曹 寅，孫紅靈，李曉東

（中國科學院噪聲與振動重點實驗室（聲學研究所），北京 100190）

板振動的無需次級通道建模的分散式前饋控制方法研究

曹 寅，孫紅靈，李曉東

（中國科學院噪聲與振動重點實驗室（聲學研究所），北京 100190）

針對板的振動，提出一種無需次級通道建模的分散式前饋控制方法。該前饋控制方法不需要結構的物理信息，并且能夠控制板在非共振頻率處的線譜振動。采用壓電片和加速度計分別作為執(zhí)行和傳感元件，建立了簡支板振動主動控制的理論模型和實驗系統(tǒng)。提出了分散式前饋控制策略，并分析了無需次級通道建模的分散式前饋控制算法的穩(wěn)定性。提出一種內模濾波器將加速度信號轉變?yōu)樗俣刃盘?，并補償抗混疊濾波器和平滑濾波器的頻率響應，使執(zhí)行器和傳感器保持同位配置。通過仿真和實驗驗證了該算法的有效性。

分散式前饋控制；無需次級通道建模；主動振動控制

彈性結構的分散式速度反饋控制近年來受到了很多關注［1－3］。該方法實際上是一種主動阻尼控制方法，它需要執(zhí)行器和傳感器在物理位置上是同位配置的。在彈性結構表面布放多個同位配置的控制單元，當合理設置控制單元的反饋增益后，即可有效控制結構的隨機擾動。其主要優(yōu)點在于控制復雜度低，計算量小，易于實施，魯棒性較強，控制效果和集中式控制效果類似，并且不需要任何結構的物理信息［4－9］。然而由于穩(wěn)定性的原因，分散式速度反饋控制的反饋增益不能調節(jié)過大，限制了控制效果。如果在非共振頻段上有周期擾動，分散式速度反饋控制將失去控制效果。

一般而言，彈性結構周期性擾動的主動控制是采用前饋控制的方法［10－15］，但這種控制方法實施相對復雜，它需要預先掌握結構振動的模態(tài)信息并對執(zhí)行器和傳感器的布放位置進行優(yōu)化［16］。鑒于分散式速度反饋控制利用執(zhí)行器和傳感器同位配置的特點降低了控制算法的復雜度，Elliott和Baudry等［4，6，17］研究了對于執(zhí)行器和傳感器同位配置時，分散式多通道前饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和通道之間的耦合性。結果表明，分散式前饋控制策略是穩(wěn)定的，并且可以控制結構在非共振頻率處的周期性擾動。除此之外，這種控制方法僅僅需要局部的同位配置的執(zhí)行器到傳感器之間的物理通道信息。Zhou和Wu等［18－19］基于傳遞函數(shù)矩陣嚴格正實（Strictly Positive Real）的特點研究了單通道的無需次級通道辨識的前饋控制算法，根據(jù)次級通道嚴格正實的特點可以省去次級通道的辨識從而增強算法的穩(wěn)定性以及簡便性。

本文針對板的振動，提出了一種多通道的無需次級通道建模的分散式前饋控制策略。當執(zhí)行器和傳感器同位配置時，其傳遞函數(shù)矩陣是嚴格正實的，該控制策略基于這個特點對板的線譜擾動進行控制可無需次級通道建模。同時，本文還針對數(shù)字控制系統(tǒng)設計了一種內模濾波器，通過設計的內模濾波器可以使得執(zhí)行器和傳感器通過數(shù)字系統(tǒng)時依然保持同位配置的特點。簡支板振動的仿真和實驗結果表明，無需次級通道建模的分散式前饋控制是一種有效的控制方法。

1 簡支板結構的物理模型

考慮一塊四端簡支的鋁板，采用多個壓電片和速度傳感器組成的反饋控制單元組對板的振動進行分散式反饋控制。將板分成一系列小的矩形單元，矩形單元的尺寸為lxe＝Lx／（4M）和lye＝Ly／（4N），式中Lx和LY分別為板的長和寬，M和N是計算時考慮的板的最高階模態(tài)的階數(shù)。整個系統(tǒng)的結構如圖1所示。

圖1 板振動的分散式控制示意圖Fig.1 Diagram of decentralized control of plate vibrations

壓電片的激勵可等效為作用在壓電片邊緣上、幅值相等的4條線力矩［1］，其幅度為：

Γ＝C0εpe（1）

其中：C0和εpe都是和壓電片、板的屬性以及壓電片的輸入電壓有關的常數(shù)：

式中：Ep，Epe分別為板和壓電片的楊氏模量；vp，vpe分別為板和壓電片的泊松比；hp是板的厚度，ha是壓電片的厚度；d31是壓電應變常數(shù)。若記第i個壓電片所在區(qū)域是x∈［x1i，x2i］，y∈［y1i，y2i］，第k個速度傳感器所在的位置為（xk，yk）。壓電片到速度傳感器的傳遞函數(shù)可表示

其中：km＝mπ／Lx，kn＝nπ／Ly；ρ，h分別是板的密度和厚度；ωmn是簡支板的共振頻率；ζmn為相應的模態(tài)阻尼比。

2 控制器的設計和分析

本節(jié)提出針對同位配置傳感器的無需次級通道的前饋控制策略，并對其穩(wěn)定性進行分析。分析過程中，假設使用的同位配置的換能器對是壓電片執(zhí)行器和速度傳感器。有研究證明［4－5］，在相對低頻的范圍內，這對換能器之間的傳遞函數(shù)矩陣的實部是正定的。

2.1 控制器的設計

對于分散式的控制策略，同位配置執(zhí)行器與傳感器之間的傳遞函數(shù)矩陣的實部Re［H（jω）］一定是正定的，這是因為由執(zhí)行器提供給控制系統(tǒng)的總能量總是正的［4］。若假設互易性成立（對于結構的線性振動是一個合理的假設），因此HH＋H＝2Re［H（jω）］是正定的，由此可得H（jω）是嚴格正實的矩陣，該條件等價于Re［λi（H）］＞0，這在第2.2節(jié)將會被證明是本文所提出算法的穩(wěn)定性條件。

當系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)時，由N個速度傳感器測得的誤差信號向量y＝［y1，y2，…，yN］T可以表述為：

y＝d＋Hu（7）

其中：u＝［u1，u2，…，uN］T是輸入給N個壓電片執(zhí)行器的控制信號向量，d＝［d1，d2，…，dN］T是初始擾動信號向量。選取誤差信號的能量總和加上帶權重的執(zhí)行器輸出能量作為代價函數(shù)，即：

J＝y(tǒng)Hy＋βuHu（8）

其中：上標H是厄密特轉置，β是執(zhí)行器輸出能量的權重系數(shù)，它決定了執(zhí)行器輸出能量的懲罰程度，并且能增加前饋控制的穩(wěn)定性［6］。

最小化代價函數(shù)（8）的最優(yōu)輸出向量u可以通過最陡下降法得到：u（k＋1）＝u（k）－μ▽uJ，其中μ是自適應算法的更新步長，uJ＝y(tǒng)＋2βu是梯度向量，由此，更新算法可以化簡為：其中是辨識的次級通道矩陣。如果不考慮辨識誤差，則＝H是最陡下降算法＝diag（Hii）是分散式算法＝I是無需次級通道的分散式算法。有研究證明［4，17］，當＝diag（Hii）并且使用同位配置的換能器對時，算法是穩(wěn)定的。

2.2 無需次級通道的分散式前饋算法的穩(wěn)定性分析

如果算法（9）是穩(wěn)定收斂的，當k→∞時，u（k＋1）＝u（k）。因此u（k）最終收斂到最優(yōu)值：uopt＝－（H＋βI）－1d，將式（9）兩邊同時減去uopt，并作簡化可得：

其中：v（k）＝u（k）－u∞。上式穩(wěn)定的充要條件是矩陣C＝［I－2μ（β＋H］是Schur穩(wěn)定的［6］：所有矩陣C的特征值都在單位圓內，即這等價于經過簡化可得出滿足穩(wěn)定性條件時，μ的取值范圍為：

關于式（11）的必要條件是Re［λi（β＋H）］＞0。此時只需找到一個足夠小的μ即可滿足式（11）的收斂性條件。若β＝0且＾＝I，即無次級通道的分散式前饋控制，此時上述收斂性條件為Re［λi（H）］＞0，當同位配置的換能器對被使用時，這個條件在2.1節(jié)被證明是滿足的。

2.3 無次級通道控制算法的實現(xiàn)

由前所述，當次級通道矩陣的特征值的實部是正的時，即Re［λi（H）］＞0時，算法是穩(wěn)定的。然而，當控制算法在數(shù)字系統(tǒng)上實現(xiàn)時，數(shù)字系統(tǒng)的模擬抗混疊濾波器和平滑濾波器將會破壞穩(wěn)定性條件，即可能會使Re［λi（H）］＜0。同時實際使用時常用加速度計作為傳感器，因此需要將加速度信號轉換成速度信號。為解決上述問題，本文提出了一種內模濾波器將加速度信號轉變?yōu)樗俣刃盘柌⒀a償抗混疊濾波器和平滑濾波器的頻率響應。內模濾波器的頻響可以表述為：

HIMF（jω）×Hanalog（jω）＝Hintegrator（jω）（12）

其中：HIMF（jω）是內模濾波器的頻率響應，Hanalog（jω）是抗混疊濾波器和平滑濾波器的頻率響應，而Hintegrator（jω）＝1／jω是理論積分器的頻率響應。

內模濾波器的頻響同樣可以由最陡下降法獲得：

e（k）＝Hintegrator－Hanalog×HIMF（13）

HIMF（k＋1）＝HIMF（k）＋μIMFHHanaloge（k）（14）

其中：μIMF是更新算法的步長，Hanalog可以用系統(tǒng)辨識的方法得到。對于一個數(shù)字處理系統(tǒng)（DSP系統(tǒng)）而言，Hanalog是固定的，獲得HIMF的過程中不需要物理通道的信息，因此HIMF只需要計算一次。獲得HIMF的算法框圖如圖2所示。

圖2中解調部分的作用是提取出時域信號y（n）在ω＝ω0的頻率響應：先將時域信號頻移－ω0，然后用一個低通濾波器提取出頻移后信號的直流部分。這個過程可表述如下：

式中表示卷積，f（n）是一個低通濾波器，ω0是線譜擾動信號的數(shù)字頻率。

圖2 HIMF的辨識算法框圖Fig.2 Block Diagram of identification algorithm for HIMF

調制部分的作用是將頻率響應U轉換到時域振蕩信號u（n）：先將頻率響應U經過低通濾波器f（n），然后頻移ω0恢復振蕩，最后取信號的實部作為u（n）。上述過程可表述如下：

至此，就得到了HIMF，無需次級通道的控制算法（9）可按圖3實現(xiàn)：

圖3 控制算法示意圖Fig.3 Block Diagram of control algorithm

3 仿真和實驗研究

本文的實驗系統(tǒng)是由一個500 mm×400 mm×2 mm的矩形鋁板組成，如圖4所示，板被放置在上下兩層帶凹槽的鋼性框架之間，其邊界條件可近似認為是簡支的。在板下方有一個有機玻璃制作的空腔。初始擾動由空腔內部的揚聲器產生。本實驗使用了3對同位配置的壓電片執(zhí)行器和加速度傳感器，如圖5所示。數(shù)字控制系統(tǒng)是基于TI TMS320C6713 DSP系統(tǒng)，采樣頻率是2 kHz，平滑濾波器和抗混疊濾波器都是由4個2階巴特沃斯濾波器構成，截至頻率是500 Hz，每倍頻程衰減40 dB。板和壓電片的參數(shù)由表1所示。

本節(jié)對無需次級通道的分散式前饋控制算法的穩(wěn)定性和控制效果進行了仿真和實驗分析。

3.1 穩(wěn)定性分析

首先對第1節(jié)的物理通道模型的矩陣進行了穩(wěn)定性分析，之后對實測的次級通道數(shù)據(jù)進行穩(wěn)定性分析。根據(jù)2.2節(jié)分析，若所提出的算法穩(wěn)定，必須要滿足Re［λi（H）］＞0?？刂茊卧牟挤湃鐖D5所示。圖6所示為物理通道模型和實測物理通道的穩(wěn)定性，其中通道矩陣的頻率范圍從5～700 Hz，若通道在某頻率滿足穩(wěn)定性條件則計為1，否則為0。

由圖6知，用物理通道模型進行穩(wěn)定性分析時，其在所測頻帶范圍內都滿足穩(wěn)定性條件，這說明理論上當用同位配置的壓電片執(zhí)行器和速度傳感器作為控制單元時，所提出的算法都是穩(wěn)定的，并且由式（6）算得的物理模型通道都滿足互易性原理，即通道矩陣滿足HT＝H。

實測物理通道依然在大部分頻段范圍內都穩(wěn)定。個別頻率處不穩(wěn)定主要是由于壓電片執(zhí)行器和加速度傳感器在安裝時并未做到嚴格的同位配置，實驗中，加速度傳感器位置的微小偏移將會對算法穩(wěn)定性有較大影響。解決的辦法是可以用尺寸更小的加速度計盡量保持在低頻時與壓電片滿足同位配置，或者采用力執(zhí)行器代替壓電片執(zhí)行器，力執(zhí)行器和速度傳感器是嚴格同位配置的。

圖4 壓電片板實驗系統(tǒng)Fig.4 The smart panel experimental system

圖5 三對同位配置傳感器的位置Fig.5 Positions of the three decentralized control units

表1 板和壓電片的參數(shù)Tab.1 Parameters of the p late and control units

圖6 三個控制單元的穩(wěn)定性分析Fig.6 Stability condition of three control units

圖7 控制單元2的傳遞函數(shù)Fig.7 Frequency response function of control unit2

圖7所示為控制單元2的壓電片執(zhí)行器到加速度傳感器之間的傳遞函數(shù)。板的前4階共振頻率分別為71 Hz、112 Hz、144 Hz和194 Hz。下節(jié)將選取85 Hz和105 Hz兩個非共振峰頻率進行控制，這兩個頻率是任意選取的，滿足圖6所示實測物理通道穩(wěn)定的頻率均可被控制。

3.2 控制效果的仿真結果

根據(jù)實測的物理通道對85 Hz和105 Hz的擾動進行仿真控制，控制結果如圖8和圖9所示。

由圖8、9知，擾動頻率為85 Hz和105 Hz時的仿真控制均是收斂的。85Hz和105Hz的收斂步長分別取為50和20。由于次級通道的不同，兩個頻率的收斂過程也有區(qū)別。圖8中，算法是振蕩收斂的，這主要是由于次級通道矩陣H的3個特征值的虛部較大導致，其3個特征值分別為0.010 5＋0.049 3i；0.012 2＋0.021 7i；0.032 2＋0.038 2i。收斂過程在5 s內下降了約80 dB。圖9中，算法收斂無振蕩，這主要是由于次級通道矩陣H的3個特征值的虛部較小導致，其3個特征值分別為0.084 5－0.007 7i；0.020 0－0.001 0i；0.054 7－0.007 8i。收斂過程在5 s內下降了120 dB。

由仿真結果知，無需次級通道建模的前饋控制算法是可以收斂的，在滿足收斂性條件的情況下，所提出的算法可能出現(xiàn)振蕩收斂的情況，但不會發(fā)散。

圖8 85 Hz仿真控制效果Fig.8 Simulation control results at85 Hz

圖9 105 Hz仿真控制效果Fig.9 Simulation control results at105 Hz

3.3 控制效果的實驗結果

利用圖4所示的實驗系統(tǒng)，開展了無需次級通道建模的分散式前饋控制實驗研究。分別對85 Hz和105 Hz的線譜進行控制，收斂步長的取值與仿真過程一樣，分別為50和20。

擾動頻率為85 Hz時的時域控制結果如圖10所示，3個通道的頻域控制結果如圖11～13所示。由圖10知，三個通道的時域控制過程均收斂，由于實驗是在普通房間環(huán)境，板又較薄，因此本底噪聲較大，并且考慮到壓電片執(zhí)行器有一定的非線性，導致收斂后的殘余噪聲較大。由圖11～13知，實施控制后，3個傳感器的頻譜在85 Hz的幅度分別下降了78 dB、71 dB和72 dB。此外由于壓電片執(zhí)行器的非線性問題，實施控制后，傳感器1、2的頻譜在170 Hz和255 Hz的幅度均有一些提升，傳感器3的頻譜在以上兩個頻率的幅度變化不大。執(zhí)行器的非線性問題可以由一系列的非線性控制算法解決。以上的整個收斂過程在5 s內下降了約70 dB，這和仿真結果類似。

圖10 85 Hz時域實驗控制效果Fig.10 Time domain experimental control results at 85 Hz

圖11 單元1在85 Hz頻域控制效果Fig.11 Frequency domain control results of unit1 at 85 Hz

擾動頻率為105 Hz時的時域控制結果如圖14所示，3個通道的頻域控制結果如圖15～17所示。和85 Hz控制結果類似，三個通道的時域控制過程在4 s內分別下降了88 dB、74 dB和71 dB，這和仿真結果類似。此外，壓電片執(zhí)行器在105 Hz時對該簡支板實驗系統(tǒng)的非線性作用較弱，從控制后的頻譜圖中可以看出無明顯高次諧波產生，這主要是由于板在105 Hz的高次諧頻處響應較小，控制效果較好。

根據(jù)以上的分析知，所提出的針對板結構的無需次級通道建模的分散式前饋控制算法能有效控制非共振頻率處擾動，是一種有效的控制方法，而且該控制方法不需要對次級通道進行建模。

然而根據(jù)實測的物理通道進行穩(wěn)定性分析時，發(fā)現(xiàn)算法的穩(wěn)定性對控制單元中的執(zhí)行器和傳感器是否同位配置較為敏感，由于實驗中應用的壓電片執(zhí)行器和加速度傳感器并非是嚴格意義上同位配置的，因此測得的穩(wěn)定性條件也并非在低頻范圍內都滿足，這個問題可以通過更換執(zhí)行器，用嚴格同位配置的力執(zhí)行器和加速度傳感器解決。本實驗中實測的物理通道只在少數(shù)頻點上不滿足穩(wěn)定性條件。

圖12 單元2在85 Hz頻域控制效果Fig.12 Frequency domain control results of unit 2 at85 Hz

圖13 單元3在85 Hz頻域控制效果Fig.13 Frequency domain control results of unit3 at85 Hz

圖14 105 Hz時域實驗控制效果Fig.14 Time domain experimental control results at105 Hz

圖15 單元1在105 Hz頻域控制效果Fig.15 Frequency domain control results of unit1 at 105 Hz

圖16 單元2在105 Hz頻域控制效果Fig.16 Frequency domain control results of unit 2 at 105 Hz

圖17 單元3在105 Hz頻域控制效果Fig.17 Frequency domain control results of unit 3 at105 Hz

4 結 論

本文針對板的振動，提出了一種無次級通道建模的分散式前饋控制方法。該前饋控制方法不需要結構的物理信息，并且從理論上被證明是穩(wěn)定的。針對數(shù)字控制系統(tǒng)提出了一種內模濾波器，使用該濾波器能夠將加速度信號轉換成速度信號，并可以補償數(shù)字控制系統(tǒng)中抗混疊濾波器和平滑濾波器的頻響，由此保證執(zhí)行器和傳感器的同位配置。通過簡支板振動主動控制的仿真和實驗驗證了所提算法的有效性。結果表明，該算法在實測物理通道滿足穩(wěn)定性的條件下能有效控制板的振動。

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A novel decentralized feedforward control strategy for a plate vibration w ithout secondary path modeling using piezoelectric patch actuators

CAO Yin，SUN Hong-ling，LIXiao-dong
（Key Laboratory of Noise and Vibration Research，Institute of Acoustics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China）

Here，a novel decentralized feedforward control strategy for a plate vibration without secondary path modeling was proposed.This control method did not need any structure information of a plate and it could be used to control the harmonic vibrations of a plate at its off-resonance frequencies.A theoreticalmodel and a test system for active vibration controlofa plate supported simply using piezoelectric patch actuators and accelerometerswere built.The stability of the controlmethod was analyzed theoretically and experimentally.Besides，a kind of internalmodal filter（IMF）was proposed，with it a acceleration signal could be converted into a velocity one.This IMF could guarantee the collocated properties of transducer pairs.Both simulation and test results showed that the decentralized feedforward control strategy is effective.

decentralized feedforward control；no secondary path modeling；active vibration control

TH532

A

國家自然科學基金資助（Y111031121）

2012－10－23 修改稿收到日期：2013－02－26

曹 寅男，博士，1986年生

孫紅靈男，博士，副研究員，1980年生