杜明銀

(河南理工大學(xué)萬方科技學(xué)院，河南鄭州 451400)

具有脈沖效應(yīng)的森林蟲害模型動(dòng)力學(xué)性質(zhì)研究

杜明銀

(河南理工大學(xué)萬方科技學(xué)院，河南鄭州 451400)

基于害蟲生物控制策略，研究固定時(shí)刻投放天敵和種植樹木的脈沖種群系統(tǒng)模型，利用Floquer理論和比較原理，研究害蟲滅絕周期解的存在性和全局漸進(jìn)穩(wěn)定性，給出系統(tǒng)持續(xù)存在的條件．關(guān)鍵詞：森林害蟲；脈沖投放；時(shí)滯；穩(wěn)定性；周期解

森林生長周期較長，幾十年甚至上百年，在其漫長的生長發(fā)育過程中，隨時(shí)可能受到害蟲侵襲，輕者造成林木生長緩慢，質(zhì)量變劣，重者死亡，造成森林面積的大量減少．對于一種害蟲或病害，若長期防治而不能控制，每年即使付出大量的資金、勞力，但仍有大面積林木被吃光致死．我國植物種類占世界第二位，森林病蟲種類繁多，害蟲的多樣性、環(huán)境條件的復(fù)雜性給防治工作帶來一定的困難，森林病蟲害防治工作具有長期性與艱巨性特點(diǎn)．而農(nóng)藥的廣泛、大量和長期使用已經(jīng)給人畜健康、環(huán)境和農(nóng)田生態(tài)系統(tǒng)帶來了不良影響；同時(shí)也使有害生物逐漸產(chǎn)生抗藥性，加大了防治工作難度．從而人們越來越重視生物防治方法，根據(jù)植物病蟲害系統(tǒng)的食物鏈，定期地投放害蟲的天敵，以期達(dá)到控制或根除害蟲的目的．由于投放害蟲天敵不是連續(xù)進(jìn)行的，從而具有脈沖效應(yīng)；另外，每年定期植樹也具有脈沖效應(yīng)．因此，用脈沖動(dòng)力系統(tǒng)來描述這種現(xiàn)象符合生態(tài)實(shí)際，這方面研究Lakshmikantham V等早在1989年就已經(jīng)提出[1]，后來有些學(xué)者做了推廣[2-4]．

本文基于害蟲生物控制策略，建立了在固定時(shí)刻投放害蟲天敵和種植樹木的三種群脈沖微分系統(tǒng)模型，利用脈沖微分方程的Floquet理論和比較原理研究了害蟲滅絕周期解的存在性和全局漸進(jìn)穩(wěn)定性，給出系統(tǒng)持續(xù)存在的條件．

1 模型及其適定性

根據(jù)害蟲、樹木、害蟲天敵這三個(gè)種群之間的關(guān)系，建立三種群脈沖微分系統(tǒng)模型．x1( t)表示t時(shí)刻害蟲的數(shù)量，x2( t)表示t時(shí)刻樹木的數(shù)量，y( t)表示t時(shí)刻害蟲天敵的數(shù)量．在固定時(shí)刻釋放害蟲天敵和新植入樹木的脈沖微分模型為：

其中，α表示害蟲的內(nèi)稟增長率，η＞0表示單位時(shí)間內(nèi)一只害蟲被一只天敵吃掉的概率，μ＞0表示害蟲天敵的死亡率，d＞0表示害蟲作為食物對天敵的發(fā)展系數(shù)，γ＞0表示害蟲與樹木間的相互作用，μ2＞0和β分別表示樹木的死亡率和增植率，p表示t=nτ(n∈Z+)時(shí)刻投放害蟲天敵的數(shù)量，p2表示nτ時(shí)刻新種植樹木的數(shù)量，τ是脈沖效應(yīng)周Δy( t)=y( t+)-y( t )．

模型（1）的解x( t)=(x1( t),x2( t),y( t ))是分段連續(xù)函數(shù)，當(dāng)t∈(nτ,(n+1)τ]時(shí)，x( t)是連續(xù)的．令f=(f1,f2,f3)為（1）的前三個(gè)方程右端的映射，顯然f的光滑性保證了解的存在唯一性．

引理1[5]對于齊次線性T-周期脈沖微分方程：

假設(shè)有下面的條件：

如果條件H1-H3成立，則（2）的每一個(gè)基解矩陣都可以表示為如下形式：

這里G∈Cn× n是常值矩陣，矩陣Φ(·)∈PC1( R, Cn× n)是非奇異和T-周期的．

引理2[6]如果條件H1-H3成立，則T-周期的線性脈沖方程（2）是：

2 模型的周期解

這部分首先給出模型（1）的害蟲滅絕周期解，通過Floquet理論及比較原理得到了周期解不穩(wěn)定和全局漸進(jìn)穩(wěn)定的條件，最后給出了持續(xù)生存的定義和系統(tǒng)持續(xù)生存的條件．

3 系統(tǒng)的持續(xù)生存性

首先給出持續(xù)生存的定義：

定義1 系統(tǒng)（1）稱為持續(xù)生存的，如果存在正常數(shù)m, M,τ0，當(dāng)t＞t0時(shí)，系統(tǒng)（1）的所有正解(x1( t),x2( t),y( t))滿足m≤xi( t)≤M,(i=1,2),m≤y( t)≤M ．

為了證明下面定理，先給出引理3：

引理3[7]設(shè)(x1( t),x2( t),y( t))是（1）的任意解，則存在一個(gè)常數(shù)M＞0使得t充分大時(shí)有xi( t)≤M,(i=1,2),y( t)≤M ．

4 結(jié) 論

[1] Lakshmikantham V, Bainov D, Simeonov P. Theory of impulsive differential equations [M]. Singapore: World Scientific, 1989: 133-135.

[2] Tang S Y, Robert A C. Models for integrated pest control and their biological implications [J]. Math. Biosci., 2008, 215: 115-125.

[3] 張玉娟, 陳蘭蓀, 孫麗華. 一類具有脈沖效應(yīng)的捕食者-食餌系統(tǒng)分析[J]. 大連理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 44(5): 769-774.

[4] 徐為堅(jiān), 陳蘭蓀. 基于噴灑殺蟲劑及釋放病蟲的脈沖控制害蟲模型[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識, 2008, 38(17): 89-94.

[5] Drumi B, Pavel S. Impulsive differential equations: periodic solutions and applications [M]. England, Scientific and Technical, 1993: 26-31.

[6] Jiao J J, Chen L S. A pest management SI model with impulsive control concerned [J]. Math. Biosci., 2007, 22: 385-394.

[7] Tan Y S, Chen L S . Modeling approach of biological control of insect pest by releasing infected pest [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2009, 39: 304-315.

Property Study on the Dynamics for Model of Damage by Forest-insects with Pulse Effect

DU Mingyin
(Wan fang Institute of Science and Technology, Henan Polytechnic University, Zhengzhou, China 451400)

This paper introduces the systematic model for the pulse population, which is applied to the reseach of predator release and plantation of trees at fixed moment, based on the biological control strategy of injurious insects. By means of Floquer theory and comparison principle, this paper studies the existence of the periodic solution to injurious insect extinction as well as the overall asymptotic stability. Meanwhile, the condition of the system constant existence is given.

Injurious Forest-insect; Pulse In-put; Time-lag; Stability； Periodic Solution

O175.13

A

1674-3563(2014)01-0001-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.01.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2014-04-15

河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(12B110012)

杜明銀(1980- )，男，河南濮陽人，講師，碩士，研究方向：生物數(shù)學(xué)