汪繼秀，肖計雄

(1.湖北文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院，湖北襄陽 441053;2.襄陽五中，湖北襄陽 441021)

主要研究一類廣義擬線性薛定諤方程

研究這類方程的動機主要源于

其中i是虛數(shù)單位;z:R×RN→復(fù)數(shù);W:RN→R是給定勢能;h，l:R+→R.

令z(t，x)=exp(-iEt)u(x)，其中E∈R，u是一實值函數(shù)，則方程(2)轉(zhuǎn)化成

若取l(s)=s，則方程(3)等價于

Poppenberg［1］和Liu等［2］利用約束極小獲得了問題(4)的正的基態(tài)解.Liu等［3］利用變量替換將問題(4)轉(zhuǎn)換成半線性橢圓方程，并且構(gòu)建了一個orlitz空間，利用山路引理得到問題(4)存在正解.這種變量替換的方法在文獻［4，5］中也應(yīng)用過.

這些文獻都是取l(s)=s研究問題(2)的解，受這些啟發(fā)，主要考慮在方程(3)中，取

推廣到式(1)這類方程的解.

問題(1)對應(yīng)的泛函

不能定義在W1，p(RN)上，為了克服這個困難，受文獻［6］中的變量替換法的啟發(fā)，令v=f-1(u)，且

則有

容易驗證J(v)可以定義在W1，p(RN)上且J(v)∈C1.而且J(v)的非平凡臨界點是關(guān)于

的解，即滿足對?φ∈C∞0(RN)，有

為了證明的方便，將問題(5)改寫成

則泛函J(v)可以改寫成

其中

能夠證明:

定理1 假設(shè)V(x)是連續(xù)的徑向函數(shù)且滿足條件(A)，λ＞0，N≥3，2pα＜q＜2αp*，α≥1，則式(5)(6)(即式(1))有一個正解.

為了得到結(jié)論，需要先給出幾個引理.類似文獻［6］關(guān)于引理2.1的證明，能夠得到:

引理1 函數(shù)f(t)滿足以下性質(zhì):

1)f(t)是唯一定義在C∞上的函數(shù)并且可逆.

2)?t∈R，|f'(t)|≤1.

3)?t∈R，|f(t)|≤t.

并且由引理1中的性質(zhì)4)和性質(zhì)6)，也容易驗證:

引理2g(x，v)，G(x，v)滿足

引理3 泛函J滿足

(1)存在 δ，ρ≥0，使得當(dāng)‖v‖=ρ，J(v)≥δ.

(2)存在v∈H1(RN)，使得當(dāng)‖v‖＞ρ，J(v)＜0.

證明 由引理2，直接有當(dāng) ε＞0充分小，存在Cε＞0，使得

則有

這也就得到了式(1).

由q＞2αp，α≥1，則當(dāng)t→+∞時，J(v)→-∞，因而得到式(2).

利用引理3和山路引理，令

其中

則W1，p(RN)中存在一個關(guān)于水平集c的(PS)序列，即當(dāng)n→∞，有

引理4 在定理1的條件下，J關(guān)于水平集c滿足(PS)條件.

證明 首先，設(shè){vn}n≥1?(RN)是(PS)序列，則有

，因此

易知，‖wn‖≤C‖vn‖，聯(lián)合式(9)和式(11)得

則由q＞2αp，α≥1 推得

另外，當(dāng)|vn(x)|≤1時，由引理1的性質(zhì)7)知

當(dāng)|vn(x)|＞1時，由引理1的性質(zhì)7)和性質(zhì)8)知

在式(10)中，令w=vn，結(jié)合式(14)和引理1的性質(zhì)8)，則有

聯(lián)接式(12)(13)(15)，有

從而{vn}在(RN)中是有界的，則{vn}n≥1存在子列，不妨仍記為{vn}n≥1，使得對某一v∈(RN)，有

從文獻［7］中斷言2可知

接下來證明

由式(7)和式(16)-(18)，得

因為(J(vn))'→0，則由式(17)(19)-(21)，可得

而且由{vn}n≥1有界可知J'(vn)vn=0，即

令vn=v+，由f∈C1，以及式(9)和 Brezis-Lieb引理可知

綜合式(20)(22)-(24)，得

利用引理3，引理4和極值原理直接可以得到定理1.

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