曹茂

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

封閉系統(tǒng)中的貨幣分布狀況分析*

曹茂

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

模型中基于個體貨幣的轉(zhuǎn)移，近似于用類比熱力學(xué)中的分子運動來研究貨幣的分布狀況，在熱力學(xué)中某一狀態(tài)發(fā)生的概率，早由Blotzmann和Gibbs提出［1］?；趯嶋H交易，引入Gini系數(shù)衡量制定的交易規(guī)則下貨幣分布狀況;為了更加符合實際，對模型進(jìn)行了改進(jìn)，引入每次交易成功的概率r，其中r由交易過程中的一些影響因素作用而隨機(jī)生成，經(jīng)過分析得出更具有現(xiàn)實意義的模型。

貨幣分布;交易規(guī)則;基尼系數(shù);帕累托定律

假設(shè)一個封閉系統(tǒng)有N個人組成，在實際的生活與生產(chǎn)中可以把這每個人看成是一個基本單元，在這個系統(tǒng)中個體數(shù)N保持不變。初始時刻每個個體i的貨幣量為m，研究的模型是任意兩個人進(jìn)行貨幣交換，在現(xiàn)實生活中可以看作是雙方交易。兩個人相互交易的結(jié)果是財富Δm從一個個體的手里轉(zhuǎn)移到了另一個的手里，即:

而在每一次交換的過程中系統(tǒng)的總貨幣值保持不變:

在這種情況下給出兩種交易規(guī)則，討論每個人在每種規(guī)則下，進(jìn)行充分長的時間后的貨幣分布情況。

1 封閉系統(tǒng)問題分析

1.1 背景詳述分析

一百多年來，帕累托定律已經(jīng)得到大量的實證支持，但到目前為止對于機(jī)制的研究還沒有根本性的突破。運用財富轉(zhuǎn)移模型來研究財富分配的現(xiàn)象是近十年才出現(xiàn)的［2］，在此將貨幣視作財富的度量，因而在交易過程中貨幣的轉(zhuǎn)移伴隨著財富的轉(zhuǎn)移。問題中研究的系統(tǒng)是封閉的，也就是系統(tǒng)中沒有額外的財富注入，系統(tǒng)總財富保持不變。對于顯示經(jīng)濟(jì)活動中的一些制約因素，諸如時間的關(guān)聯(lián)，空間的關(guān)聯(lián)，以及個體偏好因素在此均不予以考慮，也不考慮財富交換的某些經(jīng)濟(jì)活動。就像在一個封閉的容器中，有大量的分子做熱運動，它們的運動是無規(guī)則的，并且兩個分子在交換能量時，即任意兩個分子間相互的碰撞是任意的?？梢杂酶怕史植紒砜坍?，并且它們碰撞時相互交換能量，交換的多少也是不確定的?？梢栽诖酥贫ㄒ恍┘s束，使它們最后達(dá)到一種平衡并且分子的能量按一定的分布，但它們的總的能量保持前后不變。

1.2 交易途徑

通常的交換大致可通過以下3種途徑:

(1)物物交換。

(2)一種為社會全體成員樂意接受的一般商品的中介貨幣。

(3)信用賒賬貸款，擔(dān)保等方式。

但此處所考慮的僅僅是(2)中貨幣的交換，并且整個系統(tǒng)中的交易是隨機(jī)的和無序的，即有:

1.3 對模型進(jìn)行假設(shè)

假設(shè)兩個人只要碰面就算作一次交易，因而交易會有失敗和成功。失敗即是不發(fā)生貨幣轉(zhuǎn)移，成功即是發(fā)生貨幣轉(zhuǎn)移。系統(tǒng)是封閉的，沒有額外的財富注入，也就是說系統(tǒng)中總的貨幣量和財富值恒定。定義任意一次交易的時間為1 s，且在任意1 s中有且僅有一次交易，不考慮交易是否成功。

1.4 符號說明

M:表示封閉系統(tǒng)中總的貨幣量;mi:(i=1、2、3、 、N)表示第i個人所擁有的貨幣量，它隨時間的變化而變化;T:表示每個人開始的平均貨幣量，即題中所給的m單位的貨幣量;n:表示在某一狀態(tài)α下的具有一定貨幣量的人數(shù);N:表示系統(tǒng)總的人數(shù);r:每次交易成功的概率;t0:系統(tǒng)中的時間關(guān)聯(lián)度;L0:系統(tǒng)空間的關(guān)聯(lián);βi:個體偏好;λ:儲蓄率。

2 模型的建立與求解

2.1 模型建立

統(tǒng)計物理和熱力學(xué)的基本定律，當(dāng)一個物理系統(tǒng)達(dá)到熱平衡時，系統(tǒng)的某一特定狀態(tài)α發(fā)生的概率為

其中T表示溫度，表示μ同一粒子的化學(xué)勢能;εα表示α狀態(tài)下的總能量;Nα表示在α?xí)r的具有某種能量的粒子的總數(shù)［3］;kB為常數(shù)。此概率分布就是眾所周知的Blotzmann-Gibbs分布［4］。因為對于一個物理系統(tǒng)能達(dá)到平衡態(tài)的本質(zhì)因素是系統(tǒng)的能量守恒，所以由此推廣出，對于一個能量不變的系統(tǒng)，一定能夠達(dá)到一個穩(wěn)定態(tài)的概率分布。定義財富的概率分布p(m)為:用有的財富值在m和m+dm之間的個體數(shù)等于Np (m)dm，就像在熱力學(xué)中的一樣，關(guān)心概率分布p(m)平衡態(tài)［5］。

在模型中，給所有交易者相同的貨幣。定義任意一次交易的時間為1 s，且在任意1 s中有且僅有一次交易，不考慮交易是否成功。在某一時間一對交易者是隨機(jī)選取的，接著隨機(jī)選取一個交易者為“贏家”，另外一個為“輸家”;他們的轉(zhuǎn)移量Δm≥0從輸家轉(zhuǎn)移到贏家。如果輸家沒有足夠的錢支付(mi＜Δm)，則交易失敗，即雙方的貨幣量都不變，從而進(jìn)行到下一組交易者。

2.2 交易規(guī)則

交易者不允許出現(xiàn)負(fù)的金錢數(shù)。在交易的過程中引入式(3)、(4)制定這樣的交易規(guī)則:

規(guī)則一，每次轉(zhuǎn)移的貨幣量是一個小的定植1。

規(guī)則二，每次轉(zhuǎn)移的財富值是雙方貨幣值的平均值的隨機(jī)部分:

其中(0≤ν≤1)，假定人數(shù)N為500人，總的貨幣量M=5×105，交易時間t=100 000 s。

3 算法實踐

3.1 通過MATLAB程序進(jìn)行模擬規(guī)則一

隨機(jī)抽取出其中任意一種模擬結(jié)果如圖1:

基尼系數(shù):G=0．011 4。在交易規(guī)則一下，可以知道基尼系數(shù)趨近0，故而在此交易規(guī)則下的財富分配是極端平均的一種理想狀態(tài)。

3.2 再用MATLAB對交易規(guī)則二進(jìn)行模擬

隨機(jī)抽取出其中任意一種模擬結(jié)果如圖2:

圖1 規(guī)則一下個人財富貨幣分布

圖2 規(guī)則二下個人財富貨幣分布

基尼系數(shù)G=0．509 9。在此交易規(guī)則下，知道基尼系數(shù)趨近0．5，因而知道系統(tǒng)財富分布相當(dāng)不均衡，并且符合帕累托定律下的財富分配狀況。

4 模型的檢驗

4.1 基尼系數(shù)

對于建立模型所求出的貨幣分布狀況，引入洛倫斯模型中的基尼系數(shù)來衡量財富分配的均衡程度。用橫坐標(biāo)表示累積的戶數(shù)或人數(shù)的百分比，用縱坐標(biāo)表示累積的收入百分比。就可以畫出一條從坐標(biāo)原點(0，0)到坐標(biāo)點(1，1)的一條向下垂的弓性線(這就是洛倫斯曲線)，這條弓形線將三角行OPM分成A、B兩部分。這就是洛倫斯模型，用它來檢驗在設(shè)定的模型下，分配的均衡性。模型中直線OM呈45度角，為收入絕對平均線。折線OPM是絕對不平均線。洛倫斯曲線越接近絕對平均線，即A的面積越小，B的面積越大，表明收入分配越平均;洛倫斯曲線越接近絕對不平均線，即A的面積越大，B的面積越小，表明收入分配越不平均。這樣就可以得到一個反應(yīng)收入分配平均程度的指標(biāo)——基尼系數(shù)，其計算公式是:

基尼系數(shù)總是大于0而小于1。由圖3可以知道，如果A的面積不斷擴(kuò)大，洛倫茨曲線就趨向于正方向的兩條邊:OP、PM，則面積A=0．5，基尼系數(shù)G=1．0，所以基尼系數(shù)界于0于1之間，0代表絕對平均，1代表絕對不平均?；嵯禂?shù)越小，收入分配越平均;基尼系數(shù)越大，收入分配越不平均［6］。

圖3 洛倫茨收入

在模型中，用Gini系數(shù)定義式(2)如下:

圖3中洛倫茨絕對平均曲線是表示平均財富，一個完美的分配中每個人得到同等數(shù)量的錢，這將得到值G=0，即絕對平均;另一種極端情況，某個個體得到所有的錢，則G=1，即絕對不平均。

4.2 交易規(guī)則一

進(jìn)行模擬抽取一組數(shù)據(jù)可以得到如表1結(jié)果，其中基尼系數(shù)為G。

表1 多次計算機(jī)模擬選取后結(jié)果(交易規(guī)則一條件下)

通過大量模擬分析數(shù)據(jù)可以得到基尼系數(shù)趨于0．011 0。故而這種交易規(guī)則下的理想狀態(tài)是所有人的財富幾乎相等，也就是極端平均的狀態(tài)，但在現(xiàn)實情況下是很難出現(xiàn)這種貨幣分布的情況，因而不具有研究價值。

4.3 對交易規(guī)則二

進(jìn)行模擬抽取一組數(shù)據(jù)可以得到如表2結(jié)果，其中基尼系數(shù)為G。

表2 多次計算機(jī)模擬選取后結(jié)果(交易規(guī)則二條件下)

通過大量模擬分析數(shù)據(jù)可以得到基尼系數(shù)趨于0．5，故而這種交易規(guī)則下貨幣分布狀況是相當(dāng)不均衡的，并且滿足帕累托定律下的財富分布狀況，因而更具有實際意義。

5 模型的分析

5.1 實證分析

模型只是客觀現(xiàn)實在某種程度上的近似和抽象，無論如何復(fù)雜和詳盡，都不能等同于現(xiàn)實。經(jīng)濟(jì)分配模型，同樣存在很多的缺點。如考慮兩者之間的交換的概率是不變的并且交易量也是不變的，但在實際的過程中，這些都是變化的。這是在一種理論條件下進(jìn)行的討論，目的是在認(rèn)識和深入理解模型的缺點和局限性的基礎(chǔ)上，使模型更加完善。對于模型可以引入一系列的變量進(jìn)行完善與修正，直到模型很接近實際情況［7］。

由于交易規(guī)則一模擬出來的結(jié)果是一種十分理想的狀態(tài)，不具有現(xiàn)實意義，因而在此不做更進(jìn)一步的討論，于是討論交易規(guī)則二(圖4)。

由圖4可以定性分析出獲得一定貨幣值的人口數(shù)，并且可以估算出80%的人數(shù)獲得的貨幣量在T= 1 000以下，僅有20%的人在T=1 000以上;也就是說明，財富分布不均，兩極分化嚴(yán)重。20%的人掌握著80%的財富，與帕累托定律基本相符，因而具有一定的現(xiàn)實意義。

5.2 模型的改進(jìn)

建立的模型，是以物理學(xué)意義上的分子熱運動建立的?？紤]到交易的隨機(jī)性，并且考慮到交易的邏輯基礎(chǔ)，即個體具有支付能力。在模型中忽略了交易成功或者失敗的現(xiàn)實影響因素，諸如:時間的關(guān)聯(lián)，空間的關(guān)聯(lián)，以及個體偏好因素。

因而在此可以設(shè)系統(tǒng)引入每次交易成功的概率為r，在這里r由系統(tǒng)中的時間關(guān)聯(lián)度為t0，空間的關(guān)聯(lián)為L0，個體偏好為βi，儲蓄率λ相互作用下隨機(jī)生成的［8］。

在交易時間t下，交易了t次，其中成功的次數(shù)ξ，于是有ξ～B(t，r)。交易成功的期望值Eξ=tr，故理論狀態(tài)的交易次數(shù)為Eξ。用MATLAB再次對改進(jìn)模型后的交易規(guī)則二進(jìn)行模擬，抽取其中一模擬的結(jié)果分析，得圖5～圖7:

圖4 交易規(guī)則二下隨機(jī)模擬人數(shù)與貨幣值對應(yīng)分布

圖5 改進(jìn)后個人貨幣隨機(jī)分布

圖6 改進(jìn)后的財富人數(shù)隨機(jī)分布

圖7 財富值概率對應(yīng)分布

觀察圖(5)、(6)、(7)可以發(fā)現(xiàn)極少數(shù)人獲得了大量的貨幣。系統(tǒng)中的貨幣分布狀況不均衡，基尼系數(shù)G=0．506 2，與在模型改良前的基尼系數(shù)十分相近，但是更趨近于理論值0．5，而且更符合帕累托定律給出的財富分布狀況。由于在改良的過程中引入了更多的因素，因此經(jīng)過改良后的模型更具實踐價值和擴(kuò)展性。

6 模型的推廣與實用性

在模型中，首先忽略了現(xiàn)實生活中隨著時間的推移社會生產(chǎn)力的發(fā)展，社會總財富與使用貨幣量的不斷增加，忽略了社會生活中復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)交易方式，沒有考慮人口的變化情況，僅僅基于一種理想的狀態(tài)，系統(tǒng)人口數(shù)是恒定的。而現(xiàn)實情況下人口的變化是受到許多因素的影響的。雖然建立的模型不適應(yīng)復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)活動，但是在一個相對短的時間里，可以將社會財富和貨幣量看作沒有改變，而且對那些經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)、缺乏復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)活動地區(qū)，則可以忽略其他因素對交易的影響。最后就是在一個相對短的時間里人口的變化極小，于是也可以將人口看做恒定的。因此所建立的模型在局部經(jīng)濟(jì)活動中具有一定的實踐意義。

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Analysis of Monetary Distribution Situation in Closed System

CAO Mao
(School of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

Based on individual monetary transfer，the model studies the monetary distribution situation by the molecular movement approximate to analogical thermodynamics.The probability occurred from a state in thermodynamics was pointed out by Blotzmann and Gibbs in reference［1］，and monetary distribution situation is measured by transaction rule made by Gini coefficient.In order to further fit for the practice，the author modified the model，introduced probability r successful in every transaction，where r is randomly generated by the action of some affecting factors in the transaction process，as a result，the model is more valid after analysis.

monetary distribution;transaction rule;Gini coefficient;Pareto Law

O210

A

1672-058X(2014)01-0001-07

責(zé)任編輯:田 靜

2013-07-28;

2013-08-20.

國家自然科學(xué)基金(11001288).

曹茂(1988-)，男，湖北黃岡人，碩士研究生，從事系統(tǒng)理論優(yōu)化控制方向研究.