高慧霞，何文明

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

磁電彈性圓環(huán)板屈曲問(wèn)題的哈密頓體系方法

高慧霞，何文明

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

運(yùn)用哈密頓體系方法給出了磁電彈性圓環(huán)板屈曲問(wèn)題的解析解，并對(duì)磁電彈性圓環(huán)板的純彎曲問(wèn)題進(jìn)行了分析．算例結(jié)果表明，采用哈密頓體系方法求解磁電彈性圓環(huán)板屈曲問(wèn)題非常方便快捷．關(guān)鍵詞：磁電彈性圓環(huán)板；哈密頓體系方法；本征解

磁電彈性耦合材料是壓磁材料和壓電材料的復(fù)合體，是一種智能材料，它具有同時(shí)感知磁、電、力影響的能力，并且可以實(shí)現(xiàn)它們之間的相互轉(zhuǎn)化，即磁場(chǎng)或電場(chǎng)會(huì)導(dǎo)致其變形，而材料變形時(shí)也可以產(chǎn)生電場(chǎng)和磁場(chǎng)，這種獨(dú)特的機(jī)電和磁力轉(zhuǎn)換能力使得這種材料在工程中的應(yīng)用十分廣泛．

文獻(xiàn)[1]采用調(diào)和函數(shù)的一些函數(shù)作線性組合，給出了磁電彈性圓環(huán)板的純彎曲問(wèn)題的解析解，文獻(xiàn)[2]由控制方程出發(fā)，采用湊合法給出了磁電彈性旋轉(zhuǎn)圓環(huán)的解析解，文獻(xiàn)[3]采用微分求積法和狀態(tài)空間法相結(jié)合的半解析數(shù)值方法對(duì)以上問(wèn)題進(jìn)行了求解，這些文獻(xiàn)所采用的方法都屬于湊合法，具有一定的局限性：求解過(guò)程中，由于是一類變量的求解，所以不可避免地會(huì)有高階偏微分方程出現(xiàn)；假設(shè)的使用只適應(yīng)于一些簡(jiǎn)單的機(jī)械模型，對(duì)于復(fù)雜局面很難給出合理的假設(shè)；所得的解是不完整的，只能近似地滿足邊界條件．

哈密頓體系方法不同于一類變量的求解——拉格朗日體系的解法，它是將原變量和對(duì)偶變量組成的狀態(tài)空間引入到彈性力學(xué)，然后再利用分離變量法，導(dǎo)出橫方向的本征問(wèn)題，通過(guò)對(duì)各階重本征值解的約當(dāng)型形式的分析進(jìn)行求解，通過(guò)理性推導(dǎo)，逐步進(jìn)行下去．哈密頓體系方法已應(yīng)用到很多問(wèn)題的研究中，文獻(xiàn)[4]給出了哈密頓體系下機(jī)電耦合問(wèn)題的基本方程，文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]、文獻(xiàn)[7]分別講述了哈密頓體系方法在彈性圓板熱屈曲問(wèn)題、粘彈性懸臂梁彎曲變形問(wèn)題及功能梯度壓電板 / 管靜動(dòng)力分析中的應(yīng)用，但關(guān)于哈密頓體系方法在磁電彈性圓環(huán)板中的應(yīng)用，目前還未見(jiàn)到相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道．本文將在磁電彈性圓環(huán)板屈曲問(wèn)題中引入文獻(xiàn)[8]中的哈密頓體系方法，通過(guò)理性推導(dǎo)給出磁電彈性圓環(huán)板屈曲問(wèn)題的解析解．

1 磁電彈性圓環(huán)板屈曲問(wèn)題的基本方程

磁電材料極化后為橫觀各向同性材料，設(shè)極化方向?yàn)閦軸方向，考慮磁電圓環(huán)板內(nèi)半徑為r0，外半徑為r1，厚為h，選取柱坐標(biāo)(r,θ,z)，z軸沿板的厚度方向，坐標(biāo)原點(diǎn)為板心，可得磁電彈性圓環(huán)板的軸對(duì)稱問(wèn)題的基本方程，也就是磁電材料的本構(gòu)方程、幾何方程和平衡方程．

本構(gòu)方程為：

其中，σr、σθ、σz、τzr為應(yīng)力，εr、εθ、εz、γzr為應(yīng)變，c11、c12、c13、c33、c44為彈性系數(shù)，e31、e33、e15為壓電系數(shù)，d31、d33、d15為壓磁系數(shù)，λ11、λ33為介電系數(shù)，μ11、μ33為磁性系數(shù)，g11、g33為磁電系數(shù)，ur、uz為位移，Er、Ez為電場(chǎng)強(qiáng)度，Hr、Hz為磁場(chǎng)強(qiáng)度，φ為電勢(shì)，ψ為磁勢(shì)，Dr、Dz為電位移，Br、Bz為磁感應(yīng)強(qiáng)度．

勢(shì)能可由如下積分表示，記作Π．

2 導(dǎo)入哈密頓系統(tǒng)

3 問(wèn)題的零本征解

對(duì)方程（6）式采用分離變量法來(lái)求解，就可得到磁電彈性圓環(huán)板屈曲問(wèn)題的解，即得到ur,．下面進(jìn)行變量分離．令

因?yàn)橛凶杂蛇吔绲拇嬖?，原?wèn)題必然會(huì)存在零本征解，H的零本征值λ=0是很重要的，此時(shí)一定產(chǎn)生重根，并且會(huì)出現(xiàn)不同階數(shù)的約當(dāng)型．本文將討論零本征解，下文會(huì)具體地將這些解找出來(lái)并賦予其物理意義．現(xiàn)在來(lái)尋求這些零本征解，即當(dāng)λ=0時(shí)，方程為：

這組解的物理意義分別為：均勻力拉伸、均勻電場(chǎng)和均勻磁場(chǎng)．

下一步還應(yīng)尋找更下一階的約當(dāng)型．二階約當(dāng)型的控制方程為：=，(i=1,2,3)，因?yàn)榇朔匠痰慕獠粷M足問(wèn)題的邊界條件，所以求解過(guò)程到此結(jié)束．以上的求解已表明，零本征解已全部找到，不會(huì)再有別的了，因此該約當(dāng)型鏈到此中斷，即不存在更高階的約當(dāng)型解．

4 哈密頓體系方法的應(yīng)用

下面將以文獻(xiàn)[1]中具體的例子為例，來(lái)介紹哈密頓體系方法對(duì)該問(wèn)題的求解過(guò)程．

文獻(xiàn)[1]中給出的純彎曲問(wèn)題的邊界條件為：

對(duì)應(yīng)的應(yīng)力場(chǎng)分布結(jié)果為：

然后再代入到ur、uz、φ、ψ中才可以得到位移、電勢(shì)和磁勢(shì)的顯示表達(dá)式．

本文方法的求解過(guò)程如下.

通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)哈密頓體系方法更為方便．

[1] 陳江瑛, 侯鵬飛, 丁皓江. 磁電彈性圓環(huán)板的三個(gè)解析解[J]. 寧波大學(xué)學(xué)報(bào), 2002, 15(4): 18-21.

[2] 陳江瑛, 丁皓江, 侯鵬飛. 磁電彈性旋轉(zhuǎn)圓環(huán)(圓盤(pán))的三維分析[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào), 2003, 37(4): 440-444.

[3] 聶國(guó)雋, 仲政. 功能梯度磁電彈性圓板的三維動(dòng)力特性分析[J]. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 37(6): 749-754.

[4] 邊文鳳, 孫芳, 王彪. 哈密頓體系下機(jī)電耦合問(wèn)題的基本方程[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 22(4): 411-414.

[5] 徐新生, 邱文彪, 周震寰, 等. 哈密頓體系下的彈性圓板熱屈曲問(wèn)題[J]. 大連理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 48(1): 1-5.

[6] 張維祥, 邵興, 徐新生, 等. 粘彈性懸臂梁彎曲變形的哈密頓體系方法[J]. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 35(3): 127-130.

[7] 代海濤, 程偉, 李明志. 哈密頓體系下功能梯度電板/管靜動(dòng)力三維解[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 34(1): 104-107.

[8] 鐘萬(wàn)勰. 彈性力學(xué)求解新體系[M]. 大連: 大連理工大學(xué)出版社, 1995: 102-116.

Hamiltonian System Approach to the Bending Problem of Magnetoelectricity Elastic Annular Plate

GAO Huixia, HE Wenming
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

The Hamiltonian system approach is used to propose an analytical solution to the blending problem of magnetoelectricity elastic annular plate, and the pure bending problem of the magnetoelectricity elastic annular plate is analyzed as well. Numerical results show that the Hamiltonian system approach to the problem is very convenient.

Magnetoelectric Elastic Annular Plate; Hamiltonian System Approach; Eigensolution

O24

A

1674-3563(2014)04-0017-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.04.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-09-28

高慧霞(1969- )，女，河南濮陽(yáng)人，碩士研究生，研究方向：計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)控制