丁雪娟，時培明

（燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院，秦皇島 066004）

基于延拓與可變余弦窗的經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解改進(jìn)算法研究

丁雪娟，時培明

（燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院，秦皇島 066004）

針對經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）中存在的邊界效應(yīng)及邊界發(fā)散現(xiàn)象隨著篩選層次的增加而增加的問題，提出一種利用延拓與可變余弦窗相結(jié)合的改進(jìn)新方法。首先對信號進(jìn)行延拓處理，增加一定長度的數(shù)據(jù)，實現(xiàn)延拓數(shù)據(jù)與原始信號交界處的光滑過度。其次，根據(jù)信號邊界的發(fā)散程度，在逐層提取各階本征模函數(shù)（Intrinsic Model Function，IMF）之前，在信號兩端加上寬度可變的余弦窗函數(shù)，使得每一個IMF分量邊界發(fā)散問題最小化，保證信號有效數(shù)據(jù)的正確分解，實現(xiàn)EMD邊界處理算法的改進(jìn)。仿真和實例信號分析表明，該方法能較好地抑制EMD邊界效應(yīng)，有效地提取故障信號中的特征信息。

信號處理；經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解；邊界效應(yīng)；可變余弦窗

經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解是Huang首先提出的一種新的自適應(yīng)的時頻分析方法［1］。它根據(jù)信號的局部時變特征進(jìn)行自適應(yīng)的分解，避免了人為因素，克服了傳統(tǒng)方法中的非局域化及非自適應(yīng)性，具有良好的時頻聚集性，適合處理瞬變、調(diào)幅或調(diào)頻等非線性、非平穩(wěn)信號。自EMD方法問世以來，它就引起了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注，已被應(yīng)用于設(shè)備診斷、醫(yī)學(xué)信號分析、語音信號的檢測、圖像信息分離等領(lǐng)域［2－4］。

邊界效應(yīng)一直是制約EMD發(fā)展的一個關(guān)鍵問題，針對這一問題，研究人員已經(jīng)提出了一些改進(jìn)方法，如鏡像延拓［5］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓［6］、相似極值延拓［7］、波形特征匹配延拓［8］、支持矢量回歸機(jī)［9］等。但是，這些延拓方法仍然存在一定的誤差，導(dǎo)致其邊界發(fā)散問題依然存在。窗函數(shù)可以將延拓誤差控制在信號的兩端，使其無法（或以較慢速度）向數(shù)據(jù)內(nèi)部發(fā)展。任達(dá)千等［10］提出了窗函數(shù)法對抑制邊界效應(yīng)有明顯的效果，但指出加窗會改變原始信號，影響分解精度。Qi等［11］提出了在原始信號上加余弦窗函數(shù)，雖然對提取低頻微弱信號具有一定作用，但是固定窗函數(shù)只能抑制特定信號的邊界效應(yīng)，對最后的分解結(jié)果有一定的影響。Parey等［12］提出了在IMF分量上加可變余弦窗函數(shù)，該方法必須保證每個IMF分量具有明確的物理意義，才能使得方法有效，但是在EMD分解過程中有些微弱低頻分量難以篩選出來，無法反映真實的物理過程，使得該方法具有局限性。

本文提出了一種基于延拓與可變余弦窗相結(jié)合的改進(jìn)方法。該方法首先將信號延拓處理，增加一定長度的數(shù)據(jù)，避免在加窗函數(shù)時造成數(shù)據(jù)的改變。其次，每次提取IMF前，在信號兩端加上寬度可調(diào)的余弦窗函數(shù)，使得包絡(luò)線變得比較平滑，沿著正確的方向延展。為了降低窗函數(shù)帶來的誤差，該方法設(shè)計窗函數(shù)的寬度可調(diào)，提高了IMF的分解精度。最后對EMD分解得到的IMF進(jìn)行Hilbert變換，按原始信號長度及位置提取分析結(jié)果，得到有效數(shù)據(jù)的分析結(jié)果。仿真和應(yīng)用實例分析驗證了該方法的有效性。

1 EMD邊界效應(yīng)及改進(jìn)算法

1.1 邊界效應(yīng)

EMD時頻分析方法處在發(fā)展階段，其理論還需要不斷完善。邊界效應(yīng)是其應(yīng)用過程中的一個重要問題。EMD分解中由于無法保證數(shù)據(jù)端點(diǎn)處的極值點(diǎn)，導(dǎo)致求包絡(luò)平均過程中，會在樣條插值時產(chǎn)生數(shù)據(jù)的擬合誤差。并且隨著分解的進(jìn)行，誤差不停積累，由端點(diǎn)處向內(nèi)逐漸傳播，嚴(yán)重時會使分解的數(shù)據(jù)失去意義。同時，用數(shù)字方法實現(xiàn)的Hilbert變換是基于Fourier變換的，在對本征模分量進(jìn)行Hilbert變換時，由于首尾兩點(diǎn)的數(shù)值不同，導(dǎo)致頻譜的泄漏，表現(xiàn)在時頻譜圖上便是邊界效應(yīng)，影響了時頻分析的精度。

1.2 基于延拓和可變余弦窗的邊界效應(yīng)改進(jìn)算法

在EMD分解過程中，邊界效應(yīng)是在樣條差值時產(chǎn)生的擬合誤差，從端點(diǎn)附近開始出現(xiàn)，并且逐漸向內(nèi)“污染”。隨著分解的進(jìn)行，誤差不停積累，導(dǎo)致IMF從高頻到低頻的發(fā)散程度越來越嚴(yán)重，甚至可能無法正確的提取出低頻信號。如果信號的端點(diǎn)也是上、下包絡(luò)線的端點(diǎn)，邊界效應(yīng)即可大大減輕。余弦窗窗函數(shù)在保證中心點(diǎn)附近有用信號的特征時，使得端點(diǎn)趨近于0，進(jìn)而使得上下包絡(luò)線收斂于端點(diǎn)，有效地抑制了邊界發(fā)散現(xiàn)象。

為防止加窗改變原始信號，首先，采用波形特征匹配延拓方法，將信號延拓一定的數(shù)據(jù)長度。由于波形特征匹配延拓方法兼顧了原始極值點(diǎn)和非極值點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以使得延拓數(shù)據(jù)與原始信號交界處的比較光滑，進(jìn)而避免了加窗引起的原始頻譜泄漏以及邊界瞬時頻率的跳躍。波形特征匹配延拓通過采用原始信號內(nèi)部和邊界處變化趨勢最為相似的子波來對端點(diǎn)處數(shù)據(jù)進(jìn)行延拓，是一種自適應(yīng)的方法。在具體實現(xiàn)中，通過計算波形匹配來量化兩端波形的變化趨勢。

如圖1所示，以左邊界第一個極值點(diǎn)為極大值為例，mi、ni（n＝1，2，3，…）分別為曲線的極大值、極小值點(diǎn)，分別對應(yīng)時間tmi、tni，a1為左端點(diǎn)，波形特征匹配延拓法以a1－m1－n1為邊界特征波形，在全部數(shù)據(jù)中找到與a1－m1－n1構(gòu)成的三角形最接近的波形為匹配波形，如ai－mi－ni，從ai的前一點(diǎn)（右邊界為后一點(diǎn)）數(shù)據(jù)開始，向前（右邊界向后）延拓波形數(shù)據(jù)，使延拓數(shù)據(jù)符合信號的自然走向。

圖1 波形特征匹配原理圖Fig.1 Diagram ofwave characteristicmatching

其次，為降低窗函數(shù)帶來的誤差，改進(jìn)方法設(shè)計窗函數(shù)的寬度為可調(diào)。逐層提取IMF前，根據(jù)邊界發(fā)散的程度，在信號兩端加上可調(diào)的余弦窗函數(shù)，使得包絡(luò)線沿著正確的方向延展，提高了IMF的分解精度。

可變余弦窗函數(shù)定義為：

式中：L為信號延拓后的長度，ΔT為控制窗體中間部分時間范圍的可變參數(shù)，它根據(jù)信號的改變而改變。由于邊界發(fā)散程度是隨著IMF的增加而不斷增加的，根據(jù)篩選不同IMF前信號的發(fā)散程度而選取不同的值選取ΔT的大小。由圖2可見，在窗函數(shù)的中部，其幅值等于1，而在窗函數(shù)的兩端幅值逐漸衰減，直至窗函數(shù)的2個端點(diǎn)處幅值減至為0。寬度可調(diào)的余弦窗函數(shù)能夠較準(zhǔn)確地將延拓誤差控制在信號兩端，抑制邊界的發(fā)散，實現(xiàn)算法的改進(jìn)。

圖2 可變余弦窗函數(shù)示意圖Fig.2 Variable cosine window function diagram

基于延拓和可變余弦窗的EMD改進(jìn)方法的步驟如下：

（1）對原始信號x（t）進(jìn)行延拓，加一定ΔT的余弦窗ω（t）。將延拓信號x′（t）與余弦窗函數(shù)進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，得到信號y（t）＝［x′（t），ω（t）］，確定處理信號y（t）的所有極值點(diǎn)。

（2）求由局部極大值點(diǎn)和局部極小值點(diǎn)確定的上包絡(luò)線和下包絡(luò)線，Lmax（t）和Lmin（t）。

（3）計算包絡(luò)線均值

a（t）＝（Lmax（t）＋Lmin（t））／2（2）

（4）求出h（t）＝y(tǒng)（t）－a（t）。

（5）如果h（t）不滿足IMF條件，重復(fù)上面循環(huán)；如果h（t）是一個IMF，將信號f（t）＝x（t）－a（t）作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)上面的循環(huán)，此時窗函數(shù)ΔT根據(jù)發(fā)散程度而改變。

當(dāng)f（t）成為一個單調(diào)函數(shù)不能再從中提前出滿足IMF條件的分量時，循環(huán)結(jié)束。這樣就得到：

（6）對式（3）中的每一個本征模函數(shù)ci（t）作Hilbert變換，得到Hilbert譜及其邊際譜。

2 端點(diǎn)效應(yīng)的評價指標(biāo)

（1）主觀評價通過觀察信號分解結(jié)果的發(fā)散程度，主觀判斷邊界效應(yīng)對于EMD結(jié)果的影響程度。

（2）相關(guān)系數(shù)對于仿真信號，一般有理論可以參照，邊界效應(yīng)的影響也容易評估。利用相關(guān)系數(shù)作為參數(shù)指標(biāo)，可表征EMD分解結(jié)果與理想分解結(jié)果的接近程度，其基本原理如下［10］：

設(shè)a（n）、b（n）是兩個能量有限的確定性信號，并假定它們是因果的，則定義

由上式可知，當(dāng)a（n）＝b（n）時，rab＝1，則表明兩個信號完全相關(guān)；當(dāng)a（n）與b（n）完全不相關(guān)時，rab，當(dāng)a（n）與b（n）有某種程度相似時，0＜｜rab｜＜1。因此，rab可以用來描述a（n）與b（n）之間的相似程度。

（3）能量角度邊界效應(yīng)會使IMF總能量會相應(yīng)增加，因此可以比較EMD分解前后的能量來評估邊界效應(yīng)的影響程度。

原始信號和EMD得到的IMF的均方根有效值計算公式為：

式中：RMS為信號有效值，u（n）為信號序列，n為信號的采樣點(diǎn)數(shù)。

定義評價指標(biāo)θ

式中：RMSorginal原始信號有效值，RMSi為第i個IMF的有效值，n為IMF總個數(shù)。如果θ＝0，說明沒有邊界效應(yīng)，θ值越大說明邊界效應(yīng)的影響越大。

3 仿真實驗

仿真信號的表達(dá)式：

x（t）＝sin（2π×f1t）＋sin（2π×f2t）＋0.02sin（2π×f3t）（7）

式中：f1＝200 Hz，f2＝100 Hz，f3＝50 Hz，采樣頻率為2 000Hz。信號由三個正弦信號組成，低頻信號比較微弱。仿真信號中由幾個正弦諧波分量組成，呈現(xiàn)出一定的周期性。EMD分解過程實質(zhì)是將信號不斷平穩(wěn)化的過程，最終將信號分解為滿足一定條件的有限個IMF組，每一個IMF在局部吻合標(biāo)準(zhǔn)的正弦曲線，而且不同的IMF分量包含了不同的特征時間尺度。

如圖3所示，分解時沒有對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行任何處理。信號x（t）分解出來的3階IMF都有一定程度的邊界效應(yīng)，而且邊界發(fā)散程度逐漸增加，尤其是IMF3分量，已經(jīng)無法表達(dá)出原信號中的低頻小能量成分。

對原始信號進(jìn)行延拓，如圖4所示，對延拓后的信號進(jìn)行EMD處理，得到圖5，由圖可以看出延拓后的數(shù)據(jù)仍然存在邊界發(fā)散現(xiàn)象，尤其對于低頻小能量的微弱信號尤為嚴(yán)重。將延拓信號x（t）與余弦窗函數(shù)進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，得到信號y（t）＝［x（t），ω（t）］。

圖3 未處理的EMD分解結(jié)果圖Fig.3 Untreated EMD decomposition resultsmap

圖4 延拓后的信號Fig.4 Continuation signal

圖5 延拓后的EMD分解Fig.5 The continuation EMD decomposition

圖6為不同窗函數(shù)對應(yīng)篩選不同IMF前的加窗結(jié)果，圖6（a）中ΔT分別為43，80，110，逐層分解IMF前的加窗結(jié)果如圖6（b）－（d）。從圖中可以看出，信號兩端的發(fā)散現(xiàn)象都得到了較好的抑制。圖7為改進(jìn)算法對信號x（t）分解截取有效數(shù)據(jù)與理想值的比較結(jié)果，由圖中可以看出，3個IMF分量包括低頻微弱信號被有效地分離出來，并且邊界效應(yīng)得到了很好的抑制。

圖6 窗函數(shù)和加窗結(jié)果Fig.6 Window function and window results

圖7 改進(jìn)算法的分解結(jié)果Fig.7 Decomposition results of improved algorithm

圖8、9分別是信號x（t）未經(jīng)過處理和用改進(jìn)方法得到的Hilbert譜及其邊際譜圖。由圖8可以看出，未處理的Hilbert譜在信號兩端有比較嚴(yán)重的發(fā)散現(xiàn)象，而且發(fā)散程度從高頻到低頻逐漸增加，而通過本文方法處理后的Hilbert譜效果有明顯的改善，同時低頻分量的頻率和幅值也顯示出來。從圖9中也能清楚地看到未經(jīng)過處理的圖像兩端有很多離散的能量，而處理后的圖像兩端能量就相對集中，信號失真情況有明顯改善。圖9（a）中的幅值顯示明顯有很多微弱振蕩，尤其是在低頻部分出現(xiàn)了虛假成分。通過邊界效應(yīng)處理后得到的邊界譜（b）中，幅值振蕩基本消除，信號所包含的3個頻率成分準(zhǔn)確地顯示出來。

圖8 三維Hilbert譜對比圖Fig.8 Comparison of three dimensional Hilbert spectroscopy

圖9 邊際譜對比圖Fig.9 Comparison ofmarginal spectrum

觀察信號分解結(jié)果的的發(fā)散程度，可以看出改進(jìn)的方法有效地抑制了邊界發(fā)散現(xiàn)象。同時表1給出了未處理方法和改進(jìn)算法的邊界效應(yīng)的性能評價，包括IMF分量與理想分量的相關(guān)性，以及EMD分解前后的能量對比參數(shù)θ值。相關(guān)系數(shù)r越接近于1，表明得到的結(jié)果越接近理想的分解結(jié)果。θ越小，表明虛假成分越少以及IMF分量的發(fā)散程度越小，邊界效應(yīng)的影響越小。從表1中可以看出未處理的EMD方法篩選出的IMF3與理想值基本上不相關(guān)，無法正確表達(dá)原信號中的低頻小能量成分。而用改進(jìn)算法的分解后，IMF1和IMF2與理想值的相關(guān)度提高，IMF3的rab也接近1，證明分解結(jié)果非常接近理想的分解結(jié)果，同時改進(jìn)的算法使得θ值大大降低，說明邊界效應(yīng)減小，驗證了改進(jìn)算法的有效性。

表1 未處理的EMD算法以及改進(jìn)算法的邊界效應(yīng)評價表Tab.1 Boundary effect evaluation of untreated EMD algorithm and an im proved algorithm

4 實例分析

將本文提出的EMD改進(jìn)算法應(yīng)用于橫向裂紋故障信號的特征提取及診斷。由于裂紋故障信號包含信號的特征頻率及其倍頻成分，具有周期性，進(jìn)而使得每個IMF分量趨近于正弦曲線，便于觀察IMF的發(fā)散程度。另外，信號內(nèi)部的周期性，使得本文提出的方法更具優(yōu)勢，這種規(guī)律使我們在尋找與邊緣處波形相似的子波更加容易，減小了因為延拓產(chǎn)生的誤差。圖10是一個含橫向裂紋故障轉(zhuǎn)子的振動信號，轉(zhuǎn)速為480 r／min。

圖11是未處理算法分解結(jié)果，前3個分量中IMF1是噪聲信號，IMF2、IMF3是含有裂紋故障特征的轉(zhuǎn)子振動信號。從分解圖中可以看出，分量兩端存在發(fā)散現(xiàn)象，破壞了信號的規(guī)律性，并且隨著分解層次的增加，發(fā)散現(xiàn)象越明顯。

圖10 轉(zhuǎn)子裂紋的實際信號Fig.10 The actual signal of rotor crack

圖11 未處理的EMD分解結(jié)果Fig.11 Untreated EMD decomposition results

根據(jù)觀察IMF兩端發(fā)散的程度，確定窗函數(shù)的寬度，使得信號的兩端幅值逐漸衰減，直至歸為0，進(jìn)而抑制信號邊界發(fā)散現(xiàn)象。圖12是對原始信號延拓后，逐層提取IMF分量之前，加可調(diào)余弦窗的結(jié)果。圖12（a）中窗函數(shù)的ΔT分別為43，53，63。圖12（b）～（d）分別是所加的窗函數(shù)及加窗后效果。

圖13為改進(jìn)算法的分解結(jié)果，對比圖11、圖13可以看出，IMF2與IMF3的邊界發(fā)散現(xiàn)象得到了很好的改善，各個分量的規(guī)律性也更明顯。同時，從能量角度判定邊界效應(yīng)度的θ值由0.004 3減小為0.000 724，說明了改進(jìn)算法的有效性。

圖14為改進(jìn)前后信號的Hilbert譜，圖15為信號的Hilbert邊際譜。比較圖14，改進(jìn)后的Hilbert譜的邊界發(fā)散現(xiàn)象得到了抑制，信號的的能量也相對集中。比較圖15，改進(jìn)后的邊際譜幅值微弱振蕩基本消除，且2倍頻分量得到了突出，其調(diào)頻現(xiàn)象更加的突出。特征頻率和2倍頻的存在，是橫向裂紋故障的特征，但是與不對中故障區(qū)分不明顯。

圖12 加可調(diào)余弦窗的結(jié)果Fig.12 Adjustable cosine window results

圖13 改進(jìn)算法的分解結(jié)果Fig.13 decomposition results of improved algorithm

圖14 改進(jìn)前后的Hilbert譜對比圖Fig.14 Comparison of Hilbert spectrum before and after improvement

為進(jìn)一步說明設(shè)備存在的是橫向裂紋故障，采集一組高轉(zhuǎn)速下的數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)速為900 r／min。如圖16所示，該組數(shù)據(jù)為單模態(tài)分量。圖17為原始數(shù)據(jù)的Hilbert譜?？梢钥闯鲚^高轉(zhuǎn)速下的軸頻信號產(chǎn)生了頻率調(diào)制，其調(diào)制頻率與軸頻相同，由此現(xiàn)象可作為轉(zhuǎn)子橫向裂紋故障的評判依據(jù)。根據(jù)以上分析，診斷該轉(zhuǎn)子的故障為裂紋故障，同時驗證了改進(jìn)算法的有效性。

圖15 改進(jìn)前后的邊際譜對比圖Fig.15 Comparison ofmarginal spectrum before and after improvement

圖16 高轉(zhuǎn)速下的振動信號Fig.16 High speed vibration signal

圖17 振動信號的Hilbert譜Fig.17 Hilbert spectrum of vibration signal

5 結(jié) 論

本文提出了一種延拓與可變余弦窗相結(jié)合的抑制經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解邊界效應(yīng)的新方法。該方法先將信號延拓處理，根據(jù)信號的發(fā)散程度，逐層提取IMF之前，在信號兩端加上寬度可變的余弦窗函數(shù)，使得包絡(luò)線沿著正確的方向延展。由于窗函數(shù)的寬度設(shè)計為可以調(diào)節(jié)，使得每一個IMF分量邊界發(fā)散問題最小化，降低了窗函數(shù)帶來的誤差，提高了IMF的分解精度。通過仿真實驗改進(jìn)算法與未經(jīng)處理EMD算法的分解結(jié)果對比，可以看出改進(jìn)算法使得邊界效應(yīng)得到了很好的抑制。另外利用邊界效應(yīng)性能評價指標(biāo)分析了改進(jìn)算法的分解結(jié)果，同樣得出了改進(jìn)算法抑制邊界效應(yīng)的有效性。EMD改進(jìn)算法在故障信號特征提取中的應(yīng)用實例，說明了改進(jìn)方法能夠有效地提取出故障信號的特征信息。

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Improved algorithm against end effect of EMD based on extension and variable cosine w indow

DING Xue-juan，SHIPei-ming
（College of Electrical Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China）

For the end effect of empirical mode decomposition（EMD）keeping pace with increase in filtering level，a new improved method using a combination of extension and variable cosine window was proposed.Firstly，the signalwas extended with a certain length of data.Then，the extended signal was processed at both ends with variable cosine window before extracting every intrinsicmodel function（IMF）tomake the end effect of each IMFminimized and to ensure the correct decomposition and the improvement of the EMD algorithm.Simulation analysis and crack fault diagnosis examples showed that the proposedmethod can inhibit end effects effectively.

signal processing；EMD；end effect；variable cosine window

TH165；TN911

A

國家自然科學(xué)基金（51005196）；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項科研基金（20101333120004）

2013－01－17 修改稿收到日期：2013－03－23

丁雪娟女，碩士生，1986年生