萬(wàn) 波

(重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067)

矩陣?yán)碚撌蔷€(xiàn)性代數(shù)的核心內(nèi)容，有關(guān)矩陣的求逆是矩陣?yán)碚撝械闹攸c(diǎn)內(nèi)容之一，也是各類(lèi)線(xiàn)性代數(shù)考試中涉及較多的一類(lèi)題型。在文獻(xiàn)［1-2］中介紹了一類(lèi)已知方陣A的二次或三次多項(xiàng)式方程，求方陣A的一次多項(xiàng)式的逆矩陣。文獻(xiàn)［1-2］中的方法主要是通過(guò)觀(guān)察構(gòu)造從而得解，其方法靈活技巧性強(qiáng)不易被初學(xué)者掌握。文獻(xiàn)［3-6］分別總結(jié)了幾類(lèi)特殊逆矩陣的求法。利用多項(xiàng)式的除法技巧，得到了一個(gè)所有已知方陣A的二次或三次多項(xiàng)式方程，求方陣A的一次多項(xiàng)式的逆矩陣結(jié)論，從而避開(kāi)了需要觀(guān)察構(gòu)造才能得解這一麻煩過(guò)程。同時(shí)，利用多項(xiàng)式的除法技巧也可以得到最近文獻(xiàn)［3］中的兩個(gè)關(guān)于矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣的結(jié)論。

1 主要結(jié)果

定理1 若n階矩陣A滿(mǎn)足A2+mA+nE=0，矩陣B滿(mǎn)足B=A+kE，m，n，k滿(mǎn)足km-n-k2≠0，記ω=km-n-k2，則矩陣B可逆，且B-1=ω-1［A+(m-k)E］.

證明 利用多項(xiàng)式的除法有

于是A2+mA+nE=(A+kE)［A+(m-k)E］+(n-km+k2)E=0，所以(A+kE)［A+(m-k)E］=-(n-km+k2)E，即(A+kE){ω-1［A+(m-k)E］}=E，因此矩陣B可逆，且B-1=ω-1［A+(m-k)E］.

定理2 若n階矩陣A滿(mǎn)足A3+mA2+nA+lE=0，矩陣B滿(mǎn)足B=A+kE，m，n，l，k滿(mǎn)足l-nk+mk2-k3≠0，記ω=nk+k3-mk2-l，則矩陣B可逆，且B-1=ω-1［A2+(m-k)A+(n-mk+k2)E］.

證明 利用多項(xiàng)式的除法有

于是A3+mA2+nA+lE=(A+kE)［A2+(m-k)A+(n-mk+k2)E］+(l-nk+mk2-k3)E=0，即(A+kE){ω-1［A2+(mk)A+(n-mk+k2)E］}=E.因此矩陣B可逆，且B-1=ω-1［A2+(m-k)A+(n-mk+k2)E］.

2 舉例應(yīng)用

下面舉例說(shuō)明上述兩個(gè)定理的應(yīng)用.

例1［1］設(shè)n階矩陣A滿(mǎn)足A2+3A-2E=0，證明A+E可逆，并求(A+E)-1.

例2［1］設(shè)n階矩陣A滿(mǎn)足A3-A2+2A-E=0，證明E-A可逆并求其逆.

解 采用不同于文獻(xiàn)［1］的做法，先求A-E的逆，直接利用定理2可知，這時(shí)m=-1，n=2，l=-1，取k=-1，計(jì)算得 ω=nk+k3-mk2-l=-1≠0，所以由定理2可知，A-E 可逆，且(A-E)-1=ω-1［A2+(m-k)A+(n-mk+k2)E］=-(A2+2E).因此E-A可逆，且(E-A)-1=(A2+2E).

3 推廣應(yīng)用

利用多項(xiàng)式的除法技巧，還可得到最近文獻(xiàn)［3］中的兩個(gè)關(guān)于矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣的結(jié)論.

定理3［3］設(shè)n階矩陣A滿(mǎn)足A3-kE=0，矩陣B滿(mǎn)足B=A2+mA+nE，m，n，k滿(mǎn)足n3+k2+m3k-3mnk≠0，記d=n3+k2+m3k-3mnk，則B可逆，且有表達(dá)式:

證明 將A3-kE=0兩邊分別同乘以(m2-n)A和(m3-2mn+k)得

把式(1)+式(2)，得

利用多項(xiàng)式的除法有，

于是式(3)可以寫(xiě)成

即(A2+mA+nE)［(m2-n)A2+(k-mn)A+(n2-mk)E］=(m3k-3mnk+k2+n3)E

因此B可逆，且有B-1=d-1［(m2-n)A2+(k-mn)A+(n2-mk)E］.

定理4［3］設(shè)n階矩陣A滿(mǎn)足A3-mA2-nE=0，矩陣B滿(mǎn)足B=A2+kE，其中m2k2+k3-2mnk+n2≠0，記 Ω=m2k2+k3-2mnk+n2，則B可逆，且B-1=Ω-1［-kA2+nA+(m2k+k2-mn)E］.

證明 將A3-mA2-nE=0兩邊分別同乘以-kA和(n-mk)得

把式(4)+式(5)得

利用多項(xiàng)式的除法有

于是式(6)可以寫(xiě)成

即(A2+kE){Ω-1［-kA2+nA+(m2k+k2-mn)E］}=E.

因此B可逆，且

［1］袁暉坪，郭偉.線(xiàn)性代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2012

［2］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2007

［3］賴(lài)新興，肖清嵐.兩類(lèi)矩陣多項(xiàng)式的逆矩陣的求法［J］.江西理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，34(3):90-92

［4］邵逸民.幾類(lèi)特殊矩陣的可逆性及其逆矩陣［J］.通化師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2008(12):5-6

［5］王美蓮，何翠竹.一類(lèi)特殊矩陣的逆矩陣的特點(diǎn)及求逆公式［J］.忻州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，26(2):41-43

［6］蔣加清.關(guān)于循環(huán)矩陣求逆的一種快速算法［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2011(1):88-90.