楊名宇

（中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，中國(guó)科學(xué)院航空光學(xué)成像與測(cè)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長(zhǎng)春 130033）

1 引 言

自Kass等人提出主動(dòng)輪廓模型［1］以來(lái)，基于曲線演化的形變模型已被廣泛地應(yīng)用于圖像分割、跟蹤等領(lǐng)域。其中，在醫(yī)學(xué)圖像分割領(lǐng)域的成功應(yīng)用［2－6］，使得該模型備受關(guān)注。該模型的優(yōu)點(diǎn)在于將圖像分割問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解泛函的極小值問(wèn)題，并能有效地融合利用圖像自身的低層視覺屬性與對(duì)待分割物體已有的先驗(yàn)知識(shí)，因此可較好地獲得分割區(qū)域的完整表示，在一定程度上克服了傳統(tǒng)非模型分割方法由于自身的局限性使得分割區(qū)域的邊界可能不完整，以及缺乏結(jié)合先驗(yàn)知識(shí)能力等缺陷。Malladi、Caselles等人后又提出幾何主動(dòng)輪廓模型［7－8］，該模型基于曲線演化理論和水平集方法，通過(guò)水平集函數(shù)的零水平集間接的表達(dá)物體輪廓，該方式雖不如參數(shù)主動(dòng)輪廓［7］模型直觀，但易于處理曲線的拓?fù)湫巫儭?/p>

2001年Chan和Vese提出了基于水平集的Chan－Vese模型，該模型一旦初始化后便可自動(dòng)檢測(cè)待分割物體的內(nèi)部輪廓，并且曲線的初始化與位置、梯度無(wú)關(guān)，因此該模型既可在很大程度上減少噪聲的干擾，又適用于待分割物體邊緣模糊甚至不連續(xù)的情況。但上述模型在實(shí)際應(yīng)用中都有共同的缺點(diǎn)，即沒有明確的算法終止條件。目前常用的做法是預(yù)先設(shè)定一個(gè)迭代次數(shù)，但這種做法有其缺點(diǎn)：如果迭代次數(shù)設(shè)置過(guò)小，則不能得到圖像的完整分割；反之如果迭代次數(shù)設(shè)置過(guò)大的話，則不能正確地反映出算法性能，造成計(jì)算資源的浪費(fèi)。因此如何設(shè)置一個(gè)恰當(dāng)?shù)耐Ｖ箺l件對(duì)于此類基于能量泛函最小值的分割顯得至關(guān)重要。

本文提出了一種改進(jìn)的Chan－Vese模型，并給出了該模型相應(yīng)算法的終止條件。實(shí)驗(yàn)表明改進(jìn)后的模型在新的算法終止條件下，分割結(jié)果正確，并且可以大幅減少原始Chan－Vese模型的迭代次數(shù)，且速度更快。

2 曲線演化理論與水平集方法

曲線演化是解決靜止或運(yùn)動(dòng)圖像中分割和目標(biāo)檢測(cè)問(wèn)題的一種有效方法［8－9］。該方法利用閉合曲線或曲面形變的特定規(guī)律，定義度量閉合曲線或曲面形變的能量函數(shù)，最小化此能量函數(shù)可使閉合曲線逐漸逼近圖像中指定的目標(biāo)邊緣。該方法將圖像分割、運(yùn)動(dòng)檢測(cè)轉(zhuǎn)化為求解泛函的極值問(wèn)題，因而有大量成熟的數(shù)學(xué)工具可以直接使用，使得該方法在處理紋理、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的情況下有較好的效果。曲線演化在具體求解中常以偏微分方程的形式來(lái)表達(dá)，其表達(dá)方式可分為顯式和隱式兩類。顯式表達(dá)直接通過(guò)曲線的各種參數(shù)變化來(lái)描述曲線的演化過(guò)程；隱式表達(dá)則通過(guò)隱式函數(shù)來(lái)描述曲線的演化過(guò)程。

水平集方法（Level Set Method）最早由Osher和Sethian［9－10］提出，該方法的基本原理是將運(yùn)動(dòng)界面作為零水平集嵌入到高一維的水平集函數(shù)中，由閉超曲面的演化方程可以得到水平集函數(shù)的演化方程，而嵌入的閉超曲面總是其零水平集，所以最終只要確定零水平集即可確定移動(dòng)界面的演化結(jié)果。經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，水平集方法已經(jīng)在圖像分割、拓?fù)鋬?yōu)化、閉合界面演化等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用［8－10］。

在水平集方法中，二維曲線的演化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三維空間中水平集函數(shù)曲面演化的零水平集求解問(wèn)題［10］，這里的水平集指的是由水平集函數(shù)值相等的點(diǎn)組成的集合。設(shè)φ（t）＝φ（x，y，t）表示t時(shí)刻的二維閉合曲線，引入水平集函數(shù)后，φ（t）被隱式表示為三維空間上一簇具有相同函數(shù)值的曲線，如圖1所示。

圖1 引入水平集后的二維曲線在三維空間表示Fig.1 2Dcurve displayed in 3Dspace with level set

由圖1可知，當(dāng)t＝0時(shí)三維曲線C（x，y，t＝0）即為二維曲線c（x，y），此時(shí)的封閉曲線為零水平集。不斷更新水平集函數(shù)即可實(shí)現(xiàn)隱含在水平集函數(shù)中閉合曲線的演化，而最終水平集函數(shù)的零水平集即為曲線的演化結(jié)果。因此，水平集方法其實(shí)質(zhì)就是將n維空間的問(wèn)題映射到n＋1維空間來(lái)求解，從而避免了因拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化而需做的處理。

在曲線演化過(guò)程中，零水平集上的點(diǎn)始終滿足

對(duì)式（1）兩端對(duì)t求導(dǎo)得：

φ為水平集函數(shù)，Vn為水平集在法線方向上的速度，曲線的內(nèi)外區(qū)域通常用φ≤0和φ＞0來(lái)表示。水平集函數(shù)φ通常初始化為符號(hào)距離函數(shù)，即

其中：設(shè)Ω表示圖像區(qū)域，Ω0為閉合曲線內(nèi)部區(qū)域，?Ω0為閉合曲線的邊界。d（x，y）表示點(diǎn)x和點(diǎn)y的歐氏距離。

3 Chan－Vese模型

Mumford－Shah模型（以下簡(jiǎn)稱 M－S模型）是20世紀(jì)80年代提出并被廣泛使用研究的一種圖像處理模型［11］，該模型通過(guò)求解一個(gè)廣義能量泛函的最小值將圖像分割、噪聲去除和圖像重建三個(gè)問(wèn)題巧妙的融合在一起。Mumford和Shah認(rèn)為，可以通過(guò)最小化下述泛函得到圖像的一個(gè)分段光滑的近似：

其中：Ω是圖像定義域，u0為實(shí)際觀察到的圖像，C是圖像u0邊緣的連續(xù)封閉曲線，u是u0的分段光滑近似。第一項(xiàng)是長(zhǎng)度規(guī)整項(xiàng)，第二項(xiàng)是能量項(xiàng)，第三項(xiàng)是面積平滑項(xiàng)。

通過(guò)求解式（3）的最小值，可以一次性地實(shí)現(xiàn)圖像的分割、去噪和重建；而且，由于該模型不依賴于圖像的梯度信息，因此對(duì)具有弱邊界、甚至不連續(xù)邊界的圖像也能有較好的分割效果。

但由于M－S模型在具體求解中存在較大難度，因此眾多學(xué)者分別提出了簡(jiǎn)化的M－S模型。Chan和Vese提出將原圖像分成兩個(gè)分段光滑的區(qū)域，并用每個(gè)區(qū)域的均值來(lái)表示該區(qū)域［12］，同時(shí)省略了M－S模型中的面積項(xiàng)，模型如下：

結(jié)合水平集方法，設(shè)Ф是根據(jù)初始輪廓線C構(gòu)造的水平集函數(shù)，即｛C｜Φ（x，y）＝0｝，式（4）可寫成：

式（5）關(guān)于Φ的梯度下降方程為：

由于Chan－Vese模型采用了非緊支且光滑的Hε來(lái)近似H，故式（6）與下式具有相同的靜態(tài)解：

而式（7）又是式（8）對(duì)應(yīng)的梯度下降方程：

由于式（8）是關(guān)于Φ的一次齊次函數(shù)，一般來(lái)說(shuō)不存在最小值，即隨著演化的持續(xù)，水平集函數(shù)Φ將趨于＋∞或－∞。因此，Chan和Vese提出了將水平集函數(shù)Φ約束在［0，1］以求取式（6）的最小值［13－14］的方法。

4 改進(jìn)的Chan－Vese模型

與上述出發(fā)點(diǎn)不同，新模型不是對(duì)Φ的取值范圍加以約束，而是通過(guò)對(duì)原Chan－Vese模型進(jìn)行改動(dòng)，從而得到算法的終止條件。從Chan－Vese模型式（5）中可以看出，由于Heaviside函數(shù)的特性，只有當(dāng)水平集函數(shù)Φ改變符號(hào)時(shí)，才會(huì)對(duì)最小化有影響。因此，當(dāng)演化曲線附著在物體的外層輪廓時(shí)，水平集函數(shù)Φ在下一步?jīng)]有改變符號(hào)，此時(shí)算法就會(huì)終止。因此，本文提出如下改進(jìn)的Chan－Vese模型：

通過(guò)在原Chan－Vese模型中加入（ε＋φ）與（ε－φ），可以明確地反映出在每一次迭代中能量項(xiàng)的變化，同時(shí)，還可以加快模型的收斂速度；其中ε為一小正數(shù)，作用在于控制Φ的大小。Hε（α＋Φ）和Hε（α－Φ）為 Heaviside函數(shù)的一個(gè)變形，即在原始Chan－Vese模型的Hε（Φ）和Hε（－Φ）分別加上正常數(shù)α。由于Heaviside函數(shù)的二值性，所以加入正常數(shù)α可以使Hε（α＋Φ）中的Φ當(dāng)Φ＞－α?xí)r，隨著曲線的演化逐漸趨近于－α；同理，可以使Hε（α－Φ）中的Φ當(dāng)Φ＜α?xí)r，隨著曲線的演化逐漸趨近于α。故改進(jìn)后的能量項(xiàng)將水平集函數(shù)Φ的取值范圍約束在［－α，α］，隨著曲線的演化，Φ將趨向于－α或α，即｜Φ｜將趨近于α。這樣，算法的終止條件（Stop Criterion）可以通過(guò)下式來(lái)確定：

其中：｜·｜2表示2范數(shù)，此處定義矩陣設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為Δt，可得如下迭代方程：

A＝（αij）的2范數(shù)為

對(duì)于式（9）的求解，首先固定Φ，可得c1，c2如下：

再由梯度下降法可得關(guān)于φ的偏微分方程，形式如下：

其中：Hε為正則化的 Heaviside函數(shù)，δε為正則化的Dirac函數(shù)，即Heaviside函數(shù)之導(dǎo)數(shù)，表示分別如下：

使用有限差分的隱式策略求解式（14），（15）。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

下面的實(shí)驗(yàn)對(duì)比Chan－Vese算法和本文方法對(duì)同一幅圖像的分割效果。實(shí)驗(yàn)環(huán)境：CPU為Intel T5500，內(nèi)存1G，軟件平臺(tái)為 Matlab 7.0，操作系統(tǒng)為 Windwos XP SP3。在以下實(shí)驗(yàn)中，λ1和λ2均取作0.5，ε取作0.01，α取作3。

圖2 Chan－Vese模型與本文模型分割結(jié)果對(duì)比Fig.2 Comparison between Chan－Vese model and proposed model

圖2是對(duì)一幅合成圖像的分割實(shí)驗(yàn)，其中圖2（a）是原始圖像及初始輪廓。這里，初始輪廓Φ取作以圖像中心為分界，左邊為－1，右邊為1，圖像尺寸為200×200；圖2（b）為Chan－Vese模型的分割結(jié)果，迭代次數(shù)為84次；圖2（c）為新模型的分割的效果。由圖中可以看出，該圖像兩種方法的分割效果類似，但新模型在其停止條件下，僅用了18次迭代便自動(dòng)停止。

圖3 Chan－Vese模型與本文模型分割結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison between Chan－Vese model and proposed model

圖3是一幅人體腳骨的圖像，其中圖3（a）是原始圖像及初始輪廓。這里，初始輪廓Φ簡(jiǎn)單的取作以圖像中心為分界，左邊為－1，右邊為1，圖像尺寸為150×125；圖3（b）為Chan－Vese模型的分割結(jié)果，迭代次數(shù)為184次；圖3（c）為新模型分割的效果?？梢钥闯?，Chan－Vese模型在局部出現(xiàn)了一些錯(cuò)誤，相比之下，新模型的分割結(jié)果更為準(zhǔn)確，且在新的停止條件下，僅用了24次迭代便自動(dòng)停止。表1給出了Chan－Vese模型與本文方法的迭代次數(shù)與運(yùn)行時(shí)間對(duì)比，可以看出，對(duì)于圖2和圖3來(lái)說(shuō)，新模型的收斂速度比Chan－Vese模型快3～6倍。

表1 Chan－Vese方法與新方法迭代次數(shù)和運(yùn)行時(shí)間對(duì)比Tab.1 Comparison of iteration number and running timebetween Chan－Vese method and proposed method

6 結(jié) 論

針對(duì)基于水平集方法的圖像分割沒有統(tǒng)一、明確的算法終止條件，本文提出一種改進(jìn)的Chan－Vese模型，并在此基礎(chǔ)上明確給出了相應(yīng)算法的終止條件。在新的算法終止條件下，無(wú)需手工設(shè)定迭代次數(shù)，擴(kuò)大了算法的實(shí)用性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新模型在新的終止條件下，分割結(jié)果正確，與傳統(tǒng)Chan－Vese模型相比，新模型的手鏈速度比Chan－Vese模型快3～6倍，并且具有較好魯棒性。進(jìn)一步的研究將集中在水平集函數(shù)初始化方面。

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