鄭 鑫，陶夏新，王福彤，3，謝禮立

（1.中國地震局工程力學(xué)研究所，哈爾濱 150080；2.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)工程學(xué)院，大慶 163319；3.黑龍江大學(xué)建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

軌道交通地面振動衰減關(guān)系中局部放大現(xiàn)象形成機(jī)理研究

鄭 鑫1，2，陶夏新1，王福彤1，3，謝禮立1

（1.中國地震局工程力學(xué)研究所，哈爾濱 150080；2.黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)工程學(xué)院，大慶 163319；3.黑龍江大學(xué)建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

為了研究城市軌道交通引起的環(huán)境振動豎向位移衰減關(guān)系中局部放大現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理，將場地簡化為彈性半空間單一覆蓋層模型，采用傳遞矩陣法推導(dǎo)了頻率波數(shù)域三維層狀場地豎向位移的動力格林函數(shù)。通過七個半空間與覆蓋層的模量比，四個覆蓋層厚度，七個激勵頻率，三個覆蓋層阻尼比等諸多因素對局部放大影響的分析，結(jié)果表明局部放大受埋藏的主要速度界面控制，局部放大區(qū)的位置和放大的強(qiáng)度與該界面兩側(cè)的模量比（波阻抗比）、覆蓋層厚度、激勵的頻率及覆蓋土層的阻尼比等因素有關(guān)。一般來說，速度界面的波阻抗越大，局部放大越強(qiáng)烈；給定其他條件，使直達(dá)的表面波與半空間表面折射波越接近同時到達(dá)的覆蓋層厚度使局部放大越為明顯，使兩者波峰越靠近的激勵頻率會引起更為明顯的局部放大；覆蓋層阻尼比越小，局部放大越強(qiáng)烈。

軌道交通；環(huán)境振動；衰減關(guān)系；局部放大；傳遞矩陣法

一般而言，由于能量的擴(kuò)散以及土層對振動能量的耗散，軌道交通的環(huán)境振動的強(qiáng)度在傳播過程中會不斷衰減。不同類型的振源，不同的振動方向，不同的傳播方向以及不同的土層結(jié)構(gòu)和介質(zhì)參數(shù)，對振動衰減的影響不盡相同。許多文獻(xiàn)都研究了軌道交通環(huán)境振動隨距離衰減的一般規(guī)律［1］，一些觀測數(shù)據(jù)也顯示在一定的距離上衰減會變緩，不衰減，甚至距離增加而略有放大，為便于敘述，本文統(tǒng)稱為“局部放大”。為了解釋局部放大產(chǎn)生的機(jī)理，王逢潮等［2］建立了列車－軌道和路基－土層－建筑物的二維動力相互作用分析模型，用有限元法計算了列車運行引起的振動在土層中的傳播特性及對鄰近建筑物的影響，表達(dá)了可以模擬振動中的局部放大區(qū)，算例的結(jié)果表明地面豎向振動加速度衰減的第一個局部放大區(qū)在距軌道約60 m處，列車運行速度對局部放大區(qū)的位置影響不明顯。Fujikake等［3］認(rèn)為這種地面振動強(qiáng)度的局部放大，是由于振源激勵的頻率與傳播介質(zhì)土層固有頻率相近發(fā)生共振現(xiàn)象，或者土層下面存在堅硬的基巖、波在基巖表面反射使地表振動放大。陳建國等［4］介紹了北京地鐵5號線高架橋上列車運行引起地面振動的觀測結(jié)果，指出在距離軌道15 m處振動有明顯的局部放大，且振動強(qiáng)度越大，局部放大越明顯。

本文采用頻率－波數(shù)域的動力格林函數(shù)方法，計算均布矩形簡諧荷載作用下彈性半空間單一覆蓋層模型表面豎向振動位移幅值，觀察是否可以表現(xiàn)出局部放大的現(xiàn)象。通過在一定范圍內(nèi)變動模型的各主要參數(shù)值，比較分析對局部放大的影響，探討城市軌道交通環(huán)境振動衰減局部放大的形成機(jī)理。

1 用頻率－波數(shù)域動力格林函數(shù)法計算三維層狀場地豎向位移

動力格林函數(shù)定義為在層狀半空間表面的單位簡諧荷載激勵下地表位移反應(yīng)的幅值。借助格林函數(shù)，通過積分手段可以求解任意荷載作用下地表豎向位移的反應(yīng)。

彈性半空間上覆n層水平彈性層組成模型，如圖1所示；從上到下順序編號為第1，2，3，…，n層，下臥彈性半空間為第n＋1層；z坐標(biāo)軸豎直指向下方，整體坐標(biāo)原點位于地表，每一土層的局部坐標(biāo)原點位于各層的上表面。

Sheng等［5］借助傳遞矩陣法給出了層狀半空間頻率－波數(shù)域動力格林函數(shù)的推導(dǎo)思路和結(jié)果。層狀半空間頻率－波數(shù)域位移解和應(yīng)力解，可以合寫為如下矩陣形式。

圖1 計算采用的層狀半空間模型Fig.1 Layered half-spacemodel for the analysis

其中：S（β，γ，z）稱為狀態(tài)向量，

積分常數(shù)向量：

矩陣：

對角陣

設(shè)第1，2，…，n層的厚度分別為h1，h2，…，hn，第j層上表面的局部坐標(biāo)zj＝0，則下表面的zj＝hj。為敘述方便，將各層上下表面的狀態(tài)向量、位移向量和應(yīng)力向量分別做如下簡記：

上表面zj＝0，則式（1）可以表達(dá)為：

下表面zj＝hj，可以寫出：

從式（10）可知，每層下表面的狀態(tài)向量可用該層上表面狀態(tài)向量計算得到。沿用Haskell-Thomson定義，Tj稱為第j層上下表面間的傳遞矩陣。

借助每一界面上下的層間應(yīng)力和位移的連續(xù)性條件，即S1，1＝S2，0，S2，1＝S3，0，…，Sn－1，1＝Sn，0，第n層下表面的狀態(tài)向量可以寫為：

其中：矩陣T＝TnTn－1…T1為全體覆蓋層總的傳遞矩陣，分解為子矩陣形式：

式（11）可進(jìn)一步表示為：

在第n＋1層的半空間中，當(dāng)z→∞時位移趨近于0，必有A1＝A2＝A3＝0，bn＋1＝（B1，B2，B3）T。矩陣An＋1成為6×3階，能夠分解為：

表面的狀態(tài)向量：

可寫為：

消去bn＋1，得到：

由第n層和第n＋1層的連續(xù)關(guān)系可得：

對于ω＝0的靜力條件，只須把其中的A矩陣、D向量以及指數(shù)ξ1替換為相應(yīng)的靜力條件下的A矩陣、D向量以及指數(shù)ξ即可，得到的矩陣表達(dá)式的形式與式（21）完全相同。下臥半空間A矩陣的兩個子矩陣分別為：

將式（25）展開：

式（27）即為地表作用豎向激勵，在頻率－波數(shù)域，層狀半空間表面豎向反應(yīng)位移幅值與激勵幅值之間的關(guān)系式，其中為層狀半空間頻率－波數(shù)域動力柔度矩陣中的第3行第3列，即本文所稱頻率－波數(shù)域的動力格林函數(shù)。

2 四個場地算例的驗證

從相對簡單的模型入手，采用彈性半空間單一覆蓋層模型，激勵采用均布矩形簡諧荷載，如圖2所示。矩形荷載比圓形荷載更符合城市軌道交通輪軌接觸的實際情況。荷載的空間域表達(dá)式為：

變換到波數(shù)域：

代入到式（27）可求得地表豎向位移頻率－波數(shù)域響應(yīng)，再經(jīng)逆Fourier變換，即可獲得空間域的反應(yīng)幅值。

圖2 地表激勵采用的矩形簡諧荷載Fig.2 Rectangular harmonic load on ground adopted for excitation

彈性半空間單一覆蓋層模型參數(shù)值列于表1，以下稱為局部算例。Jones等［6］曾采用剛度矩陣方法求解層狀半空間在矩形簡諧荷載激勵的反應(yīng)，此處采用了該算例中所取的a＝0.3 mm，荷載合力1N，即p0＝1／（4a2）N，荷載頻率為64 Hz。按照表1所列參數(shù)的不同組合，Jones等分析了4個場地模型，本文上述彈性半空間單一覆蓋層模型，與文獻(xiàn)［6］中的場地模型3完全相同。場地模型1為均質(zhì)半空間，參數(shù)值同表1中下臥半空間的；場地模型2亦為均質(zhì)半空間，參數(shù)值取表1中彈性覆蓋層的；場地模型4與場地模型3的區(qū)別僅在于下臥半空間取為剛性。

表1 場地模型參數(shù)Tab.1 Parameters of the ground model

分別對4個場地模型，計算得到的表面沿x＝0（與軌道延長線垂直）的直線上不同距離點的豎向位移值，連成的振動幅值衰減曲線，如圖3所示；其中，實線為本文利用前述頻率－波數(shù)域的動力格林函數(shù)法計算的結(jié)果，虛線為文獻(xiàn)［6］的相應(yīng)計算結(jié)果。從圖中可見，4個場地模型得到的結(jié)果均與文獻(xiàn)［6］的結(jié)果符合得很好，驗證了本文動力格林函數(shù)的推導(dǎo)和編程是可靠的。在距離10 m處，場地模型3和場地模型4的結(jié)果中均表現(xiàn)出局部放大，模型4的結(jié)果中在17 m處有更為明顯的局部放大，說明本文上述方法是可以表達(dá)適當(dāng)?shù)臈l件下振動衰減中局部放大現(xiàn)象的。

3 局部放大的影響因素和機(jī)理論證

3.1 速度界面波阻抗比的影響

從圖3中可以清楚地看出，模型1和模型2描述的均質(zhì)半空間的結(jié)果都沒有振動衰減的局部放大現(xiàn)象，表明局部放大應(yīng)該與場地的速度結(jié)構(gòu)有關(guān)，一個波阻抗很大的速度界面的存在應(yīng)該是控制性因素。兩個單一覆蓋層彈性半空間模型的結(jié)果均顯示出局部放大現(xiàn)象，進(jìn)一步證實了這一判斷，并且表明速度界面的波阻抗越大，局部放大越明顯。

圖3 沿x＝0的直線上地表豎向位移幅值的衰減Fig.3 Attenuation of vertical displacement amplitudes along the line with x＝0

為了進(jìn)一步驗證這一結(jié)論，考察波阻抗比對局部放大區(qū)的位置的影響，選七個半空間與覆蓋層的模量比E1／E2的值1、5、6、7、8、9和10，其他參數(shù)值同基本算例，分別計算地表豎向振動幅值隨距離的變化，結(jié)果如圖4所示。據(jù)定義，波阻抗為密度和波傳播速度的乘積，彈性模量為密度與速度平方的乘積，因此不同的模量比對應(yīng)不同的波阻抗比［7］。從圖中可見，模量比為1，相當(dāng)于均勻半空間，沒有振動衰減的局部放大的現(xiàn)象；模量比達(dá)到5以上，局部放大就很明顯了，確實有速度界面的波阻抗越大，局部放大越強(qiáng)烈的現(xiàn)象。結(jié)果表明，主要速度界面的波阻抗比是形成、控制局部放大的重要因素。在給定覆蓋層厚度為7 m的條件下，局部放大區(qū)的形態(tài)隨模量比的變化呈現(xiàn)一定的規(guī)律?？雌饋碛袃蓚€大體相連的區(qū)，模量比等于5，近處的局部放大區(qū)明顯，最大值在16 m處；隨著模量比進(jìn)一步增大，近處的放大逐漸減弱，相對遠(yuǎn)處的放大逐漸增強(qiáng)，且最大值對應(yīng)的距離也逐步從21 m移向18.5 m。

3.2 覆蓋層厚度的影響

覆蓋層的厚度也是場地的速度結(jié)構(gòu)的一個方面。為了考察覆蓋層厚度對局部放大的影響，保持基本算例其他參數(shù)不變，僅變動表1中彈性層的層厚，取3、5、7和9 m四個值，分別計算地表豎向振動幅值隨距離的變化，結(jié)果如圖5所示。從圖中可見，覆蓋層3 m厚的結(jié)果中10m和17m兩個局部放大區(qū)很明顯；隨著覆蓋層厚度增大，局部放大區(qū)逐漸靠近振源，覆蓋層5 m厚的結(jié)果中局部放大的峰值在12.5 m處，覆蓋層9m厚的在8 m處；局部放大的強(qiáng)度以覆蓋層5 m厚的為最大，進(jìn)一步增大厚度，局部放大趨向減弱，厚度9 m以上就不明顯了。

圖4 用7種模量比的模型計算的豎向位移衰減Fig.4 Attenuation of vertical ground displacement from modelswith 7 modulus ratios

圖5 四種覆蓋層厚度對豎向位移衰減的影響Fig.5 Attenuation of vertical ground displacement from modelswith 4 thickness of overburden layer

從波傳播的角度分析，激勵的波向各個方向散射，在埋藏的速度界面處產(chǎn)生透射、反射和折射。三者的能量取決于入射到界面的角度和界面兩側(cè)的波速比。彈性半空間的波速大于覆蓋層波速，入射角大到一定程度（稱為臨界角）會使折射角增大到90°，波的能量沿界面“滑行”，不能透射進(jìn)入半空間；滑行波以半空間的波速傳播，產(chǎn)生進(jìn)入覆蓋層的“折射波”，如圖6所示。當(dāng)折射上來的波（傳播途徑長，但有一段傳播的速度快）與沿地表傳播過來的表面波（傳播路徑短，但表面波的速度低于覆蓋層剪切波的）同時達(dá)到時，波的疊加就會形成局部放大。

圖6 全反射時反射波、滑行波及折射波路徑圖Fig.6 Wave path chart of reflected wave，slide wave and refraction wave when total reflections occur

上述臨界角可按斯奈爾定律計算，在本文基本算例中，

即相應(yīng)的臨界角θc＝34.65°。覆蓋層厚度取7 m，可計算得到可能的一個局部放大區(qū)在9.7 m處，與圖3中所示距離10 m左右的局部放大區(qū)范圍大體相符合。據(jù)常用的表面波的波速取為剪切波速的0.8倍，計算得到直達(dá)的表面波與半空間表面折射波同時到達(dá)地表的點距振源中心16.9 m，與圖3中所示距離17 m左右的第二個局部放大區(qū)范圍吻合。

本文結(jié)果與上述簡單的波傳播分析相一致，對軌道交通環(huán)境振動衰減的局部放大形成合理的解釋，亦從一個側(cè)面驗證了本文采用的頻率－波數(shù)域的動力格林函數(shù)方法計算軌道交通環(huán)境振動的可靠性。

3.3 激勵頻率的影響

為了考察激勵頻率對局部放大的影響，保持基本算例其他參數(shù)不變，僅變動簡諧荷載頻率，取16 Hz、48 Hz、56 Hz、64 Hz、72 Hz、80 Hz及108 Hz等7個值，分別計算地表豎向振動幅值隨距離的變化，結(jié)果如圖7所示。

從圖7中可以看出，48 Hz激勵下局部放大最顯著，隨著激勵頻率的增加，局部放大逐漸減弱，達(dá)到108 Hz時，放大就不明顯了。與此對應(yīng)，激勵頻率低到16 Hz時，也沒有局部放大了。本算例覆蓋層的剪切波波速相當(dāng)于263.36 m／s，對應(yīng)的表面波波速為210.69 m／s，與48 Hz頻率對應(yīng)的剪切波和表面波的波長應(yīng)分別為5.49 m、4.39 m，可粗略估算在距離9.7 m處直達(dá)表面波約有2.2個波長、折射波3.1個波長，大體是波峰疊加的位置。據(jù)頻率與波長的關(guān)系可知，激勵16 Hz對應(yīng)的則是0.73和1.03個波長，使波峰相差更大，其他頻率的激勵亦有類似的組合。

?圖7 7種不同激勵頻率對豎向位移衰減的影響Fig.7 Attenuation of vertical ground displacement from excitationswith 7 frequencies

3.4 覆蓋土層阻尼比的影響

為了考察覆蓋土層阻尼比對局部放大的影響，保持基本算例其他參數(shù)不變，僅變動覆蓋層的阻尼比，取0.025和0.1兩個不同的值，分別計算地表豎向振動幅值隨距離的變化，結(jié)果如圖8所示。為了比較，圖中也表示了基本算例中覆蓋層阻尼比為0.05的結(jié)果。

圖8 3種覆蓋層阻尼比對豎向位移衰減的影響Fig.8 Attenuations of vertical ground displacement from 3 damping ratios of the overburden layer

從圖8可以看出，覆蓋層阻尼比變化對局部放大區(qū)形成影響較大，阻尼小，局部放大強(qiáng)烈；隨著覆蓋層阻尼比增大，局部放大漸弱，表明覆蓋層的耗能可以折減一部分局部放大。

4 結(jié) 論

城市軌道交通的環(huán)境振動衰減中的局部放大區(qū)是由表面波傳播過程中與埋藏基巖頂面的反射波、折射波疊加形成的。本文采用頻率－波數(shù)域的動力格林函數(shù)法計算地表激勵下單一覆蓋層－半空間表面的豎向位移，是可以表達(dá)振動衰減的局部放大的。結(jié)果表明，局部放大的條件受埋藏的主要速度界面控制，局部放大區(qū)的位置和放大的強(qiáng)度與單一覆蓋層和彈性半空間介質(zhì)的模量比（波阻抗比）、覆蓋層厚度、激勵的頻率及覆蓋土層的阻尼比等因素有關(guān)。一般來說，速度界面的波阻抗越大，局部放大越強(qiáng)烈；給定其他條件，使直達(dá)的表面波與半空間表面折射波越接近同時到達(dá)的覆蓋層厚度使局部放大越為明顯，使兩者波峰越靠近的激勵頻率會引起更為明顯的局部放大；覆蓋層阻尼比越小，局部放大越強(qiáng)烈。

［1］Sheng X，Jones C JC，PetytM.Ground vibration generated by a load moving along a railway track［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，228（1）：129－156.

［2］王逢朝，夏 禾，吳 萱.列車振動對環(huán)境及建筑物的影響分析［J］.北方交通大學(xué)學(xué)報，1999，23（4）：13－17.

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［3］Fujikake T.A predictionmethod for the propagation of ground vibration from railway trains［J］.Journal of Sound and Vibration，1986，111（2）：289－297.

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CHEN Jian-guo，XIA He，YAO Jin-bao.Test for environment vibration induced by trains on vioduct［J］.Journal of Vibration and Shock，2011，30（2）：159－163.

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［6］Jones D V，Houedec D L，PetytM.Ground vibrations due to a rectangular harmonic load［J］.Journal of Sound and Vibration，1998，212（1）：61－67.

［7］廖振鵬.工程波動理論導(dǎo)論（第二版）［M］.北京：科學(xué)出版社，2002.

Mechanism of local amplification in attenuation of ground vibration induced by rail traffic

ZHENG Xin1，2，TAO Xia-xin1，WANG Fu-tong1，3，XIE Li-li1
（1.Institute of Engineering Mechanics，China Earthquake Administration，Harbin 150080，China；2.School of Engineering，Heilongjiang Bayi Agricultural University，Daqing 163319，China；3.School of Civil Engineering and Architecture，Heilongjiang University，Harbin 150001，China）

In order to investigate the forming mechanism of local amplification in rail traffic-induced ground vibration attenuation，the ground was simplified to be a single soil layer covering on an elastic half-space.Dynamic Green's function of vertical ground displacement of a three-dimensional layered site model was derived in frequency domain.The effects ofmany fators including seven modulus ratios of half space to covering layer，four thicknesses of convering layer，seven exciting frequencies，and three damping ratios of convering layer on local amplification were analyzed.The results showed that local amplification is controlled by an important buried velocity interface，its location and intensity of amplification depend on ratio of elastic moduli of medias in the both sides of the interface，i.e.，impedance ratio，thickness of covering layer，exciting frequency and damping ratio of covering；in general，the larger the impedance of the interface，the stronger the local amplification；giving the other conditions，the closer the directly arriving time of surface wave and the arriving time of refraction wave from the interface which are governed by covering layer thickness，the more obvious the local amplification；the closer the peaks of waves which are governed by exciting frequency，themore obvious the local amplification；the smaller the damping ratio of covering layer，the stronger the local amplification.

rail traffic；environment vibration；attenuation；local amplification；transfermatrixmethod

TB53

A

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究面上項目（12531441）；黑龍江省自然科學(xué)基金面上項目（E201330）

2013－07－16 修改稿收到日期：2013－09－10

鄭 鑫男，博士，副教授，1974年4月生