李 悅

（安徽城市管理職業(yè)學(xué)院 經(jīng)濟系，安徽 合肥230011）

股指期貨套利主要有兩種方法：期現(xiàn)套利和跨期套利。期現(xiàn)套利不需要數(shù)據(jù)儲備，股指推出后即可進入套利操作階段；對于跨期套利，可以用協(xié)整的方法來尋找兩個合約的均衡價差。從以前的研究結(jié)果來看，雖然這種方法的成功率很高，但需要一定的股指期貨數(shù)據(jù)儲備。也就是說，在股指剛推出的一段時間內(nèi)，不能進行套利操作，這也是這種方法的不足之處［1］。

一、研究方法

(一)基本理論

期現(xiàn)套利是利用股指期貨合約與標的指數(shù)之間的價格偏差進行套利交易，即對期貨和現(xiàn)貨進行反向操作，買入（賣出）現(xiàn)貨的同時賣出（買入）相同市值的期貨。由于現(xiàn)貨是指數(shù)，不能買入（指數(shù)），因此需要利用指數(shù)的成分股來復(fù)制指數(shù)或構(gòu)建ETF組合來復(fù)制指數(shù)，以此來實現(xiàn)對指數(shù)的操作。

從上面可以看到，期現(xiàn)套利有兩種策略：正向套利和反向套利，考慮到目前操作性，我們只做正向套利研究，即買入現(xiàn)貨，賣出期貨。

股指期貨的理論定價模型如下［2］：

其中：

t：時間變量；

T：股指期貨近d月合約的到期交割日；

F(t,T)：到期日為T的股指期貨合約在t時刻的理論價格T；

S(t)：t時刻的股指現(xiàn)貨價格；

r：無風(fēng)險利率；

d：指數(shù)的年股息率。

(二)研究步驟

1.期現(xiàn)套利

以滬深300為例，滬深300的成分股比較多，無論是完全復(fù)制或者抽樣復(fù)制，目前從操作上來說，在同一時間完成大量股票的買賣比較困難，由于目前國內(nèi)尚沒有基金公司推出標的滬深300的ETF，所以，本文舉例構(gòu)建幾種ETF的組合來復(fù)制指數(shù)［3］。

ETF與普通的指數(shù)基金相比具有以下優(yōu)點：首先，ETF基金相對于LOF具有交易成本低、交易方便、交易效率高等特點；其次，ETF采用完全被動的指數(shù)化投資策略，管理費用較低，操作透明度較高，可以讓投資者以較低的成本投資于一籃子標的指數(shù)成分股。

例如，市場上的上證50ETF、上證180ETF、深證100ETF三只ETF產(chǎn)品（概況見表1）。

表1 市場上ETF情況

首先來看這三只ETF與滬深300指數(shù)相關(guān)性，本文取近兩年左右的數(shù)據(jù)進行相關(guān)性分析（見表2）。

下面我們來看看幾種不同ETF的組合對滬深300指數(shù)的回歸結(jié)果（見表3），由此來選擇最優(yōu)的ETF組合。

表2 ETF與滬深300的相關(guān)性

表3 不同ETF的組合對滬深300指數(shù)的回歸結(jié)果

從表3可看出，用ETF組合來復(fù)制滬深300指數(shù)時，最佳選擇為上證180ETF+上證50ETF+深證100ETF，其次為上證50ETF+深證 100ETF。由此，本文決定使用最佳組合來復(fù)制滬深300指數(shù)，以實現(xiàn)跟蹤誤差最小化。

2.ETF組合構(gòu)建

確定最優(yōu)ETF組合的配置，就是解決下面的二次規(guī)劃問題［4］。

上面的rij代表第j個ETF產(chǎn)品在第i日的日連續(xù)復(fù)利收益率；ki代表第i日滬深300指數(shù)的日連續(xù)復(fù)利收益率；βj代表第j個ETF產(chǎn)品在ETF組合中的市值權(quán)重。

如果考慮的是跟蹤目標ETF的頭寸收益超越指數(shù)，則需要控制ETF收益下方的風(fēng)險。實際上對于正向套利而言，ETF的頭寸收益超越指數(shù)對套利是有利的，由此可以設(shè)計出跟蹤偏差的半差公式，從而得到如下的二次規(guī)劃問題。

3.套利策略

股指期貨和現(xiàn)貨交易時存在著交易成本(CR)以及復(fù)制指數(shù)時存在著跟蹤誤差(TE實踐中需要將其轉(zhuǎn)化為T-t期內(nèi)的區(qū)間值)，只有股指期貨的實際價格與理論價格的偏差大于上述成本之和時，才能進行套利，因此也就存在一個無套利區(qū)間。下面就來導(dǎo)出這個無套利區(qū)間［5］。

整個期現(xiàn)套利活動的交易成本和跟蹤誤差損益為：

進行正向套利的條件是：當(dāng)股指期貨的實際價格與理論價格的偏離大于上述交易成本與跟蹤誤差損益之和。

進行反向套利的條件是：當(dāng)股指期貨的理論價格與實際價格的偏離大于上述交易成本與跟蹤誤差損益之和。

由此可得期現(xiàn)套利的無套利區(qū)間為：

4.年股息率的確定

可從歷史數(shù)據(jù)中進行估算。

5.交易成本分析

表4 交易成本

二、數(shù)據(jù)及配置ETF權(quán)重方法的說明

本文前面提到了兩種確定ETF權(quán)重的方法，為了比較這兩種方法的效果，分別使用這兩種方法確定 ETF 的權(quán)重［6］。

(一)跟蹤目標盡可能擬合標的指數(shù)

在這種情況下，我們只考慮ETF盡可能擬合指數(shù)，而不考慮上下偏差對套利收益的影響，確定ETF權(quán)重的二次規(guī)劃問題如下［7］：

約束條件：

其中 m=3。

所以上面的最優(yōu)化問題可以寫成如下形式：

(二)控制ETF收益率的下偏差

因為ETF超越指數(shù)的部分可以增加套利的收益，所以我們這里對下偏差進行限制［9］，使用如下的二次規(guī)劃來確定三個ETF的權(quán)重。

其中 m=3。

目標函數(shù)：

三、套利分析

可使用最近一年的數(shù)據(jù)來進行套利研究。

對無風(fēng)險利率r，年股息率d，交易成本CR進行樣本估算，得到樣本期年跟蹤誤差，確定參數(shù)。本文測算的年跟蹤誤差在0.2%左右，相關(guān)資料研究表明指數(shù)的年跟蹤誤差一般在0.3%-0.5%，為了保險起見，本文年跟蹤誤差選為TE=0.3%。

確定上述參數(shù)后，可得出無套利區(qū)間的數(shù)值序列。

可使用控制上下偏差得到的ETF的配置比例來套利。

四、結(jié)語

本文介紹了兩種方法得到ETF的配置比重來進行套利。如果數(shù)據(jù)顯示期貨處于嚴重的高估狀態(tài)，可以適當(dāng)增加期貨的風(fēng)險敞口，以獲得更好的收益。

［1］王東,王其文,張世英.期貨交叉套期保值行為研究［C］//Systems Engineering,Systems Science and Complexity Research-Proceeding of 11th Annual Conference of Systems Engineering Society of China,2000:112-116.

［2］王寶森,溫興宇.股票指數(shù)期貨指數(shù)套利模型及應(yīng)用［J］.經(jīng)濟論壇,2007(7):23-25.

［3］張敏,徐堅.ETF在股指期貨期現(xiàn)套利的現(xiàn)貨組合中的應(yīng)用［J］.技術(shù)經(jīng)濟與管理研究,2007(3):31-32.

［4］Andersen T G,Bollerslev T.Intraday periodicity and volatility persistence in financial market［J］.Journal of Empirical Finance,1997(4):115-158.

［5］于易.滬深300股指期現(xiàn)套利GARCH模型應(yīng)用研究［D］.大連:大連海事大學(xué),2012.

［6］Meddahi N.A,theoretical comparison between integrated and realized volatility［M］.Journal of Applied Econometrics,2002:479-508.

［7］李勝歌,張世英.已實現(xiàn)雙冪次變差與多冪次變差的有效性分析［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報,2007(4):280-286.

［8］Comte F,Tenault E.Long Memory in continuous-time stochastic Volatility models［M］.Mathematical Finance,1998:291-323.