎn)參數(shù)推斷等問(wèn)題。因?yàn)橥耆呢惾~斯方法可以確保對(duì)每個(gè)參數(shù)的推斷都完全顧及所以其他參數(shù)的不確定性;不過(guò)該法也要求對(duì)所有參數(shù)設(shè)置先驗(yàn)分布，而先驗(yàn)分布的確定正是貝葉斯理論的關(guān)鍵問(wèn)題。另外，后驗(yàn)分布的計(jì)算也是至關(guān)重要的問(wèn)題。

3 基本模型的拓展

基本層次模型具有兩個(gè)特征:假設(shè)各層興趣參數(shù)的期望能夠表為回歸系數(shù)的線性函數(shù)和各層的隨機(jī)效應(yīng)為正態(tài)分布。通常線性假定與正態(tài)假定并不完全符合現(xiàn)實(shí)。為了使層次模型具有更為廣泛地應(yīng)用，得拓展基本層次模型。

首先，對(duì)模型的結(jié)果變量范圍進(jìn)行拓展形成的分層一般化線性模型?；灸Ｐ偷慕Y(jié)果變量主要指連續(xù)型變量，所以，拓展的第一步就是結(jié)果變量為離散型的。Stiratelli、Laird＆Ware(1984)，Wong＆Mason(1985)利用極大似然估計(jì)的一階近似來(lái)解決這類問(wèn)題。Goldstein(1995)提出二階近似法;Hedeker＆Cibbons(1993)和Pinheiro＆Bates(1995)提出利用高斯-赫米特積分變換處理極大似然值的近似計(jì)算法;Raudenbush、Yang＆Yosef(2000)提出了更準(zhǔn)確、更便利的基于高階拉普拉斯變換的近似計(jì)算法。分層一般化線性模型主要包括二分類結(jié)果模型、計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)模型、序次分類和多名義分類結(jié)果模型等。分層一般化線性模型與基本模型不同點(diǎn)在于其層-1模型的組成結(jié)構(gòu)為3部分:抽樣模型、連接函數(shù)和結(jié)構(gòu)模型。比如，在二分類結(jié)果模型中，層-1抽樣模型為二項(xiàng)抽樣模型，記為

其中，Yij表示為mij次試驗(yàn)當(dāng)中“成功”的數(shù)量;φij表示每一次試驗(yàn)中的成功概率。則E(Yij|φij)=mijφij，Var(Yij|φij)=mijφij(1-φij)。

層-1連接函數(shù)最便利的為logit連接函數(shù)，記為

表示成功發(fā)生比的對(duì)數(shù)比。

層-1結(jié)構(gòu)模型為線性結(jié)構(gòu)模型，記為

其次，針對(duì)缺失數(shù)據(jù)的潛在變量分層模型?；灸Ｐ椭饕槍?duì)完整數(shù)據(jù)進(jìn)行的推斷分析，而現(xiàn)實(shí)中往往存在缺失數(shù)據(jù)或不可觀測(cè)的潛在變量。Little＆Rubin(1987)指出，若把觀測(cè)數(shù)據(jù)看作殘缺數(shù)據(jù)，則完整數(shù)據(jù)=殘缺數(shù)據(jù)+缺失數(shù)據(jù)，潛在變量的分析就變成缺失數(shù)據(jù)問(wèn)題。針對(duì)潛在變量，可以利用中間變量與潛在變量的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行間接推斷，而關(guān)聯(lián)性由可觀測(cè)的中間變量值和帶有誤差的數(shù)據(jù)在進(jìn)行推斷。Bock(1989)提出解決這一問(wèn)題的兩階段推斷問(wèn)題:先解決潛在變量產(chǎn)生誤差數(shù)據(jù)的機(jī)理;推斷產(chǎn)生潛在變量的總體參數(shù)。

再次，針對(duì)嵌套結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的交互分類層次模型?；灸Ｐ椭饕杏趪?yán)格的分層數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，而現(xiàn)實(shí)中往往存在較低層次的單位要面對(duì)兩個(gè)或更多較高層次的單位進(jìn)行交互分類。Raudenbush(1993)和Goldstein(1995)等都分別提出了相應(yīng)的解決方法。

最后，基于貝葉斯推斷的層次模型。層次模型中基于極大似然估計(jì)和經(jīng)驗(yàn)貝葉斯的統(tǒng)計(jì)推斷理論，面臨高層單位數(shù)量很小且數(shù)據(jù)不平衡時(shí)，穩(wěn)健性不太理想，基于設(shè)置所有參數(shù)先驗(yàn)分布的完全貝葉斯方法具有明顯的優(yōu)勢(shì)(Gelfand et al，1990;Seltzer，1993，1996)。Gelman et al(1995)證明了利用貝葉斯方法解釋但依賴經(jīng)典方法評(píng)估由先驗(yàn)分布所計(jì)算的估計(jì)和檢驗(yàn)的合理性是可能的;Carlin＆Louis(1996)證明了在層次模型中，貝葉斯估計(jì)量在許多樣本中具有良好性質(zhì)。Gilks et al(1996)和Browner(2004)等提出了基于貝葉斯理論的馬爾科夫鏈蒙特卡羅迭代算法(MCMC)，Spiegelhalter et al(1994)開(kāi)發(fā)了相應(yīng)軟件BUGS等。

4 層次模型的應(yīng)用及展望

層次模型已廣泛應(yīng)用于教育學(xué)、人口學(xué)、組織學(xué)、社會(huì)學(xué)、心理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和公共衛(wèi)生等各個(gè)領(lǐng)域。環(huán)境科學(xué)也引進(jìn)了層次模型和貝葉斯方法(Morris，1983;Ver Hoef，1990;Clark，2003，2006;Song S.Qian，2010)，如CO2濃度的增加對(duì)火炬松冠層下幼苗生長(zhǎng)速率的影響研究(Mohan et al，2006);并進(jìn)行了R軟件開(kāi)發(fā)(Clark，2007)。我國(guó)對(duì)層次模型也已廣泛應(yīng)用于教育學(xué)、社會(huì)學(xué)、心理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和公共衛(wèi)生等各個(gè)領(lǐng)域(張雷等，2002;楊珉等，2007;王濟(jì)川等，2008;石磊等，2013)。

綜上所述，在近三十多年的發(fā)展，層次模型無(wú)論在理論方面，還是應(yīng)用方面，都取得了很多成果，成為了統(tǒng)計(jì)學(xué)科的一個(gè)熱門(mén)前沿領(lǐng)域。層次模型的未來(lái)發(fā)展，若與當(dāng)前統(tǒng)計(jì)學(xué)科的另一熱點(diǎn)結(jié)構(gòu)方程理論有機(jī)結(jié)合，將掀起統(tǒng)計(jì)學(xué)科的下一個(gè)發(fā)展熱潮。另外，若將灰色理論和模糊統(tǒng)計(jì)融入，將開(kāi)辟更廣泛的統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域。

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