閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系 賢 鋒 林 鑫

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小學(xué)思維訓(xùn)練中數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用探究

閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系 賢 鋒 林 鑫

該文論述數(shù)學(xué)建模思想在小學(xué)思維訓(xùn)練中的運(yùn)用，通過結(jié)合一部分小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的典型例題，依據(jù)大學(xué)建模知識(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想分析和解決這些問題，達(dá)到訓(xùn)練小學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目的。

數(shù)學(xué)建模思想 小學(xué) 思維訓(xùn)練

1 概述

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門科學(xué)。由此可見，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)這門科學(xué)中尤為重要的一部分。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)世界性的研究課題，它起源于上世紀(jì)70年代末的英國(guó)劍橋大學(xué)[1]。隨著科學(xué)技術(shù)的快速進(jìn)步，數(shù)學(xué)模型受到現(xiàn)代人的關(guān)注越來越多，無論是生產(chǎn)、工作、各種活動(dòng)，都離不開數(shù)學(xué)建模。而小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)當(dāng)與發(fā)展要求相適應(yīng)，充分運(yùn)用建模思想，培養(yǎng)小學(xué)生建模的意識(shí)和能力[2]。

建模思想強(qiáng)調(diào)的是對(duì)實(shí)際問題的抽象和概括，而小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)以實(shí)用性為主，突出了數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于學(xué)生的認(rèn)知水平、知識(shí)程度不夠，難以對(duì)學(xué)生展開數(shù)學(xué)建模的教學(xué)。在2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，提出了培養(yǎng)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過程，樹立模型思想，但是在教學(xué)操作上的指導(dǎo)意見比較罕見。如何通過實(shí)踐體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，正是值得我們思考的一個(gè)重要問題。數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練雖然在這些年來受到廣泛爭(zhēng)議，但不可否認(rèn)的是，在訓(xùn)練過程中很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模思想的廣泛運(yùn)用。本文以數(shù)學(xué)建模思想為立足點(diǎn)，嘗試探究其在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的運(yùn)用，通過例題分析，結(jié)合大學(xué)數(shù)學(xué)建模知識(shí)，為小學(xué)思維訓(xùn)練甚至小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供一些應(yīng)用基礎(chǔ)。

2 小學(xué)思維訓(xùn)練中的數(shù)學(xué)模型

2.1 小學(xué)數(shù)學(xué)建模

小學(xué)數(shù)學(xué)建模的主體是小學(xué)生，是利用小學(xué)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的原理、法則等建立的數(shù)學(xué)模型。在小學(xué)，由于小學(xué)生的知識(shí)水平、認(rèn)知能力有限，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)具有鮮明的階段性、初始性特征，不能有難度太高的專業(yè)知識(shí)，即要從學(xué)生熟悉的生活和已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，講究有趣味性并且容易理解，具有一定的實(shí)用性，和生活緊密相關(guān)，引導(dǎo)他們熟悉將實(shí)際問題初步抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過程，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生更加深刻的理解[3]。

2.2 小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練（包括奧賽）在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中還是有一定積極意義的，只是目前數(shù)學(xué)教育把思維訓(xùn)練這一活動(dòng)當(dāng)作考量學(xué)生的工具，而不是真正為了學(xué)生的發(fā)展。數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和快樂。同時(shí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練也有助于挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)潛能，訓(xùn)練出良好的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)，讓學(xué)生獲得發(fā)揮創(chuàng)新能力的空間，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，促進(jìn)人才的早期培養(yǎng)。

2.3 建模思想在數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中的應(yīng)用舉例

2.3.1幾何模型

圖1

分析 由常識(shí)可知，最內(nèi)道為400米。所以在最內(nèi)道應(yīng)從終點(diǎn)處開始起跑。由圖1可知，跑道在直道處長(zhǎng)度是一樣的，所以長(zhǎng)度的差異就在彎道處，所以我們來分析左右兩個(gè)半圓跑道。由于左右兩個(gè)半圓形對(duì)稱?，F(xiàn)在我們把左右跑道從跑道中分離出來，得到圖2。把兩個(gè)半圓組合起來得到圖3。

圖2

圖3

不妨假設(shè)，運(yùn)動(dòng)員跑步時(shí)，都跑在各自跑道的中間位置，即圖3中的虛線。所以如果三位運(yùn)動(dòng)員在各自跑完自己所在的跑道，他們之間的賽程差距就是圖3中虛線的三個(gè)圓形軌道周長(zhǎng)之差。設(shè)最內(nèi)道所對(duì)應(yīng)的跑步軌跡半徑為，則中間道所對(duì)應(yīng)的跑步軌跡半徑為(R+1)，最外道所對(duì)應(yīng)的跑步軌跡半徑為(R+2)。最內(nèi)道的在彎道跑過的路程S1為2，而如果在中間道跑完跑道全程的路程為2(1)，最外道跑完跑道全程的路程為2(2)。

所以最內(nèi)道次運(yùn)動(dòng)員的起點(diǎn)設(shè)置在終點(diǎn)線，中間道次運(yùn)動(dòng)員的起點(diǎn)應(yīng)該設(shè)置在終點(diǎn)線前2米(即6.28米處)，最外道運(yùn)動(dòng)員的起點(diǎn)應(yīng)該設(shè)置在終點(diǎn)線前4米(即12.56米)處。

正如本題所示，小學(xué)思維訓(xùn)練中的幾何模型是比較常用的，這一類題目總是和生活場(chǎng)景結(jié)合一起。在生活中找到幾何問題的對(duì)象，本題為跑道，通過對(duì)跑道的分析和簡(jiǎn)化，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)中的幾何知識(shí)，進(jìn)行分析，得到數(shù)學(xué)結(jié)果，代入實(shí)際問題，得到實(shí)際結(jié)果。最后將建模得到的結(jié)果，代入實(shí)際對(duì)象（跑道）進(jìn)行檢驗(yàn)。

2.3.2函數(shù)模型

例2 甲與乙同時(shí)從A出發(fā)到B，甲一開始以時(shí)速4km的速度走路，中途改乘時(shí)速42km的公交車。乙則是以時(shí)速12km的速度騎自行車。結(jié)果甲比乙早到了10分鐘，參考圖4，求A、B兩地間的距離。

圖4

圖5

分析本題可以將圖4，以為原點(diǎn)，路程為軸，時(shí)間軸為軸建立坐標(biāo)系如圖5。

30，則點(diǎn)的坐標(biāo)為(45,3)

所以點(diǎn)坐標(biāo)為(71,14.2)

由于橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)表示距離。從A地到B地，乙花了71分鐘，以時(shí)速12km，行駛的路程為14.2km。所以A、B兩地相距14.2km。

本題為路程問題。通過對(duì)題中所給的路程圖示，結(jié)合函數(shù)知識(shí)，建立函數(shù)圖像的模型。把速度用斜率表示，縱坐標(biāo)表示路程，橫坐標(biāo)表示時(shí)間，建立直角坐標(biāo)系。通過題中所給的已知條件，得到函數(shù)圖像中點(diǎn)的坐標(biāo)。通過點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)解析式相互代入計(jì)算，得到我們需要的點(diǎn)坐標(biāo)，它的縱坐標(biāo)就是我們需要的兩地距離。將得到的結(jié)果代入原題檢驗(yàn)，檢查是否滿足題意。

2.3.3圖論模型

例3 如圖6，這是一張路線圖，由于路況不同，汽車通過這些路線時(shí)，速度也不同。每段路上的數(shù)是汽車通過這段路所需的時(shí)間（單位：分鐘）。請(qǐng)問汽車從A點(diǎn)開往B點(diǎn)，最快需要多少分鐘？

圖6

第一輪（T）標(biāo)號(hào)：

圖7

第一輪標(biāo)號(hào)結(jié)束，0變成標(biāo)號(hào)，即1，進(jìn)行下一輪重新標(biāo)號(hào)。

第二輪（T）標(biāo)號(hào)：

3變成符號(hào)，此時(shí)0,1,3。第二輪標(biāo)號(hào)結(jié)束。

第三輪（T）標(biāo)號(hào)：

第四輪（T）標(biāo)號(hào)：

至此，全部結(jié)點(diǎn)都已標(biāo)號(hào)。

所以從0到5到最短路長(zhǎng)13，最短路是0→1→2→5。

將模型還原到實(shí)際問題，即從A點(diǎn)到B點(diǎn)最快需要13分鐘。

這是數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中一道簡(jiǎn)單的規(guī)劃問題。由于該問題求的是兩定點(diǎn)的最快路徑（通過兩定點(diǎn)間最短時(shí)間），即時(shí)間的最短路徑。所以我們可以結(jié)合圖論中最短路徑的知識(shí)，建立圖論模型。通過算法，計(jì)算出模型中的最短路徑，即實(shí)際問題中時(shí)間的最短路徑。結(jié)合路線圖，可以檢驗(yàn)該路徑是否最快到達(dá)，即可檢驗(yàn)出模型的可行性。

2.3.4線性代數(shù)模型

例4 甲、乙各有100顆蘋果。如果進(jìn)行這樣一次交換：甲取自己蘋果的40%給乙，而乙取自己蘋果的70%給甲。問，進(jìn)行一次交換后，甲乙各有多少個(gè)蘋果?在第一次交換的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行這樣一次交換，結(jié)果又如何?

這是數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練中關(guān)于分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的題目。這個(gè)問題通過可以建立線性代數(shù)模型來解決：

由題可寫出2×2矩陣，表示一次交換。

在矩陣中，

11=0.6表示進(jìn)行一次交換，甲剩下自己的(1-40%)=60%；

12=0.7表示進(jìn)行一次交換，甲獲得乙的70%；

21=0.4表示進(jìn)行一次交換，乙獲得甲的40%；

22=0.3表示進(jìn)行一次交換，乙剩下自己的(1-70%)=30%

（即第一列表示甲原來的蘋果，第二列表示乙原來的蘋果；第一行表示交換之后甲的蘋果，第二行表示交換后乙的蘋果）。

則一次交換后，甲、乙的蘋果數(shù)表示為：

即交換一次之后，甲的蘋果數(shù)量為130，乙的蘋果數(shù)量為70。

所以在第一次交換的基礎(chǔ)上再進(jìn)行一次交換后的結(jié)果如下：

所以在第一次交換的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行一次這樣的交易，結(jié)果是：甲的蘋果數(shù)量為127，乙的蘋果數(shù)量為73。

這個(gè)問題雖然是簡(jiǎn)單的百分比計(jì)算。但是考慮的要進(jìn)行多次同樣的交換，我們可以通過建立線性代數(shù)模型，將交換關(guān)系用矩陣表示，用二維向量表示兩人各自的蘋果數(shù)量，通過計(jì)算矩陣和向量的乘積，得到交換后的二維向量，即得到交換后甲、乙兩人的蘋果數(shù)量。同理，進(jìn)行第二次交換也一樣的。最后，用得到的結(jié)果檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性。

2.3.5數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

例5 某地區(qū)有甲、乙兩個(gè)自來水廠，分別向A、B、C三個(gè)村莊供水。按需求，A村需要45噸，B村需要75噸，C村需要40噸?，F(xiàn)在甲自來水廠存水60噸，乙自來水廠存水100噸。甲、乙兩廠與A村、B村、C村的距離如圖8所示。已知每噸水每千米輸送的費(fèi)用為1元，怎么安排可以使輸送費(fèi)用最低?并求出最低的費(fèi)用。

圖8

模型求解(輸入軟件)：

求解得到的輸送方案為：甲自來水廠向C村輸送40噸，向B村輸送20噸；乙自來水廠向A村輸送45噸，向B村輸送55噸。

3 結(jié)論

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想是素質(zhì)教育的要求。雖然數(shù)學(xué)建模知識(shí)只有在大學(xué)期間才會(huì)正式涉及，但是對(duì)于處于小學(xué)階段的學(xué)生來說，此時(shí)處于能力發(fā)展的重要階段，也少不了數(shù)學(xué)建模思想的學(xué)習(xí)。也許在許多人的認(rèn)識(shí)中，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練只是鍛煉學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧，缺乏對(duì)問題本質(zhì)的分析。正如本文所述，數(shù)學(xué)建模思想也可以廣泛運(yùn)用在小學(xué)思維訓(xùn)練中。

數(shù)學(xué)建模教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的洞察能力、數(shù)學(xué)語言翻譯能力、綜合應(yīng)用分析能力、聯(lián)想能力及各種當(dāng)代科技最新成果的使用能力[4]。筆者建議在小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教學(xué)中，教師應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想運(yùn)用的引導(dǎo)，讓學(xué)生真正學(xué)會(huì)分析問題，從問題的本質(zhì)來思考問題，而不僅僅是簡(jiǎn)單地對(duì)解法進(jìn)行學(xué)習(xí)，這樣才能實(shí)現(xiàn)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的既定目標(biāo)。

[1] 郭淑英. 對(duì)數(shù)學(xué)建模的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J]. 山東教育，2010(28)：43.

[2] 王亮. 建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探討[J]. 教師，2012(15)：43-44.

[3] 陳永琴. 對(duì)數(shù)學(xué)建模的幾點(diǎn)思考[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013(14)：136.

[4] 劉瑞芹，王文祥. 數(shù)學(xué)建模[M]. 北京: 煤炭工業(yè)出版社，2009.