尹 濤

（武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，武漢 430072）

一種基于信息熵的分布參數(shù)結(jié)構(gòu)傳感器／激勵器優(yōu)化布置方法

尹 濤

（武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，武漢 430072）

針對用基于有限元方法的離散坐標(biāo)體系研究傳感器優(yōu)化布置、所得僅為結(jié)構(gòu)真實(shí)動力響應(yīng)近似解直接影響傳感器優(yōu)化布置結(jié)果問題，提出基于貝葉斯統(tǒng)計系統(tǒng)識別方法與信息熵理論的分布參數(shù)結(jié)構(gòu)傳感器優(yōu)化布置方法。以結(jié)構(gòu)模型修正為目的，用貝葉斯統(tǒng)計系統(tǒng)識別方法識別結(jié)構(gòu)模型參數(shù)最優(yōu)值及不確定性程度，利用信息熵定量表征結(jié)構(gòu)模型參數(shù)識別結(jié)果的不確定性程度；再將傳感器優(yōu)化布置問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)數(shù)值優(yōu)化問題，以傳感器位置為優(yōu)化變量，通過遺傳算法極小化模型參數(shù)識別結(jié)果的不確定性（即信息熵）識別傳感器的最優(yōu)布置位置；獲得最大結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息量，即識別結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的不確定性最小。通過雙墩帶彈性支撐的三跨連續(xù)梁橋數(shù)值仿真研究對該方法進(jìn)行驗證。

傳感器優(yōu)化布置；結(jié)構(gòu)模型修正；貝葉斯統(tǒng)計系統(tǒng)識別方法；信息熵；遺傳算法

傳感器系統(tǒng)是構(gòu)成結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)的關(guān)鍵，傳感器數(shù)目及其布置位置對實(shí)測數(shù)據(jù)的質(zhì)量至關(guān)重要，其直接影響到基于動力測量信息的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的成敗。然而，目前傳感器的布置大多仍基于經(jīng)驗，即通過考慮一系列實(shí)際約束條件來人為確定傳感器布置位置，但這對于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測而言意義不大，因為這樣無法保證所獲得測量信息對于待識別結(jié)構(gòu)建模參數(shù)的敏感性。因此，為保證所選傳感器位置能獲取足夠的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)信息量，有必要開展傳感器的優(yōu)化布置問題研究。

傳感器優(yōu)化布置問題最先可能由Shah和Udwadia［1］在其研究工作中提出。后來，許多學(xué)者相繼研究了基于結(jié)構(gòu)模型參數(shù)及模態(tài)參數(shù)識別的傳感器優(yōu)化布置問題［2－7］。其中，Papadimitriou等［8］首次將信息學(xué)領(lǐng)域中的信息熵概念［9］引入到傳感器優(yōu)化布置問題研究中，用其來定量表征模型參數(shù)識別結(jié)果的不確定性程度，而傳感器的最優(yōu)位置則通過極小化該信息熵指標(biāo)來給出，文章中研究了不同數(shù)量傳感器與識別模態(tài)階數(shù)對結(jié)構(gòu)模型參數(shù)識別結(jié)果不確定性的影響。近來，該方法被Chow等人運(yùn)用到了輸電塔結(jié)構(gòu)模型的傳感器優(yōu)化布置問題研究中［10］。

從目前文獻(xiàn)資料來看，絕大多數(shù)傳感器優(yōu)化布置問題研究均是在有限元方法所建立的離散坐標(biāo)體系基礎(chǔ)上開展的。盡管離散坐標(biāo)系統(tǒng)為分析任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)分析提供了方便，但由于采用有限數(shù)目的位移坐標(biāo)來描述結(jié)構(gòu)體系的運(yùn)動，所獲得的解僅是結(jié)構(gòu)真實(shí)動力特性的近似解［11］。雖然通過增加模型自由度數(shù)目，其分析結(jié)果的精度可獲相應(yīng)提高，然而，傳感器優(yōu)化布置問題屬于結(jié)構(gòu)動力學(xué)反問題范疇，通常需要采用數(shù)值優(yōu)化方法來求解，但其目標(biāo)函數(shù)通常具有高度非線性，求解獲得收斂需要經(jīng)過大量的迭代次數(shù)。增加模型自由度的方式將會使模型變得更復(fù)雜，并導(dǎo)致迭代求解時間花費(fèi)大幅增加；同時，這也將使可布置傳感器的待測自由度數(shù)目顯著增加，更進(jìn)一步地增加計算時間以及求解難度?；谶@種考慮，用于傳感器優(yōu)化布置問題研究的離散坐標(biāo)系統(tǒng)有限元模型網(wǎng)格劃分通常很粗糙，這一方面增加了模型誤差，另一方面也使感器可能布置位置局限于這些間隔較大離散節(jié)點(diǎn)上，且所獲得的傳感器最優(yōu)布置位置與所采用的離散結(jié)構(gòu)模型直接相關(guān)。此外，傳統(tǒng)的基于有限元離散模型的傳感器優(yōu)化布置方法通常采用觀測矩陣（包含若干0和1元素）將模型所有自由度映射到非常有限的測量自由度上，但每種傳感器布置方案均需形成不同的觀測矩陣，計算時間耗費(fèi)較大。由此可見，對于具有典型分布參數(shù)特征的結(jié)構(gòu)體系，采用連續(xù)坐標(biāo)模型來進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置問題研究比采用基于有限元方法的離散坐標(biāo)模型更具優(yōu)勢。

本文在Papadimitriou等［8］研究工作基礎(chǔ)上，發(fā)展了一種基于信息熵和貝葉斯統(tǒng)計系統(tǒng)識別理論的分布參數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的傳感器優(yōu)化布置方法，采用連續(xù)坐標(biāo)結(jié)構(gòu)體系來進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置問題研究。本文方法采用解析公式來構(gòu)建分布參數(shù)結(jié)構(gòu)體系，傳感器布置位置采用連續(xù)坐標(biāo)形式來表征，這也使本文方法與可布設(shè)傳感器的待測自由度數(shù)目無關(guān)。先利用貝葉斯統(tǒng)計系統(tǒng)識別方法構(gòu)建結(jié)構(gòu)模型參數(shù)識別結(jié)果及相應(yīng)不確定性程度的識別體系；再通過信息熵指標(biāo)定量表征該不確定性程度來形成傳感器優(yōu)化布置目標(biāo)函數(shù)；然后將傳感器優(yōu)化布置問題轉(zhuǎn)化為帶約束的連續(xù)數(shù)值優(yōu)化問題，以傳感器位置為優(yōu)化變量，通過二進(jìn)制編碼遺傳算法極小化信息熵指標(biāo)，從而識別傳感器的最優(yōu)布置位置，即獲得最大的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息量；最后，通過一個雙橋墩帶彈性支座的三跨連續(xù)梁橋模型的數(shù)值仿真研究對本文方法進(jìn)行了驗證。

1 理論背景

1.1 貝葉斯統(tǒng)計系統(tǒng)識別理論與信息熵

對于采用參數(shù)向量θ∈RNθ描述其輸入輸出特性的一類參數(shù)化結(jié)構(gòu)模型M（Nθ代表參數(shù)向量θ的維數(shù)），在給定動力測量數(shù)據(jù)D條件下，文獻(xiàn)［12］基于貝葉斯理論發(fā)展了一種可估計參數(shù)集θ均值及相應(yīng)不確定性程度的統(tǒng)計系統(tǒng)識別方法。該方法假定識別誤差同時服從空間和時間上獨(dú)立、以及均值為0方差為σ2的正態(tài)分布，依據(jù)貝葉斯定理，在給定的實(shí)測數(shù)據(jù)D及模型類M條件下，結(jié)構(gòu)模型參數(shù)及其預(yù)測誤差參數(shù)集（θ，σ）的后驗概率密度函數(shù)（PDF）可表示為：

式中：c0表示使公式（1）等號右邊積分為1的常數(shù)。π（θ，σ）表示參數(shù)集（θ，σ）的先驗PDF。No和N分別表示測量點(diǎn)個數(shù)以及與之對應(yīng)的采樣時間點(diǎn)數(shù)。J（θ；D，M）表示實(shí)測響應(yīng)與模型預(yù)測時程響應(yīng)之間的吻合度函數(shù)，即：

依據(jù)全概率定理，結(jié)構(gòu)模型參數(shù)向量θ的后驗邊緣PDF可以通過公式（1）等號兩邊同時對σ進(jìn)行積分得到，即

對于服從均勻分布的先驗PDFπσ（σ），公式（3）等號右邊關(guān)于σ的積分可以計算如下：

式中：NJ＝－（NNo－1）／2。c表示使公式（4）等號右邊在給定積分域上積分為1的常數(shù)。

基于式（4）中計算出的后驗PDF p（θ｜D，M），信息熵提供了結(jié)構(gòu)模型參數(shù)θ估計值不確定性的標(biāo)量量度［8］，即：

式中：Eθ表示關(guān)于參數(shù)θ的數(shù)學(xué)期望值。將式（4）代入式（5），可進(jìn)一步得到：

從式（6）中可以看出，信息熵的數(shù)值大小僅與實(shí)測數(shù)據(jù)D及所采用的模型類M有關(guān)。

為計算式（6）中由數(shù)學(xué)期望所產(chǎn)生的積分，運(yùn)用Laplace漸近展開方法［13］得到信息熵在大量測量數(shù)據(jù)（即N→∞）條件下的漸進(jìn)近似表達(dá)式［14］如下：

1.2 分布參數(shù)結(jié)構(gòu)最優(yōu)傳感器／激勵器布置

作為模型類M中結(jié)構(gòu)參數(shù)θ識別結(jié)果不確定性程度的一個標(biāo)量量度，公式（5）給出的信息熵H（D，M）本質(zhì)上反映了實(shí)測數(shù)據(jù)D中含有用信息量的多少。從該意義上講，傳感器優(yōu)化布置目的就是為了保證實(shí)測數(shù)據(jù)D對于參數(shù)集θ的信息量最大，即表示結(jié)構(gòu)參數(shù)θ能以最小的不確定性被估計出來。換句話說，最優(yōu)傳感器布置方案應(yīng)使信息熵極小化，即通過一個數(shù)值優(yōu)化過程，實(shí)現(xiàn)信息熵相對于傳感器布置位置的極小化。

然而，在進(jìn)行傳感器布置設(shè)計時，由于實(shí)測數(shù)據(jù)D是未知的，因此信息熵H（D，M）中應(yīng)該去掉對實(shí)測數(shù)據(jù)D的顯式依賴。注意到在獲得大量實(shí)測數(shù)據(jù)（N→∞）前提下，將信息熵定義在最優(yōu)模型參數(shù)值θ＾與相應(yīng)最優(yōu)預(yù)測誤差處，可以漸進(jìn)近似地去除其與實(shí)測數(shù)據(jù)的顯式相關(guān)性，但在無實(shí)測數(shù)據(jù)情況下，最優(yōu)模型參數(shù)值與相應(yīng)最優(yōu)誤差估計值同樣也是無法獲知的。為了解決這個問題，文獻(xiàn)［14］建議采用某些能較合理反映系統(tǒng)特性的標(biāo)稱參數(shù)來取代未知的最優(yōu)值。在這種情況下，針對分布參數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，本文提出由公式（7）給出的信息熵可進(jìn)一步表示如下：

式中：δ＝｛δ1，δ2，…，δNo｝T∈RNoND表示傳感器布置向量，其包括所有測點(diǎn)的坐標(biāo)值。det［·］表示對矩陣取行列式運(yùn)算符。對于多輸入多輸出系統(tǒng)，類似地，所有的激勵點(diǎn)坐標(biāo)采用χ＝｛χ1，χ2，…，χNI｝T∈RNIND來表示，NI表示激勵點(diǎn)數(shù)，而δk∈RND（k＝1，2，…，No）與χI∈RND（l＝1，2，…，NI）分別表示第k個測量點(diǎn)與第l個激勵點(diǎn)的無綱量坐標(biāo)。ND表示目標(biāo)結(jié)構(gòu)模型的空間維數(shù)，具體地，ND＝1，2，3分別表示一、二及三維目標(biāo)結(jié)構(gòu)。

經(jīng)推導(dǎo)，公式（8）中的A（θ0，σ＾0；δ，χ，M）可以漸進(jìn)近似為（N→∞）

式中，▽θ＝［?／?θ1，?／?θ2，…，?／?θNθ］T表示相對于參數(shù)集θ的梯度向量。y（n，δk；χ，θ）表示公式（2）中給出的模型計算響應(yīng)向量q（n；θ）的第k個元素，其代表第n個時間步上第k個測量點(diǎn)處所計算的時域響應(yīng)。因此，公式（8）可以進(jìn)一步地表示為：

從上式可以很明顯地看出，極小化信息熵等價于極大化半正定對稱矩陣Q（θ0；δ，χ，M）的行列式。應(yīng)該指出，本文所研究的是沖擊荷載響應(yīng)，若對于環(huán)境激勵的情況，通常無法獲知激勵點(diǎn)位置，因而此時信息熵公式中不再包含荷載位置向量χ。

2 數(shù)值仿真研究

2.1 傳感器／激勵器優(yōu)化布置

為了驗證本文所提出的分布參數(shù)體系傳感器優(yōu)化布置方法在橋梁結(jié)構(gòu)上的應(yīng)用，本文以一個雙橋墩帶彈性支撐的三跨等截面連續(xù)梁橋比例模型為例進(jìn)行驗證，如圖1所示。

圖1 兩橋墩帶彈性支撐的三跨連續(xù)梁橋模型Fig．1 Three-span continuous bridge modelwith elastic supports at two piers

該橋梁模型總長L＝2．3 m，兩邊跨長均L1＝0．65 m，中跨長L2＝1．0 m；主梁截面寬度b＝0．01 m，高度h＝0．02 m，彈性模量E＝5．8×1010N／m2，質(zhì)量密度ρ＝為沿主梁縱向單位長度質(zhì)量；＝EI為主梁抗彎剛度，I為截面慣性矩。設(shè)兩橋墩與橋面聯(lián)接處均布置豎向彈性支座，彈簧剛度k1＝k2＝2．0×106kN／m。為簡便，引入無綱量坐標(biāo)ζ＝x／L，即兩彈性支撐位置分別為ζ1＝L1／L，ζ2＝（L1＋L2）／L。傳感器位置δ與激勵器位置χ均用無綱量坐標(biāo)形式表示。

對該三跨連續(xù)梁橋，擬采用7個無綱量建模參數(shù)θk（k＝1，…，Nθ，Nθ＝7）分別修正全橋各跨的抗彎剛度（DE，0）、全橋單位長度質(zhì)量、兩橋墩處的豎向彈簧剛度以及用于動力響應(yīng)計算的模態(tài)阻尼比（ξD，0），如表1所示。其中以及ξD，0分別表示初始的建模參數(shù)值表示第j個彈性支座的無綱量彈簧剛度。為消除結(jié)構(gòu)對稱性影響，第一跨抗彎剛度取為1．05 DE，0。本算例假定所有階模態(tài)均采用一致的阻尼比。因此，修正后的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為2）以及ξD＝θ7ξD，0。假定模型參數(shù)修正量較小，因此無綱量模型參數(shù)θ的標(biāo)稱值θ0可以取為1，即θ＝ones（Nθ，1）?？紤]單點(diǎn)豎向沖擊荷載作用，采用前4階模態(tài)參數(shù)并運(yùn)用模態(tài)迭加法計算分布參數(shù)系統(tǒng)的加速度時程響應(yīng)，同時假定所有階模態(tài)的阻尼比均取為1%。其中，采樣頻率取為1 000 Hz，采樣時間為0．5 s。

表1 本文算例考慮的模型修正參數(shù)Tab.1 Modeling parameters considered for structuralmodel updating

與傳統(tǒng)基于離散坐標(biāo)體系的傳感器優(yōu)化布置方法不同，本文方法將傳感器優(yōu)化布置問題轉(zhuǎn)化為帶邊界約束的連續(xù)數(shù)值優(yōu)化問題。對于此類優(yōu)化問題的求解，盡管目前存在一些標(biāo)準(zhǔn)的基于梯度信息的數(shù)值優(yōu)化算法，但此類算法容易陷入局部極小，同時也非常依賴于初始解的選取。而基于人工智能的遺傳算法較傳統(tǒng)的基于梯度的優(yōu)化算法具有更強(qiáng)的全局優(yōu)化能力，因此本文選用遺傳算法進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置問題研究。其中，遺傳算法采用二進(jìn)制編碼，單個變量的編碼長度為Nbits，其將求解域等分為2Nbits－1段，或求解精度為1／（2Nbits－1）。通過改變編碼長度，可以直接改變求解域劃分的疏密（也即待布置傳感器位置個數(shù)），這就可以很方便地研究傳感器優(yōu)化布置結(jié)果受待布置位置個數(shù)的影響。值得指出的是，當(dāng)Nbits＝10時，傳感器布置位置精度接近1．0×10－3。

表2表示本文方法所識別出的傳感器與激勵器最優(yōu)布置結(jié)果。其中，分別考慮了3種不同的二進(jìn)制編碼長度（即Nbits＝4、8以及10）以及4種不同的傳感器數(shù)目（NO＝1～4）。從該表中可以很明顯地看出，隨著傳感器數(shù)目逐漸增加，目標(biāo)函數(shù)ln（det Q）值逐漸增加，即信息熵指標(biāo)逐漸降低（根據(jù)公式（10））。這表明增加傳感器數(shù)目可以獲得較大的信息量，從而降低模型參數(shù)識別結(jié)果的不確定性。另外，在模態(tài)疊加法中通過增加更多階的模態(tài)參數(shù)，也將獲取更多的信息，從而減少待識別參數(shù)識別結(jié)果的不確定性，限于篇幅關(guān)系本文未予給出。

從表2中也可以看出，當(dāng)僅使用單個傳感器時，不管Nbits取值如何，識別的最優(yōu)激勵器位置總與傳感器位置相同，該結(jié)論符合Maxwell互易定理。但當(dāng)使用的傳感器數(shù)目多于1個時，所識別的最優(yōu)激勵器位置并不總是包含在最優(yōu)傳感器位置集中。例如，當(dāng)Nbits＝8且考慮2個傳感器時，識別的最優(yōu)激勵器位置為0．1216，其與該工況第1個傳感器最優(yōu)位置相同。當(dāng)NO＝3，即考慮3個傳感器時，所識別的最優(yōu)激勵器位置不變，但是其并不與該工況下任何一個最優(yōu)傳感器位置相重合。另一方面，從表2中還可以看出，考慮n個傳感器時的最優(yōu)傳感器位置集并不一定包含于n＋1個傳感器時的最優(yōu)位置集中。例如，當(dāng)Nbits＝8時，考慮2個傳感器情況下，所識別出的傳感器最優(yōu)位置分別為0．121 6和0．125 5。但當(dāng)考慮3個傳感器時，所識別的最優(yōu)傳感器位置分別是0．125 5，0．129 4和0．603 9，很明顯NO＝2時的最優(yōu)傳感器位置0．1216未被包含NO＝3時的結(jié)果集中。以上結(jié)論與基于有限元方法的離散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所獲得的結(jié)論相吻合［10］。

表2本文方法所識別的傳感器／激勵器最優(yōu)布置位置Tab.2 Optimal sensor and excitation locations identified by the proposed method

此外，從表2中還可以看出，所識別的某些傳感器最優(yōu)位置很接近，尤其是當(dāng)二進(jìn)制編碼位數(shù)取較大值時，例如Nbits＝8和10。以Nbits＝8時的傳感器優(yōu)化布置結(jié)果為例來說明，當(dāng)采用2個傳感器時，傳感器最優(yōu)位置之差約為0．0039；當(dāng)采用3個傳感器時前兩個傳感器的最優(yōu)位置之差也為0．003 9，而4個傳感器情況下前3個之間的距離同樣如此。注意到Nbits＝8時遺傳算法求解精度為1／（28－1），其值約為0．003 9，由此可以推斷，當(dāng)NO＝2、3、4情況下，最優(yōu)位置接近的傳感器之間的布置距離差已達(dá)到當(dāng)前二進(jìn)制編碼長度下的最大分辨率。Nbits＝10時的情況與Nbits＝8時的類似。

2.2 結(jié)構(gòu)建模參數(shù)識別

為了更進(jìn)一步驗證本文方法，在前一階段獲得了傳感器／激勵器最優(yōu)布置之后，此階段基于貝葉斯統(tǒng)計系統(tǒng)識別方法進(jìn)行了橋梁建模參數(shù)及其不確定性識別研究，所考慮的工況如表3所示，并取Nbits＝10。共八種工況，其中，前四種為傳感器／激勵器布置于最優(yōu)位置工況（即為表2中的識別結(jié)果），設(shè)置這四種工況主要是考查傳感器數(shù)目NO對橋梁建模參數(shù)識別結(jié)果不確定性程度的影響。后四種工況為傳感器數(shù)目取4、傳感器／激勵器布置于任意非最優(yōu)位置時的工況，該系列工況主要用以研究傳感器布置位置對于識別結(jié)果不確定性程度的影響。表3考慮的八種工況中，用于計算加速度時程響應(yīng)的控制參數(shù)與傳感器／激勵器優(yōu)化布置階段相一致。

表3 三跨連續(xù)梁橋模型參數(shù)識別中所考慮的傳感器／激勵器布置工況（Nbits＝10）Tab.3 Cases of sensor and excitation locations considered for them odeling parameter identification of the three-span continuous bridgemodel（Nbits＝10）

圖2表示傳感器／激勵器布置于最優(yōu)位置（工況4）與任意位置（如工況4d）時，各測量通道加速度功率譜密度函數(shù)比較，該對比結(jié)果可以定性表征傳感器／激勵器布置位置對于采集信號的影響。對比兩種工況，可以很明顯地看出，傳感器／激勵器布置于最優(yōu)位置時，各測量通道所采集信號的頻率成份均很豐富，即在0到300 Hz的頻帶范圍內(nèi)，均清晰識別出了參與模態(tài)疊加的前4階頻率。而布置于工況4d中的非最優(yōu)位置時，很明顯第2階頻率基本上沒被識別出來；同時各測量通道所包含的頻率信息也不太一樣，且均未完整測出前4階模態(tài)，有的僅漏掉了第2階頻率（如第2、3與4個傳感器通道），有的則同時漏掉了第2和第4兩階頻率（如第1個傳感器通道）。由此可見傳感器優(yōu)化布置對數(shù)據(jù)采集的影響較大，進(jìn)而可初步預(yù)見工況4中模型參數(shù)識別結(jié)果的不確定性將低于工況4d中的相應(yīng)結(jié)果，這一點(diǎn)將在后面參數(shù)識別結(jié)果中得到驗證。

圖2 傳感器／激勵器布置于最優(yōu)位置、任意位置時各測量通道加速度功率譜密度函數(shù)對比Fig．2 Acceleration spectral density functions for four sensors located at their optimal and arbitrary non-optimal positions

為了模擬實(shí)際條件下測量噪聲的影響，此參數(shù)識別階段中加速度響應(yīng)計算值考慮了10%的高斯白噪聲。表4給出了相應(yīng)于表3中所列各工況的模型參數(shù)識別結(jié)果，其中，各工況的識別值代表模型參數(shù)識別結(jié)果的最優(yōu)值，而COV（%）值則代表參數(shù)識別結(jié)果的變異系數(shù)，即不確定性程度，并以百分?jǐn)?shù)來表示。對比前四種工況中的COV值，從該表中可以明顯看出，隨著傳感器數(shù)目NO的增加，COV值逐漸降低，表明采用較多的傳感器，確實(shí)能使所獲取的測量信息總量增加（參考表3中最后一列給出的目標(biāo)函數(shù)值大?。?，從而減少結(jié)構(gòu)模型參數(shù)識別結(jié)果的不確定性程度，這同時也驗證了本文所提出的傳感器／激勵器優(yōu)化布置方法的正確性。

對比工況4與其后四種工況的COV值，可以發(fā)現(xiàn)，在給定傳感器數(shù)目NO條件下，傳感器布置于最優(yōu)位置相比于其他非最優(yōu)位置，所識別出的模型參數(shù)的不確定性程度整體上確實(shí)較低，這也驗證了前面圖2中的相關(guān)結(jié)論。另外，比較工況4a至工況4d的COV值可以發(fā)現(xiàn)，在四種任意選取的非最優(yōu)位置中，工況4a參數(shù)識別結(jié)果的不確定性程度相對最低，而工況4d的不確定性則最高，該現(xiàn)象與第一階段傳感器／激勵器優(yōu)化布置過程中表3最后一列給出的各工況目標(biāo)函數(shù)值是相吻合的，即目標(biāo)函數(shù)值越大，同條件下模型參數(shù)識別結(jié)果的不確定將越小。

另外，值得注意的是，對比表4中工況3和工況4a至4d的COV值識別結(jié)果可以看出，當(dāng)采用3個傳感器與相應(yīng)激勵器布置在其最優(yōu)位置，相比4個傳感器與相應(yīng)激勵器任意布置，可獲得更小的模型參數(shù)不確定性。特別地，參照工況1的結(jié)果還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)僅采用單個傳感器時，通過優(yōu)化布置傳感器與相應(yīng)激勵器位置，也可望使模型參數(shù)識別不確定性與采用4個傳感器情況下的結(jié)果相當(dāng)。這充分說明了傳感器優(yōu)化布置對于模型參數(shù)識別的重要性。

此外，從表4中各工況單個模型參數(shù)的相對不確定性程度來看，θ5和θ6的不確定性程度較其余5個參數(shù)明顯要大很多。參考表1中的橋梁建模參數(shù)定義，這兩個參數(shù)分別對應(yīng)于兩個橋墩的彈性支撐剛度，這表明彈性支撐剛度參數(shù)的識別精度較其余參數(shù)明顯偏低。這與文獻(xiàn)［15］中關(guān)于某懸臂梁固定端半剛性連接的轉(zhuǎn)動剛度識別實(shí)驗室模型試驗結(jié)果相吻合，在該文獻(xiàn)中，作者研究表明固定端轉(zhuǎn)動剛度識別結(jié)果的不確定性較其余建模參數(shù)大許多。其實(shí)，這一點(diǎn)從本文模型參數(shù)識別結(jié)果的精度上也可以得到一定程度的體現(xiàn)。具體地，參照表4，分別對比各工況中單個模型參數(shù)的識別值，可以明顯發(fā)現(xiàn)，θ5和θ6的識別結(jié)果精度相對于其余參數(shù)較差。應(yīng)該指出，本文算例以θ0＝ones（7，1）作為基準(zhǔn)參數(shù)，計算加速度響應(yīng)信號并施加高斯白噪聲以模擬測量信號，因而將θ0作為θ的精確值。

表4 三跨連續(xù)梁橋模型參數(shù)識別結(jié)果及變異系數(shù)（COV值）Tab.4 Optimal values and associated coefficient of variances（COV）of identified modeling parameters for three-span continuous bridgemodel

為了更直觀地表示各參數(shù)識別結(jié)果之間的不確定性，本文選取工況4中部分建模參數(shù)，利用公式（3）計算其識別結(jié)果的二維邊緣PDF，并對其進(jìn)行歸一化，結(jié)果如圖3所示。其中，圖3（a）、圖3（b）分別表示θ5與θ6之間、以及θ3與θ5之間的二維歸一化邊緣PDF分布。從圖3（a）中可以明顯地看出，θ5與θ6之間的不確定性程度大致相同。這一點(diǎn)也可以從表4中的有關(guān)結(jié)果中得到印證，因為從該表得出工況4中θ5與θ6的COV值分別為0．918 7與1．038 6，其數(shù)值上基本相同。對于θ3與θ5而言，圖3（b）中曲面形狀可以明顯反映出兩參數(shù)之間的相對不確定性程度，即θ5的不確定性要遠(yuǎn)大于θ3的不確定性，其也與表4的有關(guān)結(jié)果相吻合。

圖3 工況4部分建模參數(shù)識別結(jié)果的二維歸一化邊緣PDFFig．3 Normalized PDFs of some selected parameters in case 4

3 結(jié) 論

針對分布參數(shù)結(jié)構(gòu)體系的傳感器優(yōu)化布置問題，本文提出了一種以結(jié)構(gòu)模型修正為目的的傳感器／激勵器優(yōu)化布置方法。該方法將貝葉斯統(tǒng)計系統(tǒng)識別方法與信息熵理論相結(jié)合，通過信息熵定量表征結(jié)構(gòu)模型參數(shù)識別結(jié)果的不確定性程度，并采用遺傳算法極小化該不確定性以實(shí)現(xiàn)傳感器／激勵器最優(yōu)布置，以期獲得最大的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息量，并使識別出的結(jié)構(gòu)模型參數(shù)不確定性最小。

文中以一個雙橋墩帶彈性支撐的三跨連續(xù)梁橋模型為例，通過一系列數(shù)值仿真工況，先后對傳感器／激勵器優(yōu)化布置以及模型參數(shù)識別相關(guān)問題進(jìn)行了仿真研究，并對本文方法進(jìn)行驗證。研究結(jié)果表明，本文方法能同時識別分布參數(shù)結(jié)構(gòu)體系給定數(shù)目的傳感器與激勵器最優(yōu)布置位置；傳感器數(shù)目對于最優(yōu)化布置結(jié)果及模型參數(shù)識別結(jié)果均有較大的影響，即采用較多數(shù)目且經(jīng)過優(yōu)化布置的傳感器可以減少模型參數(shù)識別結(jié)果的不確定性；經(jīng)過優(yōu)化布置的較少數(shù)目傳感器可獲得與較多數(shù)目任意布置傳感器相同甚至更小的模型參數(shù)不確定性；就本文算例而言，橋墩彈性支撐剛度參數(shù)識別結(jié)果的不確定性較其他參數(shù)大得多，這一點(diǎn)在實(shí)際橋梁建模及分析過程中應(yīng)予以注意。

應(yīng)該指出，本文方法為典型分布參數(shù)結(jié)構(gòu)體系的傳感器優(yōu)化布置問題提供了解決思路，但對于其他任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系而言，基于有限元方法的離散結(jié)構(gòu)模型則更適合。此外，從表2的識別結(jié)果中可以推斷，隨著遺傳算法中二進(jìn)制編碼位數(shù)增加，算法的最大分辨會隨之提高，進(jìn)而使某些相互靠近的最優(yōu)傳感器之間布置距離進(jìn)一步減小，但在實(shí)際應(yīng)用中布設(shè)空間上如此接近的傳感器卻不太可行。而這種現(xiàn)象在傳統(tǒng)的基于有限自由度離散模型的傳感器優(yōu)化布置研究結(jié)果中通常難以觀察到（其對應(yīng)本文Nbits取較小值情況，如4），除非網(wǎng)格化分足夠細(xì)密。因此，本文研究表明，對于分布參數(shù)結(jié)構(gòu)體系僅極大化ln（det Q）該單一目標(biāo)函數(shù)似乎不夠，有必要對其進(jìn)行改進(jìn)，從而避免傳感器最優(yōu)識別位置過于接近。

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Probabilistic approach for optimal sensor／actuator configuration of distributed-param eter system s based on in formation entropy

YIN Tao
（School of Civil and Architectural Engineering，Wuhan University，430072Wuhan，China）

For distributed-parameter systems，the continuous-coordinated models are more suitable than the conventional FE-based discrete-coordinated models for investigating the optimal sensor placement problems．For the purpose of structuralmodelupdating，a sensor／actuator configurationmethodology for the distributed-parameter system was developed based on both the Bayesian statistical system identification method and information entropy．In the proposed methodology，the Bayesian statistical system identification method was adopted to identify the optimal values and associated uncertainties of the structuralmodeling parameters，whereas the information entropy was employed as a scalar measure to quantify the uncertainties．Then，the problem of optimal sensor／actuator placement was formulated as a continuous optimization problem，in which the information entropy wasminimized by using the genetic algorithm，with the sensor／actuator configurations as theminimization variables．Maximum amountof information about the structuralmodeling parameterswould be obtained if the sensors／actuators are placed at their optimal locations，indicating the uncertainties of identified modeling parameters being minimum．The proposed methodology was verified through a set of numerical simulation cases for a three-span continuous bridgemodelwith two elastic supports at the top of piers．

optimal sensor configuration；structural model updating；Bayesian statistical system identification method；information entropy；genetic algorithm

O211；O321

：A

10．13465／j．cnki．jvs．2014．22．010

國家自然科學(xué)基金資助項目（51208390）；湖北省自然科學(xué)基金資助項目（2011CDB265）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)專項經(jīng)費(fèi)資助項目（271198，273766）

2013－08－07 修改稿收到日期：2013－09－27

作 者尹濤男，博士，副教授，1979年12月生郵箱：tyin＠whu．edu．cn