劉 磊，郭 勁，趙 帥，姜振華，孫 濤，王挺峰

(1.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所激光與物質(zhì)相互作用國家重點實驗室，吉林長春130033;2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049)

1 引言

激光應(yīng)用中，由于光束質(zhì)量較差、光學(xué)元件的面型加工誤差和光學(xué)系統(tǒng)的裝調(diào)誤差等因素會導(dǎo)致光學(xué)元件產(chǎn)生波前畸變，對于高能激光束，還會出現(xiàn)激光器熱變形，因而嚴(yán)重影響激光的聚焦效果，導(dǎo)致能量利用率低下。對此，學(xué)術(shù)界展開了多種光束整形技術(shù)研究，以改善光束質(zhì)量，提高聚焦光斑的能量集中度。

Frieden于1965年首次提出了位相型光束整形方法，到目前激光束整形技術(shù)已逐步發(fā)展成熟［1］。整形技術(shù)主要包括固定光學(xué)元件整形和變形鏡整形兩種［2-6］，前者結(jié)構(gòu)簡單、成本較低、易于加工，但對光束參數(shù)只能產(chǎn)生固定的校正量，而后者能夠?qū)崿F(xiàn)光束實時整形。在變形鏡光束整形技術(shù)中，目前比較成熟的優(yōu)化算法主要有遺傳算法［7-8］、模擬退火算法［9-10］和隨機(jī)并行梯度下降(SPGD)算法［11-12］。與前兩者相比，SPGD 算法收斂速度較快，實現(xiàn)更為簡單，因而具有較好的適用性。自 1997年 M.A.VORONTSOV成功應(yīng)用SPGD于波前整形系統(tǒng)［13］，該算法逐漸成為研究的熱點。

本文將SPGD算法應(yīng)用于激光束聚焦整形系統(tǒng)，分別以聚焦光斑半徑、形心環(huán)圍能量比和質(zhì)心環(huán)圍能量比［14-15］作為性能指標(biāo)，對收斂速度和整形效果進(jìn)行比較。

2 微機(jī)械薄膜變形鏡

微機(jī)械薄膜變形鏡(MMDM)是一種連續(xù)面形變形鏡，由靜電力驅(qū)動，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。利用微機(jī)械加工技術(shù)在基底上形成驅(qū)動器陣列，上方支撐一層柔性導(dǎo)電薄膜，二者之間形成電場［16-19］。無電壓驅(qū)動時，導(dǎo)電薄膜由張力作用成平面，驅(qū)動陣列施加電壓時，受靜電力作用發(fā)生形變。與傳統(tǒng)的壓電變形鏡不同，MMDM的鏡面相對于無電壓驅(qū)動狀態(tài)只能產(chǎn)生單向位移，且位移量與驅(qū)動電壓之間近似為二次平方關(guān)系，即:

式中，Vj、Vmax分別為第j個驅(qū)動器施加的驅(qū)動電壓和最大驅(qū)動電壓，dj、dmax分別為相應(yīng)的位移量和最大位移量。

圖1MMDM結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure scheme of MMDM

圖279單元MMDM驅(qū)動器陣列Fig.2 Distribution of 79-channel MMDM actuators

圖2為79單元MMDM的環(huán)形驅(qū)動器陣列，鏡面主孔徑為圓形，直徑為30 mm，由于薄膜邊緣固定，驅(qū)動器難以引起邊緣的形變，鏡面有效部分約為中間的70%。

3 SPGD算法

SPGD算法是一種利用并行擾動技術(shù)進(jìn)行梯度估計的優(yōu)化算法，無需測量波前位相信息，直接對系統(tǒng)的性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)梯度下降算法的基本原理［20］，光束波前位相 φ(x，y，t)與性能指標(biāo) J{I［φ(x，y，t)］}滿足關(guān)系:

式中，t為時間，τ為時間常數(shù)，I為聚焦光斑光強(qiáng)。利用變形鏡校正 φ(x，y，t):

式中，cj(t)為第j個驅(qū)動器的控制信號，取值范圍為［－1，1］，與式(1)中的 Vj滿足關(guān)系:

Sj(x，y)為第j個驅(qū)動單元的面形影響函數(shù)。將式(3)代入式(2)，得到控制信號滿足關(guān)系:

式中，γ(t)為增益系數(shù)。對式(5)進(jìn)行時間離散化，可以得到:

式中，n為迭代步數(shù)。

采用并行擾動法處理?J/?cj，依次對所有控制信號同時施加滿足獨立同分布的正負(fù)向隨機(jī)微擾{±δcj}，得到性能指標(biāo)變化量:

由統(tǒng)計的平均意義，可以得到:

式中，σ為隨機(jī)擾動幅度。將式(8)代入式(6)，可以得到算法的迭代公式:

在參數(shù)選擇合理的情況下，該迭代方式能使性能指標(biāo)有效地向極值方向逼近。

本文以MMDM各驅(qū)動器的控制信號c作為系統(tǒng)控制變量，算法流程如圖3所示。在一步迭代中，依次對所有控制信號同時施加正負(fù)向隨機(jī)微擾δc和－δc，同時利用CCD相機(jī)對光斑采樣，計算相應(yīng)的性能指標(biāo)，進(jìn)而得到梯度估計值δJ，利用式(9)即可獲得下一步迭代的控制信號。

圖3 SPGD算法流程圖Fig.3 Flowchart of SPGD algorithm

4 實驗裝置

圖4 激光束整形實驗系統(tǒng)原理圖Fig.4 Schematic diagram of the experimental system for laser beam shaping

激光束整形實驗系統(tǒng)如圖4所示，主要包括MMDM、激光器、擴(kuò)束鏡、CCD相機(jī)、控制計算機(jī)、數(shù)模轉(zhuǎn)換器和高壓放大器等部分，其中控制計算機(jī)內(nèi)嵌有圖像采集卡和SPGD算法模塊。圖5為該實驗系統(tǒng)的實物圖。

圖5 激光束整形實驗系統(tǒng)實物圖Fig.5 Photo of the experimental system for laser beam shaping

激光束先經(jīng)擴(kuò)束鏡與MMDM進(jìn)行孔徑匹配，再經(jīng)偏振分束器和1/4波片到達(dá)MMDM進(jìn)行波前位相調(diào)制，垂直反射后經(jīng)成像系統(tǒng)聚焦到達(dá)CCD相機(jī)，CCD相機(jī)采集圖像傳輸給控制計算機(jī)計算系統(tǒng)的性能指標(biāo)，得到下一步迭代的控制信號，由兩個40通道的數(shù)模轉(zhuǎn)換器并行輸出，經(jīng)高壓放大后施加到MMDM上。此外，CCD相機(jī)可以將采集到的激光光斑實時顯示在計算機(jī)上，直觀地表現(xiàn)光強(qiáng)的變化情況。

5 實驗結(jié)果與分析

5.1 性能指標(biāo)

實驗選取3種性能指標(biāo):聚焦光斑半徑、形心環(huán)圍能量比和質(zhì)心環(huán)圍能量比，依次記為J1、J2、J3。其中，環(huán)圍能量比(EER)、形心(xGC，yGC)、質(zhì)心(xCC，yCC)的計算公式分別為:

式中，I(x，y)為聚焦光斑光強(qiáng)分布，r表示環(huán)圍區(qū)域，R表示光斑區(qū)域。

5.2 實驗結(jié)果

實驗過程中通過設(shè)置CCD采集圖像的閾值近似消除背景噪聲的影響，為5灰度值。每組實驗根據(jù)性能指標(biāo)選取合適的參數(shù)，進(jìn)行1 000次算法迭代。

圖6 性能指標(biāo)隨迭代次數(shù)的變化曲線Fig.6 Evolution curve of the performance index versus iteration number

圖6為實驗得到的J1、J2、J3隨迭代次數(shù)的變化曲線。由圖6可以看出，整形過程中3種性能指標(biāo)的收斂速度和穩(wěn)定性存在差異。J1在前30次迭代中收斂迅速，但此后存在比較嚴(yán)重的振蕩，穩(wěn)定性差;J2經(jīng)過260次迭代后趨于收斂，收斂速度較慢，且存在一定的抖動;J3在前140次迭代中收斂速度較快，經(jīng)過260次迭代后逐漸趨于穩(wěn)定，抖動較小。

圖7給出了整形前的初始光斑、3種性能指標(biāo)下算法各迭代1 000次后的光斑及相應(yīng)的光強(qiáng)分布。由圖7可以看出，J1、J2、J3作為性能指標(biāo)時，MMDM對波前畸變都有明顯的校正效果，聚焦光斑的能量集中度有大幅提高，光束質(zhì)量明顯變好。

圖7 整形前后的激光光斑及其光強(qiáng)分布Fig.7 Laser spot and intensity distribution before and after shaping

對3種情況下的整形結(jié)果進(jìn)行定量分析，表1列出了J1、J2、J3的上升時間、整形前后光斑的環(huán)圍能量比，其中上升時間定義為性能指標(biāo)從初始值上升或下降到收斂值的80%所需要的迭代次數(shù)，用以衡量整形速度;環(huán)圍能量比表示半徑為10 pixel的環(huán)圍區(qū)域的能量比，用以衡量整形效果。由表1可以得到，整形速度方面，J1作為性能指標(biāo)最快，其次為J3，J2最慢;整形效果方面，J3作為性能指標(biāo)最好，J2略差，二者顯著好于J1。5.3 討論與分析

表1 3種性能指標(biāo)下的整形結(jié)果比較Tab.1 Comparisons of shaping results with J1，J2，J3

J1作為性能指標(biāo)，具有收斂速度快的優(yōu)勢，但由于只能取整數(shù)，容易出現(xiàn)較大波動，收斂的穩(wěn)定性較差。此外，光斑的半徑與其光強(qiáng)分布并不直接相關(guān)，在MMDM整形能力有限的情況下，光斑減小的程度有限，優(yōu)化過程中的光強(qiáng)變化難以確定，影響整形效果;J2作為性能指標(biāo)，與光強(qiáng)分布直接相關(guān)，但形心的位置與光強(qiáng)無關(guān)，光強(qiáng)較弱的部分會明顯影響形心位置，從而嚴(yán)重影響算法的尋優(yōu)路徑，導(dǎo)致收斂速度變慢;J3作為性能指標(biāo)，能實際地反應(yīng)聚焦光斑的能量集中度，收斂速度較快，整形效果和穩(wěn)定性較好。因此，在基于SPGD算法的激光束聚焦整形應(yīng)用中，以上3種性能指標(biāo)選擇J3最為合適。

實際應(yīng)用中，光束整形結(jié)果還受變形鏡驅(qū)動單元數(shù)、校正精度、鏡面形變范圍、空氣擾動、測量噪聲等因素的影響，有待進(jìn)一步實驗研究。

6 結(jié)論

本文通過實驗研究了SPGD算法在激光束聚焦整形技術(shù)中的應(yīng)用。實驗中選擇聚焦光斑半徑、形心環(huán)圍能量比和質(zhì)心環(huán)圍能量比3種性能指標(biāo)，達(dá)到收斂需要的迭代次數(shù)分別為58次、197次和133次，但光斑半徑作為性能指標(biāo)時振蕩嚴(yán)重，穩(wěn)定性差;整形結(jié)束后，環(huán)圍能量比從0.200 5、0.127 7、0.200 5 分別增加到 0.669 9、0.733 9和0.864 0，證明MMDM對于激光束具有良好的整形能力，得出3種情況中質(zhì)心環(huán)圍能量比作為性能指標(biāo)時綜合效果最好。對于實際應(yīng)用中校正由激光束質(zhì)量較差、光學(xué)元件的面型加工誤差、光學(xué)系統(tǒng)的裝調(diào)誤差以及高能激光器熱變形造成的波前畸變，具有一定的指導(dǎo)意義。

［1］ FRIEDEN B R.Lossless conversion of a plane laser wave to a plane wave of uniform irradiance［J］.Appl.Opt.，1965，4(11):1400-1403.

［2］ SHEALY D L，CHAO S H.Geometric optics-based design of laser beam shapers［J］.Opt.Eng.，2003，42(11):3123-3138.

［3］ 張振榮，王晟，李國華，等.平面激光誘導(dǎo)熒光實驗中激勵激光的光束整形［J］.中國光學(xué)，2013，6(3):359-364.

ZHANG ZH R，WANG SH，LI G H，et al..Exciting laser beam shaping in planar laser-induced fluorescence experiment［J］.Chinese Optics，2013，6(3):359-364.(in Chinese)

［4］ 孟祥翔，劉偉奇，柳華，等.反射式橢圓高斯光束平頂整形系統(tǒng)［J］.發(fā)光學(xué)報，2013，34(7):940-947.

MENG X X，LIU W Q，LIU H，et al..A reflective optical system for converting elliptical Gaussian laser beam to flat-top beam［J］.Chin.J.Lumin.，2013，34(7):940-947.(in Chinese)

［5］ 高瑀含，安志勇，李娜娜，等.高斯光束整形系統(tǒng)的光學(xué)設(shè)計［J］.光學(xué) 精密工程，2011，19(7):1464-1471.

GAO Y H，AN ZH Y，LI N N，et al..Optical design of Gaussian beam shaping［J］.Opt.Precision Eng.，2011，19(7):1464-1471.(in Chinese)

［6］ 蔣鵬志，馬浩統(tǒng)，袁凌峰，等.基于并行梯度下降算法的自適應(yīng)任意口徑光束整形［J］.中國激光，2011，38(12):42-46.

JIANG P ZH，MA H T，YUAN L F，et al..Shaped beam of arbitrary size with adaptive optics based on stochastic parallel gradient descent control algorithm［J］.Chinese J.Lasers，2011，38(12):42-46.(in Chinese)

［7］ 王衛(wèi)兵，趙帥，郭勁，等.遺傳算法在激光整形中的應(yīng)用［J］.激光與紅外，2012，42(10):1115-1119.

WANG W B，ZHAO SH，GUO J，et al..Genetic algorithm used in laser shaping［J］.Laser Infrared，2012，42(10):1115-1119.(in Chinese)

［8］ YANG P，LIU L，YANG W，et al..An adaptive laser beam shaping technique based on a genetic algorithm［J］.Chinese Optics Letters，2007，5(9):497-500.

［9］ 余湛，馬浩統(tǒng)，杜少軍.基于模擬退火算法的自適應(yīng)近場光束整形［J］.光學(xué)學(xué)報，2011，31(3):0314003-1-5.

YU ZH，MA H T，DU SH J.Adaptive near-field beam shaping based on simulated annealing algorithm［J］.Acta Optica Sinica，2011，31(3):0314003-1-5.(in Chinese)

［10］ 劉瑩，馬劍強(qiáng)，何挺，等.模擬退火-爬山混合算法用于無波前傳感器快速像差校正［J］.光學(xué) 精密工程，2012，20(2):213-219.

LIU Y，MA J Q，HE T，et al..Hybrid simulated annealing-hill climbing algorithm for fast aberration correction without wavefront sensor［J］.Opt.Precision Eng.，2012，20(2):213-219.(in Chinese)

［11］ 王衛(wèi)兵，趙帥，郭勁，等.基于Zernike模式的隨機(jī)并行梯度下降算法的收斂速率［J］.中國光學(xué)，2012，5(4):407-415.

WANG W B，ZHAO SH，GUO J，et al..Convergence rate of stochastic parallel gradient descent algorithm based on Zernike mode［J］.Chinese Optics，2012，5(4):407-415.(in Chinese)

［12］ 梁永輝，王三宏，龍學(xué)軍，等.隨機(jī)并行梯度下降光束凈化實驗研究［J］.光學(xué)學(xué)報，2008，28(4):613-618.

LIANG Y H，WANG S H，LONG X J，et al..Experimental explorations of the laser beam cleanup system based on sto-chastic parallel-gradient-descent algorithm［J］.Acta Optica Sinica，2008，28(4):613-618.(in Chinese)

［13］ VORONTSOV M A，CARHART G W，RICKLIN J C.Adaptive phase-distortion correction based on parallel gradient-descent optimization［J］.Opt.Lett.，1997，22(12):907-909.

［14［ 周仁忠.自適應(yīng)光學(xué)［M］.北京:國防工業(yè)出版社，1996.

ZHOU R ZH.Adaptive Optics［M］.Beijing:National Defense Industry Press，1996.(in Chinese)

［15］ 晏虎，雷翔，劉文勁，等.37單元雙壓電片變形鏡板條激光光束凈化［J］.強(qiáng)激光與粒子束，2012，24(7):1663-1666.

YAN H，LEI X，LIU W J，et al..Beam cleanup of slab laser with 37-element bimorph deformable mirror［J］.High Power Laser and Particle Beams，2012，24(7):1663-1666.(in Chinese)

［16］ 林旭東，薛陳，劉欣悅，等.自適應(yīng)光學(xué)波前校正技術(shù)發(fā)展現(xiàn)狀［J］.中國光學(xué)，2012，5(4):337-351.

LIN X D，XUE CH，LIU X Y，et al..Current status and research development of wavefront correctors for adaptive optics［J］.Chinese Optics，2012，5(4):337-351.(in Chinese)

［17］ 李邦明.基于微機(jī)械薄膜變形鏡的像差校正技術(shù)及其應(yīng)用［D］.南京:南京航空航天大學(xué)，2010.

LI B M.Technology and application of aberration correction based on micromachined membrane deformable mirror［D］.Nanjing:Graduate School of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2010.(in Chinese)

［18］ 賈建祿，王建立，趙金宇，等.可擴(kuò)展式自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)波前處理器的硬件設(shè)計［J］.液晶與顯示，2011，26(3):370-373.

JIA J L，WANG J L，ZHAO J Y，et al..Hardware design for extendible adaptive optics system wave － front processor［J］.Chinese J.Liquid Crystals and Displays，2011，26(3):370-373.(in Chinese)

［19］ 陳 浩，宣麗，胡立發(fā)，等.望遠(yuǎn)鏡的緊湊型閉環(huán)液晶自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計［J］.液晶與顯示，2010，25(3):379-385.

CHEN H，XUAN L，HU L F，et al..Design on compact type closed-loop liquid crystal adaptive optical system for telescope［J］.Chinese J.Liquid Crystals and Displays，2010，25(3):379-385.(in Chinese)

［20］ VORONTSOV M A，CARHART G W，COHEN M，et al..Adaptive optics based on analog parallel stochastic optimization:analysis and experimental demonstration［J］.J.Opt.Soc.Am.A，2000，17(8):1440-1453.