曹平軍 楊昌茂 張海波

(中船重工第七一〇研究所,湖北 宜昌 443000)

全最小二乘法在姿態(tài)參數(shù)測量中的應(yīng)用研究

曹平軍 楊昌茂 張海波

(中船重工第七一〇研究所,湖北 宜昌 443000)

針對由三軸GMR磁傳感器構(gòu)建的飛行體姿態(tài)測量系統(tǒng),推導(dǎo)出地磁場與姿態(tài)角間的數(shù)學(xué)關(guān)系,分析了影響測量精度的因素。通過對比絕對最小二乘法和相對最小二乘法對磁傳感器參數(shù)的修正結(jié)果,發(fā)現(xiàn)由于常規(guī)最小二乘法只考慮單一因素,導(dǎo)致由測量數(shù)據(jù)求出的磁場三分量和總磁場值仍存在較大的波動和誤差。為解決這一問題,采用全最小二乘法對磁傳感器參數(shù)進行整體修正。經(jīng)無磁轉(zhuǎn)臺試驗表明,該方法極大地提高了磁場和姿態(tài)角的測量精度。

GMR磁傳感器 滾轉(zhuǎn)角 俯仰角 姿態(tài)測量 相對誤差 全最小二乘法

0 引言

飛行體姿態(tài)測量是實現(xiàn)飛行體在高速旋轉(zhuǎn)過程中實施精確控制的關(guān)鍵技術(shù)之一,它直接關(guān)系著飛行體本身的抗干擾能力和運行的穩(wěn)定性。由于飛行體的控制部分空間狹小,且處于高加速度條件下,這使得陀螺、加速度計、GPS等常規(guī)測姿方案無法滿足要求[1-2]。

地磁場具有的固有指向性使其可以作為天然的姿態(tài)參考坐標系,通過安裝在飛行體上的GMR磁傳感器可清晰地反映飛行體在運行過程中姿態(tài)的變化[3]。由于硬件系統(tǒng)設(shè)計缺陷,會使GMR磁傳感器的零點、靈敏度和正交性等參數(shù)測量不準確,進而導(dǎo)致姿態(tài)角的測量誤差增加。為解決這一問題,本文采用全最小二乘法對參數(shù)進行整體修正。它通過對超定方程中的系數(shù)矩陣誤差和測量值誤差的整體分析來提高方程解的精度。經(jīng)過近幾十年的發(fā)展,最小二乘法已經(jīng)被廣泛用于統(tǒng)計分析、線性和非線性回歸、系統(tǒng)辨識和參數(shù)估計等相關(guān)領(lǐng)域[4-5]。

1 飛行體姿態(tài)角測量影響因素分析

飛行體姿態(tài)角通常可用滾轉(zhuǎn)角γ、俯仰角θ和偏航角ψ三個歐拉角表示[6-8]。為了尋求姿態(tài)角與地磁場的對應(yīng)關(guān)系,可以建立基于天、東、北、飛行體轉(zhuǎn)向坐標系,發(fā)射坐標系和隨動坐標系的姿態(tài)角測量模型。對模型進行推導(dǎo)計算,可得動態(tài)下俯仰角θ和滾轉(zhuǎn)角γ的數(shù)學(xué)表達式:

由以上公式可知,在動態(tài)條件下,俯仰角θ和滾轉(zhuǎn)角γ的測量精度與磁傳感器的三軸磁場分量Bζ′、Bη′、Bξ′以及地磁傾角D、地磁偏角I和偏航角ψ有關(guān)。

在整個測量模型中,分析偏航角ψ對俯仰角θ和滾轉(zhuǎn)角γ測量精度的影響。假設(shè)Bξ′在理想條件下是正弦變化的,偏航角ψ的誤差取值分別為0°、10°和30°,仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 偏航角對俯仰角解算的影響曲線Fig.1 Influence curves of yaw angle to the pitch angle

由圖1可知,偏航角ψ的偏差在30°時對俯仰角θ的解算誤差達到5.86%,在10°時的影響只有1.34%,幾乎可以忽略。由于飛行體在中、短距離飛行時,飛行時間短,偏航角ψ與初始狀態(tài)下相比變化通常不會超過10°,因此ψ可作為常量。姿態(tài)角的測量精度主要取決于GMR磁傳感器的三軸磁場輸出。

2 GMR磁傳感器誤差分析與建模

2.1 誤差校正模型建立

GMR磁傳感器輸出的模擬信號經(jīng)信號調(diào)理電路和A/D轉(zhuǎn)換電路處理后,由微處理器輸出數(shù)字信號。在硬件測量系統(tǒng)的設(shè)計過程中,不能確保在同一條件下三軸磁傳感器輸出的最終數(shù)字信號具有相同的零點誤差和靈敏度。另外,硬件系統(tǒng)采用的是由雙軸磁傳感器加單軸磁傳感器組成的三軸測量系統(tǒng),這樣還會引入正交性誤差。它們的修正表達式為:

將K、A、δ代入式(1),可得:

為達到最佳逼近或擬合已知數(shù)據(jù),最常用的一種做法是使測量值與真實值在各點間的殘差在范數(shù)的條件下達到最小[7-8]。

計算模型有兩種,分別為:

這里取F=2,求解的是向量的2范數(shù),以式(4)的模型為例來計算補償系數(shù)。具體方法是在經(jīng)過標定的赫姆霍茲線圈中加12組不同大小的電流,分別測試GMR磁傳感器每個軸的輸出值Bζ″、Bη″、Bξ″和對應(yīng)的總磁場Bt,得到12組磁場在x、y、z軸方向上的輸出信號,將測得數(shù)據(jù)代入式(1)就可計算出補償后的磁傳感器輸出值Bζ″、Bη″、Bξ″。

結(jié)合式(1)和式(4),得相對誤差的通用模型為:

式中:k1、k2、k3、k4與式(2)中的系數(shù)存在對應(yīng)關(guān)系；Bt為加不同電流下的總磁場。

將式(6)變換為矩陣形式:

根據(jù)矩陣的逆矩陣求解方法可得補償系數(shù):

將由解算模型計算后所獲得的校正值Bζ″、Bη″、Bξ″代入相應(yīng)計算式,經(jīng)過一定的濾波算法后由Matlab仿真,分別獲得在式(3)和式(4)所示模型的總磁場BT波動曲線如圖2所示。

由圖2可知,常規(guī)最小二乘法所繪出的總磁場強度有較大的波動,且與真實值相比有一定的誤差。這種情況的產(chǎn)生是由于常規(guī)最小二乘法的評價依據(jù)是針對等精度數(shù)據(jù)而言的,即觀察數(shù)據(jù)在不同等級時具有大體相同的絕對誤差。因此在磁傳感器輸出的零點信號附近很容易產(chǎn)生相對大的干擾,而且在點集分布不規(guī)律的情況下,擬合精度會進一步降低。

圖2 不同模型下的總磁場BT波動曲線Fig.2 Fluctuation curves ofBTin different models

由于大量的科學(xué)研究和觀測數(shù)據(jù)往往是按被觀測量的相對誤差進行評價[9],所以從相對誤差的平方和最小出發(fā),對最小二乘法進行改進,得到更符合實際情況的修正值。與常規(guī)最小二乘法相比,采用基于相對誤差的最小二乘法修正后所繪出的圖形具有較小的波動,在一定程度上起到了很好的校正作用,但與理想的仿真結(jié)果相比仍存在一定的誤差。

除此之外,對于線性方程組Ax=b,常規(guī)最小二乘法的基本思想是在殘差平方和最小的準則約束下求解最佳參數(shù),但這里有一個前提,系數(shù)矩陣A在求解之后是作為定值代入方程中來解算未知量的。多數(shù)情況下,系數(shù)矩陣A和觀測向量b會同時存在誤差。常規(guī)最小二乘法只考慮了Bζ′、Bη′、Bξ′的變化,忽略了由于測量值的不準確性導(dǎo)致的系數(shù)矩陣K解算的不準確性。

2.2 全最小二乘求解算法

全最小二乘法的思想早在20世紀90年代就被提出了,它通過對式(7)這樣的超定方程中的系數(shù)矩陣B′的誤差和測量值B″的誤差進行整體分析,提高方程解的精度。經(jīng)過近幾十年的發(fā)展,全最小二乘法已經(jīng)被廣泛用于統(tǒng)計分析、線性和非線性回歸、系統(tǒng)辨識和參數(shù)估計等相關(guān)領(lǐng)域。

由此求出較準確的全最小二乘解K。

設(shè)具有誤差的超定方程的表達式為:

式中:A∈Rm×n；b∈Rm；x∈Rn；rank(A)∈n＜m,m為觀測值個數(shù),n為待估參數(shù)個數(shù)；d和r分別為A和b的逼近誤差。

由于采用相對最小二乘法計算后得到的b是常數(shù)向量,但實質(zhì)上它仍含有誤差,因此并不能認為r=0。

將式(10)改寫為:

式中:C=[A,b]；Δ=[d,r]。

要求解x,則要尋找對C+Δ的最佳逼近,方程有非零解的條件是:

對增廣矩陣C做奇異值分解:

式中:V=[V1,…,Vn+1]；δ1≥δ2≥…δn+1。

若存在對C的最佳逼近C′,則C′存在這樣的奇異值分解:

式中:∑′=diag(δ1,…,δr)。

此時方程的解可表示為:

式中:Vn+1為對應(yīng)于δn+1的右奇異向量；Vn+1,n+1為Vn+1的第(n+1)個值。

由于δn＞δn+1,所以Vn+1,n+1≠0。由于Vn+1為CTC對應(yīng)于特征值δn+1的特征向量,故有:

將C的表達式代入式(16)得:

將式(17)改寫為:

將式(18)和式(21)合并可得方程的解:

設(shè)K=xTLS、B″=b、B′=A,δn+1由C=[H,B′]的奇異值分解得到,全最小二乘法修正后的K為:

全最小二乘法和常規(guī)最小二乘法的區(qū)別在于引入了增廣矩陣最小奇異值。系數(shù)矩陣和觀測向量誤差對增廣矩陣最小奇異值的大小都有影響,但是二者對奇異值的大小的影響是不同的。當系數(shù)矩陣的擾動對增廣矩陣最小奇異值大小貢獻較大時,采用全最小二乘法比較合理。

由于測量參數(shù)B′本身就存在較大的測量誤差,滿足全最小二乘法的使用條件,因此本文采用全最小二乘法將會起到很好的參數(shù)修正作用。利用全最小二乘法修正參數(shù)后所獲得的總磁場值BT經(jīng)Matlab仿真,得到的校正效果如圖3所示。

圖3 全最小二乘法校正效果Fig.3 Correction effect of the total least squares method

3 試驗驗證

在相對誤差的基礎(chǔ)上采用全最小二乘法修正GMR磁傳感器參數(shù),并加入一定的濾波算法。在三維無磁轉(zhuǎn)臺下,規(guī)定俯仰角θ變化范圍為-60°～60°,滾轉(zhuǎn)角γ在0°～360°內(nèi),通過串口輸出角度值,截取部分數(shù)據(jù)如表1所示。俯仰角θ和滾轉(zhuǎn)角γ經(jīng)過全最小二乘法修正后的誤差控制在2°以內(nèi),可滿足所要求的技術(shù)指標。

表1 理論值與試驗值對比表Tab.1 Comparison of theoretical values and experimental values

4 結(jié)束語

本文對影響俯仰角和滾轉(zhuǎn)角測量誤差的因素進行分析,分別采用基于絕對誤差和相對誤差的最小二乘法模型對影響誤差的參數(shù)進行修正。常規(guī)最小二乘法只考慮了B′的變化,忽略了B″的不準確性。而全最小二乘法模型通過對誤差源進行整體處理,理論上可很好地實現(xiàn)校正,實際測試結(jié)果也驗證了該方法的可行性,在測量范圍內(nèi)俯仰角θ和滾轉(zhuǎn)角γ的誤差基本可控制在2°以內(nèi),可很好地滿足飛行體在運行過程中對姿態(tài)參數(shù)測量精度的要求。但在某些特定條件下,姿態(tài)角測量會存在較大誤差,原因是磁傳感器的指向進入磁場盲區(qū)范圍,這是今后需要改進的地方。

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Application Study of the Total Least Squares Method in Measurement of Attitude Parameters

In accordance with the measuring system established by 3-axes GMR magnetic sensor for attitude of flight body,the mathematical relationship between geomagnetic field and attitude angle is derived,and the factors affecting the measurement accuracy are analysed.Through comparing the corrected results for parameters of magnetic sensor by using absolute least squares method and relative least squares method,it is found that because the conventional least squares method only considers the single factor,larger fluctuation and error exist in the threecomponent of magnetic filed and the total magnetic field value.In order to solve this problem,overall correction is conducted to the parameters of magnetic sensor by adopting the total least squares method.The experiments on non-magnetic turntable prove that this method improves the measurement accuracy of magnetic field and attitude angle.

GMR magnetic sensor Rolling angle Pitching angle Attitude measurement Relative error Total least squares method

TP216+.1

A

修改稿收到日期:2013-11-03。

曹平軍(1987-),男,現(xiàn)為中船重工第710研究所檢測技術(shù)與自動化裝置專業(yè)在讀碩士研究生;主要從事磁場探測與信息技術(shù)的研究。