何國棟，謝小娟，楊凌云，吳 彬，陳衛(wèi)松

（安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖241000）

0 引言

著名的Nyquist采樣定理是信號處理的基礎(chǔ)，它指出如果要實(shí)現(xiàn)信號的無失真重構(gòu)，采樣信號的頻率必須為信號最高頻率的2倍以上。但這在現(xiàn)實(shí)中是很不方便的，如果信號頻率很高，則要求更高的采樣頻率，而且高采樣率也會(huì)產(chǎn)生大量的冗余數(shù)據(jù)，給后期的存儲、傳輸和處理帶來沉重的負(fù)擔(dān)。Candès，Tao和Donoho[1-4]等人于2006年提出了壓縮感知理論，它建立在矩陣、概率、泛函和最優(yōu)化等數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)之上，是一種新的信號采集和處理理論。對可稀疏表示的信號以較低的采樣率進(jìn)行壓縮采樣，降低了采樣數(shù)據(jù)的冗余性，僅獲得了較少的觀測數(shù)據(jù)，且可通過重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)信號的精確重構(gòu)[5-7]。壓縮感知新穎之處在于它突破了傳統(tǒng)的Nyquist采樣定理，目前已經(jīng)成為研究的熱點(diǎn)，研究涉及的領(lǐng)域[8，9]包括圖像處理、信號處理、醫(yī)療成像和無線通信等。

1 基本理論

壓縮感知理論對信號的采樣不同于Nyquist采樣定理，它主要包括信號的稀疏表示、測量矩陣和信號的重構(gòu)算法3個(gè)部分。信號的稀疏表示是壓縮感知的理論基礎(chǔ)，是壓縮感知實(shí)現(xiàn)的前提條件;測量矩陣相當(dāng)于一個(gè)傳感器，它對信號進(jìn)行觀測，并得到較少的觀測值，實(shí)現(xiàn)了信號的壓縮采樣;重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)欠定方程的稀疏重構(gòu)，恢復(fù)原來的信號。

1.1 信號的稀疏表示

一個(gè)信號含有較少的非零值就稱為稀疏信號，但實(shí)際中的信號多為非稀疏的，如果N×1維信號x在某個(gè)N×N維正交基ψ下可以稀疏表示為:x=ψs，其中s只有K個(gè)非零值，其余N-K個(gè)值為0或近似為0，其中K＜＜N，則稱信號是K-稀疏信號或可以稀疏表示的，正交基滿足:ψTψ=ψψT=I，也稱為稀疏字典。稀疏表示是壓縮感知的基礎(chǔ)，在壓縮感知中使用的變換基有離散余弦變換基、快速傅里葉變換基、離散小波變換基以及冗余字典等。通過稀疏表示后，稀疏信號s可以表示為:

1.2 測量矩陣

測量矩陣φM×N相當(dāng)于M個(gè)傳感器，它是一個(gè)M×N（M＜＜N）維的矩陣，它與信號稀疏表示的正交基須不相關(guān)，將測量矩陣與原信號x相乘，獲得M×1維壓縮信號:

如式（2）所示，yM×1是一個(gè)M×1維的向量，即為通過壓縮感知獲得的原信號的觀測值。ΘM×N稱為感知矩陣，其方程個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，是一個(gè)欠定方程，從該方程重構(gòu)原信號一般很難得到準(zhǔn)確解答，但大量的實(shí)驗(yàn)表明，如果s是稀疏信號，且方程的個(gè)數(shù)M和感知矩陣滿足一定條件時(shí)，可以通過重構(gòu)算法得到稀疏解。

感知矩陣必須滿足約束等距性質(zhì)（Restricted Isometry Property，RIP）[10]，如式（3）所示，有K-稀疏信號s，對于任意v∈R和常數(shù)δk∈（0，1），感知矩陣ΘM×N滿足:

Candès指出，準(zhǔn)確重構(gòu)一個(gè)K-稀疏的信號，所需要的測量次數(shù)M要滿足:M=o（kln（n）），滿足這些條件，可通過相關(guān)重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)信號的高概率重構(gòu)。常用的測量矩陣有高斯隨機(jī)矩陣、貝努利矩陣、Toeplitz矩陣等。

1.3 信號重構(gòu)算法

壓縮感知的重構(gòu)是由M個(gè)測量值恢復(fù)出原信號x，由于這是個(gè)欠定方程組，一般使用lo范數(shù)（即向量中非零元素的個(gè)數(shù)）最優(yōu)化求解，如式（4）所示:

Donoho指出，上式的求解是個(gè)NP-hard非凸優(yōu)化問題，需要組合優(yōu)化才能找到最優(yōu)解，當(dāng)N很大時(shí)，這種解法幾乎無法找到最優(yōu)解[11]。在滿足一定條件下，可以用l1范數(shù)代替lo范數(shù)找到方程的最優(yōu)解，轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸優(yōu)化問題，如式（5）所示:

l1范數(shù)求解實(shí)現(xiàn)的算法有內(nèi)點(diǎn)法和梯度投影法。壓縮感知信號重構(gòu)算法較多，其中重構(gòu)速度較快的正交匹配跟蹤算法也受到廣泛關(guān)注，它是貪婪算法的一種，其基本思想是通過迭代從過完備原子庫中選擇與信號最匹配的原子來構(gòu)建稀疏逼近，并通過正交化達(dá)到最優(yōu)迭代，能夠較快地實(shí)現(xiàn)信號的重構(gòu)。

2 試驗(yàn)結(jié)果與分析

應(yīng)用matlab對壓縮感知進(jìn)行重構(gòu)仿真，選擇三類具有代表意義的信號作為仿真原信號，分別為時(shí)域稀疏的超寬帶信號、頻域稀疏的正弦波疊加信號和二維的圖像信號。

2.1 超寬帶信號

超寬帶無線通信技術(shù)，具有抗干擾能力強(qiáng)、低功耗和低成本等優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)已成為無線傳感網(wǎng)、射頻標(biāo)識等領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。以高斯調(diào)制的正弦波脈沖超寬帶信號為例，信號在時(shí)域大部分時(shí)間都為零，也即具有時(shí)域稀疏特性，滿足壓縮感知理論的要求。對超寬帶信號進(jìn)行仿真重構(gòu)，實(shí)驗(yàn)中信號頻率為5GHz，仿真結(jié)果如圖1所示。由圖1可見（為便于觀看，放大了信號時(shí)域圖形），仿真重構(gòu)效果較好，重構(gòu)誤差為2.2576×10-6。

圖1 超寬帶信號與重構(gòu)

2.2 正弦波疊加信號

正弦波信號頻譜單一，是通信和信號處理常用的基本信號，它在頻域具有稀疏特性。以兩個(gè)正弦波疊加信號為例，對其進(jìn)行壓縮感知重構(gòu)。原信號時(shí)域、頻域圖形以及重構(gòu)結(jié)果如圖2和圖3所示，從時(shí)域和頻域圖中可以看出，仿真重構(gòu)效果較好，重構(gòu)誤差為2.9572×10-6。

圖2 兩頻率正弦波疊加信號時(shí)域和頻域圖

圖3 正弦波疊加信號與重構(gòu)

2.3 二維圖像信號

以上2個(gè)實(shí)驗(yàn)都是局限在一維信號，現(xiàn)實(shí)中還有很多高維信號，如二維圖像和三維圖像信號等。圖像信號在小波域分解也具有稀疏特性，滿足壓縮感知理論分析的要求。以二維“House”圖像為例，對其進(jìn)行壓縮感知重構(gòu)實(shí)驗(yàn)。重構(gòu)結(jié)果如圖4所示，重構(gòu)圖像其峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）值為33.648，重構(gòu)圖像清晰，邊界分明，主觀評價(jià)重構(gòu)效果較好。

圖4 二維圖像與重構(gòu)

3 結(jié)束語

壓縮感知是一種新穎的信號采樣處理理論，將信號的采樣與壓縮統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)信號的壓縮采樣。理論分析對可稀疏表示的信號均可通過測量矩陣對信號進(jìn)行壓縮采樣，并通過優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)信號的重構(gòu)。對壓縮感知組成部分:稀疏表示、測量矩陣和重構(gòu)算法進(jìn)行了介紹，并選取三類具有代表意義的超寬帶信號、正弦波疊加信號和二維圖像信號，進(jìn)行仿真分析。通過重構(gòu)實(shí)驗(yàn)可以看出，壓縮感知能夠有效地重構(gòu)原信號，且重構(gòu)誤差理想?？蛇M(jìn)一步研究將壓縮感知應(yīng)用到超寬帶通信、信號處理和圖像處理中，降低采樣的數(shù)據(jù)量，減小高速率和高維信號系統(tǒng)的負(fù)擔(dān)，提高系統(tǒng)的工作效率。

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