張 卓

（西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715）

用特征多項式系數(shù)計算矩陣方冪的跡

張 卓

（西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 400715）

在矩陣特征多項式Lwverrier方法的基礎(chǔ)上，利用特征多項式的系數(shù)計算矩陣方冪的跡，使得當(dāng)矩陣未知或者階數(shù)較大時計算的復(fù)雜度有所降低，并通過例子加以驗證.

特征多項式；系數(shù)；矩陣；方冪；跡

跡作為矩陣的一個重要數(shù)字特征，在計算數(shù)學(xué)、逼近論以及估計等方面有著非常廣泛的應(yīng)用.求矩陣方冪的跡，可以按照矩陣乘法先求出矩陣的方冪，再求其主對角線元素之和.但是當(dāng)階數(shù)較大或者矩陣未知（僅已知特征多項式）時，要求得矩陣方冪的跡是相當(dāng)復(fù)雜的.于是，此處就在特征多項式Lwverrier方法的基礎(chǔ)上，利用特征多項式的系數(shù)直接計算矩陣方冪的跡.這樣以來，問題就變得簡單多了.

1 預(yù)備知識

根據(jù)矩陣跡的定義，容易驗證跡有如下性質(zhì)［2］：（1）tr（M+N）=tr（M）+tr（N）；（2）tr（kM）=k tr（M）；（3）tr（M）=矩陣主對角線元素之和=所有特征值的和.

引理1［3］設(shè)n階矩陣M的特征多項式

定義下列矩陣

引理1是用遞推的方法證明特征多項式系數(shù)與矩陣乘積的跡之間的一些聯(lián)系.文獻(xiàn)［4］也是在此引理的基礎(chǔ)上用矩陣方冪的跡給出了特征多項式系數(shù)的矩陣表示.由于在很多情況下直接求矩陣方冪的跡是相當(dāng)復(fù)雜的，而特征多項式（系數(shù)）卻可以用求伴隨矩陣的方法很容易地計算出來.因此，可以利用特征多項式的系數(shù)反過來直接求矩陣方冪的跡.

2 用特征多項式的系數(shù)表示矩陣方冪的跡

定理1設(shè)n階矩陣M的特征多項式

則

證明因為n階矩陣M的特征多項式為

所以可以根據(jù)引理1定義一系列矩陣如式（1），并變形

因此

再由引理1中式（2）以及性質(zhì)（1）（2）可得

依次把tr（M），tr（M2），…，tr（Mi-1）帶入第i個方程，可得

例1已知3階矩陣M的特征多項式p（λ）=λ3-10λ-9，求M，M2，M3的跡.

解設(shè)ai是p（λ）=λ3-10λ-9的i次項系數(shù)，則a3=1，a2=0，a1=-10，a0=-9，直接根據(jù)定理1可求得M方冪的跡為

解由于題目僅已知了矩陣而特征多項式未知，所以可以先用求伴隨矩陣的方法算出M的特征多項式p（λ）=λ4-6λ3-4λ2，仍設(shè)ai為特征多項式p（λ）的i次項系數(shù)，于是a4=1，a3=-6，a2=-4，a1=0，a0=0.然后利用定理1求得M方冪的跡為tr（M）=6，tr（M2）=44，tr（M3）=288，tr（M4）=1 904.

3 小 結(jié)

求矩陣方冪的跡，既可以按照矩陣乘法先求出矩陣的方冪，再求其方冪的跡（主對角線元素之和），也可以先求出其特征多項式，再利用定理1的結(jié)論直接求其方冪的跡.前者僅適用于矩陣已知的情形，而當(dāng)矩陣的階數(shù)較大或者矩陣未知（僅已知特征多項式）時，后者的優(yōu)勢就顯現(xiàn)出來了.當(dāng)然，也可以通過編程使其變得更加簡單明了.

［1］王萼芳，石生明.高等代數(shù)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2003

［2］牛華偉，張厚超.關(guān)于矩陣跡的性質(zhì)與應(yīng)用［J］.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2009（2）：41-43

［3］王卿文，楊家騏.“矩陣特征多項式的一種求法”的一個注記［J］.數(shù)學(xué)通報，1992（6）：35-36

［4］孫志和，竇在祥.特征多項式系數(shù)的矩陣表示［J］.青島理工大學(xué)學(xué)報，2006，27（3）：112-115

On Computing the Trace of Matrix Power by Using Characteristic Polynomial Coefficient

ZHANG Zhuo
（School of Mathematics and Statistics，Southwest University，Chongqing 400715，China）

Based on characteristic polynomial Lwverrier method of a matrix，the trace of matrix power is computed by using characteristic polynomial coefficient so as to reduce computation complexity when a matrix is unknown or the order is larger，which is tested by examples.

characteristic polynomial；coefficient；matrix；power；trace

O151.21

A

1672-058X（2014）03-0027-03

責(zé)任編輯：李翠薇

2013-09-04；

2013-09-28.

張卓（1989-），女，河南鄧州人，碩士研究生，從事計算數(shù)論研究.