呂文靜，鄭海鷹

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

修理工可延誤休假的溫貯備系統(tǒng)

呂文靜，鄭海鷹?

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

討論了溫貯備可修系統(tǒng)的一個新模型，在該模型中引入了修理工可延誤休假的概念．在假定部件的工作時間、貯備時間、修理時間、修理工的延誤休假時間、修理工的休假時間分布的前提下，利用補(bǔ)充變量法和拉普拉斯變換方法，建立了各狀態(tài)概率的微積分方程，得到了系統(tǒng)的一些主要可靠性指標(biāo)．最后研究了溫貯備系統(tǒng)的一個特例，即僅考慮修理工可休假的溫貯備系統(tǒng)，得出了該系統(tǒng)的可靠度及首次故障前的平均時間．

溫貯備系統(tǒng)；延誤休假；補(bǔ)充變量法；廣義馬爾可夫過程；可靠性

為了提高系統(tǒng)可靠度或可用度，備份冗余常作為一種有效的設(shè)計戰(zhàn)略用于許多領(lǐng)域．貯備系統(tǒng)分為冷貯備系統(tǒng)和溫貯備系統(tǒng)．溫貯備系統(tǒng)是指貯備部件在貯備期內(nèi)可能會因為老化問題或受環(huán)境影響等而失效[1]．溫貯備可修系統(tǒng)的可靠性模型是可靠性理論和應(yīng)用中比較重要的模型之一，關(guān)于它的研究，當(dāng)前大多數(shù)文獻(xiàn)都是假定部件故障后能得到立即修理[2-3]，這與現(xiàn)實情況是不大相符合的，實際中，系統(tǒng)的故障部件可能會由于各種原因而得不到立即修理．因此，將修理工休假、延誤休假納入到可修系統(tǒng)模型的分析中是有現(xiàn)實意義的．

文獻(xiàn)[4-10]對不同形式的貯備系統(tǒng)進(jìn)行了研究，本文在這些研究的基礎(chǔ)上，將修理工可延誤休假的概念推廣到溫貯備可修系統(tǒng)，采用補(bǔ)充變量法和廣義馬爾可夫過程方法研究了一個新模型，即修理工可延誤休假的溫貯備可修系統(tǒng)．所謂延誤休假是指，每次休假結(jié)束時若系統(tǒng)中仍沒有失效部件，修理工并不立即休假，而是有一段隨機(jī)的準(zhǔn)備時間，從修理工開始空閑到開始休假這段時間稱為修理工的延誤休假時間，若在延誤休假時間內(nèi)有部件失效，則終止休假準(zhǔn)備，立即修理失效部件，否則修理工開始休假．

本文所給系統(tǒng)模型的具體描述如下：有兩個不同型部件1和部件2及一個修理工組成，其中部件1比部件2有優(yōu)先使用權(quán)和優(yōu)先修理權(quán)；0時刻部件都是新的且系統(tǒng)開始工作，修理工開始作休假準(zhǔn)備；若部件在延誤休假時間內(nèi)失效，則修理工立即修理失效部件，延誤休假時間終止；若部件在延誤休假時間內(nèi)未失效，則修理工在延誤休假時間結(jié)束后開始休假；修理工每次休假結(jié)束時，若系統(tǒng)中有失效部件則立即修理失效部件，若系統(tǒng)中沒有失效部件，則進(jìn)行休假準(zhǔn)備，待延誤休假時間結(jié)束之后方可開始休假．進(jìn)一步設(shè)：

3）兩部件貯備時間服從同一分布：F2( t)=1-e-βt，t≥0；

5）修理工的延誤休假時間分布為：F3( t)=1-e-γt，t≥0；

6）部件1比部件2有優(yōu)先使用權(quán)和優(yōu)先修理權(quán)；

7）上述隨機(jī)變量相互獨(dú)立，部件修復(fù)后如新．

1 模型分析

令S(t)表示系統(tǒng)在時刻t所處的狀態(tài)，則系統(tǒng)可能的狀態(tài)如下：

1）部件1工作，部件2貯備，修理工休假，系統(tǒng)正常；

2）部件1工作，部件2貯備，修理工延誤休假，系統(tǒng)正常；

3）部件1工作，部件2貯備故障，修理工休假，系統(tǒng)正常；

4）部件1工作，部件2修理，系統(tǒng)正常；

5）部件1工作故障，部件2工作，修理工休假，系統(tǒng)正常；

6）部件1修理，部件2工作，系統(tǒng)正常；

7）部件1修理，部件2待修，系統(tǒng)故障；

8）兩部件均故障，修理工休假，系統(tǒng)故障．

引進(jìn)補(bǔ)充變量：X(t)表示在時刻t修理工已經(jīng)用去的休假時間，Y(t)表示在時刻t正在修理的部件已經(jīng)用去的修理時間，則{S(t),X(t),Y(t),t≥0}構(gòu)成一廣義馬爾可夫過程．系統(tǒng)在時刻t的狀態(tài)概率定義如下：

2 系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)

定理1 系統(tǒng)瞬時可用度A(t)的拉普拉斯變換式A*(s)和穩(wěn)態(tài)可用度A′分別為：

對上式取拉普拉斯變換并將式（18）、（20）、（22）、（24）、（25）的表達(dá)式帶入，即可得式（35）、（36），再由Tauber定理[1]，并使用羅比塔法則易得式（37）、（38）．

定理3 系統(tǒng)在時刻t的瞬時故障頻度Wf(t)的拉普拉斯變換式為：

對上式作拉普拉斯變換即可得式（39），再由Tauber定理[1]，并使用羅比塔法則易得式（40）．

3 系統(tǒng)可靠度和首次故障前的平均時間

為了求系統(tǒng)可靠度R(t)，只需令系統(tǒng)的故障狀態(tài)7）和8）均為吸收狀態(tài)，這樣就得到一個有兩個吸收態(tài)的連續(xù)時間廣義馬爾可夫過程, t≥0｝，其中)表示系統(tǒng)在時刻t所處的狀態(tài)，則, t≥0｝是取值于工作狀態(tài)集的隨機(jī)變量．令

對上式進(jìn)行拉普拉斯變換，并代入式（52）、（53）、（54）、（55）、（56）、（57）、（58）、（59）、（60）、（61）和（62），化簡計算即可得（64）式．

推論1 系統(tǒng)首次故障前的平均時間為：

至此，系統(tǒng)一些重要的可靠性指標(biāo)及系統(tǒng)首次故障前的平均時間的拉普拉斯變換可求得．另外在該模型中可以考慮修理工的行為對整個系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)效益的影響，還可以考慮將該模型推廣到表決系統(tǒng)，運(yùn)用排隊論理論可獲得系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)等．

4 實 例

對于該系統(tǒng)，若不考慮延誤休假時間，僅考慮修理工可休假的溫貯備系統(tǒng)這一特殊情況，假定兩同型部件的工作時間和貯備時間分別服從參數(shù)為λ和μ的指數(shù)分布，部件的修理時間和修理工的休假時間分別服從一般分布，分布函數(shù)分別為：

系統(tǒng)首次故障前的平均時間為：

[1] 曹晉華, 程侃. 可靠性數(shù)學(xué)引論[M]. 北京: 高等教育出版社, 2005: 52-55.

[2] 吳清太, 葉爾驊. 開關(guān)壽命連續(xù)型冷貯備可修系統(tǒng)的可靠度分析[J]. 南京航空航天大學(xué)學(xué)報, 2000, 32(5): 556-561.

[3] 李艷, 葉爾驊, 吳清太. 有優(yōu)先權(quán)開關(guān)壽命連續(xù)性兩部件冷貯備可修系統(tǒng)的可靠度分析[J]. 蘭州大學(xué)學(xué)報, 2003, 39(2): 18-22.

[4] 胡兆紅, 陳希鎮(zhèn). 兩不同部件溫貯備可修系統(tǒng)可靠性分析[J]. 溫州大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版, 2009, 30(4): 44-48.

[5] 劉海濤, 孟憲云, 李芳, 等. 兩不同型部件溫貯備系統(tǒng)的幾何過程模型[J]. 系統(tǒng)工程, 2010, 28(9): 103-107.

[6] 孟婭麗, 鄭海鷹. 修理工可多重休假的溫貯備系統(tǒng)[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報: 理學(xué)版, 2012, 39(5): 518-523.

[7] 劉仁彬, 唐應(yīng)輝. 具有多重延誤休假的單部件可修系統(tǒng)[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報, 2006, 23(4): 721-724.

[8] 唐應(yīng)輝, 劉曉云. 一種新型的單部件可修系統(tǒng)[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2003, 7(7): 106-111.

[9] 曹靜, 劉元慧, 姜寧. 具有多重延誤休假的N部件串聯(lián)可修系統(tǒng)[J]. 長春師范學(xué)院學(xué)報, 2007, 26(2): 18-20.

[10] 陳永燕, 鄭海鷹. 冷貯備可修系統(tǒng)的一個新模型及其可靠性分析[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報: 理學(xué)版, 2011, 38(3): 274-278.

[11] 史定華. 計算可修系統(tǒng)在 (0,t] 中的平均故障次數(shù)的新方法[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報, 1985, 8(1): 101-110.

Warm Standby Redundant Repairable System with Multiple Delay Vacations of a Repairman

LV Wenjing, ZHENG Haiying
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

A new model for the Warm standby redundant repairable system is discussed in this paper. The conception of a repairman with possible delay vacation is introduced into this model. Assuming that the operating time and standby time of the units and the delay vacation time of the repairman are exponentially distributed, while the repair time of the units and the vacation time of the repairman have general continuous distributions, drawing on the supplementary variables approach and the method of generalized Markov process, the study obtains some important reliability indexes. Finally, a warm standby redundant repairable system with multiple vacations of a repairman is studied, obtaining such important reliability indexes as the system reliability and MTTF.

Warm Standby Redundant Repairable System; Delay Vacation; Supplementary Variables Approach; Method of Generalized Markov Process; Reliability

O213

A

1674-3563(2014)04-0008-09

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.04.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-12-18

呂文靜(1986- )，女，河南信陽人，碩士，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計．? 通訊作者，wzzhying@163.com