任春光，張 培，王學軍

(1.鄭州華信學院 基礎(chǔ)教學部，鄭州 451100;2.安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230601)

在概率論中，大數(shù)定律是關(guān)于大量隨機現(xiàn)象之平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理.不同的大數(shù)定律的差別只是對不同的隨機變量(r.v.)序列而言，有的是相互獨立的r.v.序列，有的是相依的r.v.序列，有的是同分布的r.v.序列，有的是不同分布的r.v.序列等等［1］.此處對文獻［2］中的Chebyshev大數(shù)定律、Markov大數(shù)定律、Bernoulli大數(shù)定律、Poisson大數(shù)定律和文獻［3］中的Borel強大數(shù)定律進行了改進，即得到的是r.v.序列雙下標加權(quán)和的大數(shù)定律.有關(guān)隨機變量的其他一些性質(zhì)，如最大值不等式和大偏差結(jié)果，可見文獻［4］，有關(guān)推廣的Borel強大數(shù)定律的改進見文獻［5］，隨機變量的Hájek-Rényi型不等式及其收斂速度見文獻［6-7］.隨機變量序列的強收斂速度見文獻［8］，函數(shù)的一致聯(lián)系性見文獻［9-10］.

令Ai，i=1，2，…為同一個概率空間(Ω，F(xiàn)，P)上的隨機事件序列，記IA(ω)為事件A的示性函數(shù)，C，C1，c，ci，i=1，2，…為與n無關(guān)的常數(shù)，cni，ωni為實數(shù)列.

1 預備知識

引理1-6見文獻［2］，引理7見文獻［3］.

引理1(Chebyshev大數(shù)定律)［2］設(shè){ξi}，i=1，2，…是兩兩互不相關(guān)的r.v.序列，每一r.v.都有

引理3(Bernoulli大數(shù)定律)［2］設(shè)μn是n次Bernoulli試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，而p是事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率，則對任意的ε＞0，恒有

引理4(Poisson大數(shù)定律)［2］如果在一個獨立試驗序列中，事件A在第i次試驗中出現(xiàn)的概率等于pi，以λn記前n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則對任意的ε＞0，恒有

2 主要結(jié)論

對任意的ε＞0，再由Chebyshev不等式，可得

于是，在式(2)中，令n→+∞得式(1)，因此命題得證.

其實，Markov大數(shù)定律、Bernoulli大數(shù)定律、Poisson大數(shù)定律和Borel強大數(shù)定律中也可以進行類似的改進.

定理2(Markov大數(shù)定律的改進) 若{cni}為雙下標常數(shù)序列，{ξi}，i=1，2，…為一均值為零的r.v.序列，且滿足

證明 顯然有

注2 對{ξi}，i=1，2，…為均值為零的兩兩互不相關(guān)的r.v.序列、鞅差序列、均值為零的NA序列、均值為零的φ-混合序列(混合系數(shù)滿足一定系數(shù))等，都滿足式(3).進一步，若≤C1i，i≥1，取cni=，則可以驗證

證明 易知Eηi=p，Dηi=pq≤1/4，而

從而由定理1即可推出定理3.

證明 易知Eαi=pi，Var αi=piqi≤1/4，而

從而由定理1即可推出定理4.

對?ε＞0，由 Chebyshev不等式得

從而

下面用子序列的方法來證明定理5的結(jié)論.因為對 ?n∈N+，?k=k(n)∈N+，滿足不等式km≤n＜km+kδ，所以

于是

式(6)中令n→+∞ (注意到n→+∞時，k→+∞)，再利用式(5)得式(4)，因此命題得證.

3 結(jié)束語

雙下標r.v.序列和的大數(shù)定律及r.v.序列加權(quán)和的大數(shù)定律都有很多研究成果，r.v.序列雙下標加權(quán)和的結(jié)果并不常見，另外在相依情形下的r.v.序列加權(quán)和的大數(shù)律問題是值得研究的，在今后科研中將關(guān)注此類問題.

［1］茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程［M］.北京:高等教育出版社，2004

［2］李賢平.概率論基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，1997

［3］LOèVE M.Probability Theory I［M］.4th Edition.Beijing:Spring-Verlag，2000

［4］李曉琴，胡舒合，王學軍，等.M-Z型序列的最大值不等式和大偏差定理［J］.安徽大學學報:自然科學版，2010，34(3):5-9

［5］任春光，胡舒合，李旭，等.一個推廣的Borel強大數(shù)定律的改進［J］.安徽大學學報:自然科學版，2011，35(3):25-28

［6］趙婷，胡舒合，李曉琴，等.一類隨機變量的概率不等式及幾乎處處收斂性［J］.安徽大學學報:自然科學版，2010，34(1):7-10

［7］胡舒合，胡曉鵬，張林松.二階矩限制下的Hajek-Renyi型不等式及其應用［J］.應用數(shù)學學報，2005，28(2):227-235

［8］胡舒合.強大數(shù)定律的若干新結(jié)果［J］.數(shù)學學報，2003，46(6):1123-1134

［9］費時龍，占偉軍.函數(shù)一致連續(xù)性的幾個判別方法及其應用［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2013，30(8):1-3

［10］劉倩，任曉花.觀察法判斷一元函數(shù)的一致連續(xù)性［J］.重慶工商大學學報:自然科學版，2013，30(7):9-11