孫永明，吳 謹(jǐn)，劉 勁

（武漢科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430081）

1 引 言

圖像融合是將多個(gè)傳感器獲得的某一場(chǎng)景的多幅圖像進(jìn)行綜合，以獲得信息更豐富、更符合人眼視覺(jué)特性或更適于計(jì)算機(jī)處理的新圖像。其應(yīng)用已遍及機(jī)場(chǎng)導(dǎo)航、安全監(jiān)控、醫(yī)學(xué)成像與診斷、機(jī)器視覺(jué)、智能交通、工業(yè)過(guò)程及軍事等領(lǐng)域。當(dāng)前大多數(shù)圖像融合研究工作主要集中在像素級(jí)，像素級(jí)圖像融合存在中間環(huán)節(jié)數(shù)據(jù)量大、存儲(chǔ)空間大、實(shí)時(shí)性差等缺點(diǎn)?；趬嚎s感知（Compressed Sensing，CS）的圖像融合技術(shù)由于其只對(duì)少量的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，解決了中間環(huán)節(jié)數(shù)據(jù)量大的問(wèn)題。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)基于壓縮感知的圖像融合中的采樣模式、測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)、重構(gòu)算法以及融合規(guī)則問(wèn)題進(jìn)行了探索研究。文獻(xiàn)［1］比較了3種壓縮采樣模式對(duì)壓縮感知重建性能的影響，并進(jìn)行了圖像融合仿真實(shí)驗(yàn)，在采樣率為50%時(shí)仍有較好的融合結(jié)果。文獻(xiàn)［2］提出了一種基于雙放射狀采樣模式的壓縮感知圖像融合算法，在相同采樣率下比單放射狀采樣模式的融合效果要好。文獻(xiàn)［3］提出了一種基于特征值分解減小Gram矩陣的整體互相關(guān)系數(shù)的測(cè)量矩陣優(yōu)化方法，在優(yōu)化速度和重建效果方面都有一定的優(yōu)勢(shì)。由于高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣硬件實(shí)現(xiàn)起來(lái)比較困難。因此，設(shè)計(jì)一種易于硬件實(shí)現(xiàn)的測(cè)量矩陣是基于CS圖像融合的重要問(wèn)題。

測(cè)量矩陣主要有高斯隨機(jī)矩陣、循環(huán)矩陣和哈達(dá)瑪矩陣。其中高斯隨機(jī)矩陣最為常用，但由于其不確定性使得硬件實(shí)現(xiàn)比較困難；循環(huán)矩陣?yán)诖鎯?chǔ)和硬件實(shí)現(xiàn)，但是效果較差，需要對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化；哈達(dá)瑪矩陣效果最好且易于硬件實(shí)現(xiàn)，但N 必需滿足N＝2k，k＝1，2，3…，限制了其應(yīng)用范圍。針對(duì)以上問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)了一種由－1，0和1構(gòu)成的測(cè)量矩陣，并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，其優(yōu)點(diǎn)是易于硬件實(shí)現(xiàn)，重構(gòu)效果較好且不受圖像大小限制。

2 壓縮感知基本原理

壓縮感知理論是Candes、Donoho和Tao等人于2004年提出的一種新的信息獲取理論，與傳統(tǒng)的壓縮如文獻(xiàn)［4］中所述的壓縮有所不同，其核心思想是在信號(hào)采樣的同時(shí)實(shí)現(xiàn)信息的壓縮，它突破了奈奎斯特2倍最低采樣頻率的限制。該理論指出，若信號(hào)在某個(gè)變換域是稀疏的或可壓縮的，就可以利用與變換矩陣非相關(guān)的測(cè)量矩陣將變換系數(shù)投影為低維觀測(cè)向量。這種投影保持了重建信號(hào)所需的信息，通過(guò)進(jìn)一步求解稀疏最優(yōu)化問(wèn)題就能夠從低維觀測(cè)向量精確地或高概率地重建原始高維信號(hào)。因此，將壓縮感知理論用于圖像融合，在壓縮域?qū)ι倭康木€性測(cè)量值進(jìn)行融合，然后對(duì)融合的測(cè)量值進(jìn)行重構(gòu)，這在很大程度上減少了數(shù)據(jù)量和對(duì)存儲(chǔ)空間的需求。

假設(shè)圖像信號(hào)X∈RN×N，它的稀疏基為Ψ∈CN×N，ΨΨH＝ΨHΨ＝I，其中I為單位矩陣。利用稀疏基Ψ對(duì)X進(jìn)行稀疏變換，可以得到X在Ψ域的等價(jià)表示Θ＝ΨX。

對(duì)X稀疏變換后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)合理的測(cè)量矩陣Φ∈ZM×N，M＜N，實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)X的觀測(cè)取樣，獲得觀測(cè)值Y，其大小為M×N。即：

測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)的目的是如何采樣得到M個(gè)觀測(cè)值，并保證從少量觀測(cè)值中有效重構(gòu)出長(zhǎng)度為N的高維度信號(hào)X，或其等價(jià)表示Ψ域下的稀疏向量值。由于觀測(cè)集合Y的數(shù)量小于原始信號(hào)X的維數(shù)，因此重構(gòu)信號(hào)X變成了一個(gè)求解欠定性方程組的問(wèn)題，不易求解。但當(dāng)Φ×Ψ滿足有限等距特性（Restricted Isometry Property，RIP）［5－6］時(shí)，欠定性方程組的求解問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為l0范數(shù)的最優(yōu)化求解問(wèn)題：

RIP給出了上式高概率重構(gòu)的條件。因此，Φ×Ψ必須滿足RIP條件。而Φ×Ψ是否滿足RIP條件由Φ和Ψ間的相關(guān)性決定，如果不相關(guān)，則Φ×Ψ 具有RIP性質(zhì)的概率很高［7］。CS理論的框架如圖1所示。

圖1 CS理論框架Fig.1 CS theoretical framework

3 測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)與優(yōu)化方法

設(shè)D＝ΦΨ，其中Φ為測(cè)量矩陣，Ψ為稀疏變換矩陣。設(shè)D～表示對(duì)D進(jìn)行列單位化之后的矩陣，則稱G＝D～TD～為 Gram 矩陣［8］。為了達(dá)到較好的重構(gòu)效果，測(cè)量矩陣Φ和稀疏變換矩陣Ψ的相關(guān)性必須要小，即使得D＝ΦΨ有很小的列相關(guān)系數(shù)，即Gram矩陣的非對(duì)角線元素盡可能為零。互相關(guān)系數(shù)μ可以定義為Gram矩陣所有非對(duì)角線元素的絕對(duì)值之和，即

其中：g（i，j）是 Gram 矩陣的元素。

本文對(duì)測(cè)量矩陣的優(yōu)化采用模擬退火法，該方法減小互相關(guān)系數(shù)的核心思想是：按一定的規(guī)則改變測(cè)量矩陣的每一個(gè)元素值，求得改變后相應(yīng)的互相關(guān)系數(shù)；如果互相關(guān)系數(shù)變小，則以一定的概率p（本文中p＝0.5）改變?cè)撛刂?；否則，保持不變。

Φ生成算法具體步驟如下：

步驟1：生成一個(gè)只含有－1、0和1的向量a，長(zhǎng)度為N；

步驟2：對(duì)向量a以步長(zhǎng)1循環(huán)移位N次得到向量序列a1，a2…aN得到初始測(cè)量矩陣Φ＝［a1，a2…aN］T，大小為 N×N；

步驟3：根據(jù)式（3）計(jì)算 Gram 矩陣G＝D～TD～的相關(guān)系數(shù)μ0；

步驟4：依次將0變?yōu)?求得相應(yīng)Gram矩陣的相關(guān)系數(shù)μ1，將0變?yōu)椋?求得相應(yīng)Gram矩陣新的相關(guān)系數(shù)μ－1；令μnew＝min（μ1，μ－1），如果μnew大于μ0，保持0值不變；否則，如果μ1小于μ－1，將0變?yōu)?，如果μ1大于μ－1，將0變?yōu)椋?。

4 基于壓縮感知的圖像融合

基于壓縮感知圖像融合的核心思想是在壓縮域?qū)ι倭康臏y(cè)量值進(jìn)行融合，然后對(duì)融合得到的測(cè)量值進(jìn)行重構(gòu)，以達(dá)到減小中間計(jì)算量的目的。

本文基于壓縮感知的圖像融合方案：

（1）對(duì)兩幅源圖像f1和f2分別進(jìn)行小波變換，得到小波系數(shù)F1和F2；

（2）分別對(duì)其小波系數(shù)F1和F2進(jìn)行測(cè)量取值，得到測(cè)量值Z1和Z2；

（3）按照系數(shù)絕對(duì)值取大法進(jìn)行融合，得到融合后的測(cè)量值Z；

（4）采用正交匹配追蹤 （Orthogonal Matching Pursuit）算 法［9］重構(gòu)出融合后的小波系數(shù)F；

（5）進(jìn)行小波逆變換，得到融合后的圖像f。其框圖如圖2所示。

圖2 基于CS圖像融合框圖Fig.2 Image fusion framework based on CS theory

5 實(shí)驗(yàn)仿真

5.1 測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)及優(yōu)化實(shí)驗(yàn)

選取標(biāo)準(zhǔn)Lena圖像（256×256），由3中所提出的方法構(gòu)造出大小為190×256的測(cè)量矩陣，測(cè)量矩陣優(yōu)化前后的重構(gòu)圖像峰值信噪比（PSNR）如圖3所示。

圖3 優(yōu)化前后PSNR值Fig.3 PSNR values before and after optimization

優(yōu)化前后重構(gòu)圖像PSNR的均值μ和方差σ如表1所示。重構(gòu)圖像的平均PSNR較優(yōu)化前提高了8.232 5dB。方差近似為零表明優(yōu)化后的該測(cè)量矩陣能保證圖像具有較穩(wěn)定的重構(gòu)結(jié)果。

表1 優(yōu)化前后PSNR的均值和方差Tab.1 Mean value and variance of PSNR before and after optimization

5.2 圖像融合實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)選取大小為512×512的Clock和Pepsi左右聚焦圖像，采樣率為50%的情況下，分別用高斯測(cè)量矩陣和本文測(cè)量矩陣進(jìn)行CS圖像融合，得到融合圖像的峰值信噪比（PSNR）、空間頻率（SF）、平均梯度（G）［10］如表2和表3所示，融合效果如圖4和圖5所示。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)和融合效果圖都可以可以看出，本文測(cè)量矩陣基本能夠達(dá)到高斯測(cè)量矩陣的性能，取得了較好的融合效果。

圖4 Clock圖像融合結(jié)果Fig.4 Fusion results of Clock image

表2 Clock圖像融合評(píng)價(jià)指標(biāo)Tab.2 Evaluation index of Clock image fusion

表3 Pepsi圖像融合評(píng)價(jià)指標(biāo)Tab.3 Evaluation index of Pepsi image fusion

圖5 Pepsi圖像融合結(jié)果Fig.5 Fusion results of Pepsi image

6 結(jié) 論

針對(duì)隨機(jī)測(cè)量矩陣的不確定性和硬件實(shí)現(xiàn)難度大的問(wèn)題，本文設(shè)計(jì)的測(cè)量矩陣僅含有－1、0和1三個(gè)值，其優(yōu)點(diǎn)是易于硬件實(shí)現(xiàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的該測(cè)量矩陣取得了不錯(cuò)的重構(gòu)效果。將該測(cè)量矩陣用于基于壓縮感知的圖像融合，在采樣率僅為50%的情況下仍能取得較好的融合效果。

［1］ Wan T，Canagarajah N，Achim A.Compressive image fusion ［C］／／Processing of the International Conference on Image Processing，California，USA：IEEE Press，2008：1308－1311.

［2］ 黃曉生，戴秋芳，曹義親一種基于小波稀疏基的壓縮感知圖像融合算法［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2012，29（9）：2581－2583.Huang X S，Dai Q F，Cao Y Q.Compressive sensing image fusion algorithm based on wavelet sparse basis ［J］.Application Research of Computers，2012，29（9）：2581－2583.（in Chinese）

［3］ 趙瑞珍，秦周，胡紹海.一種基于特征值分解的測(cè)量矩陣優(yōu)化方法［J］.信號(hào)處理，2012，28（5）：653－657.Zhao R Z，Qin Z，Hu S H.An optimization method for measurement matrix based on eigenvalue decomposition［J］.Signal Processing，2012，28（5）：653－657.（in Chinese）

［4］ 殷亞男，王曉東，李丙玉.基于預(yù)測(cè)和JPEG2000的MODIS紅外輻射多光譜圖像無(wú)損壓縮算法［J］.液晶與顯示，2013，28（6）：922－926.Yin Y N，Wang X D，Li B Y.Lossless compression method based on prediction and JPEG2000for MODIS emissive IR bands multispectral image［J］.Chinese Journal of Liquid Crystals and Displays，2013，28（6）：922－926.（in Chinese）

［5］ Donoho D.Compressed sensing［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（4）：1289－1306.

［6］ Candes E，Tao T.Robust uncertainty principles：exact signal reconstruction from highly incomplete information［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（2）：489－509.

［7］ 鄭萬(wàn)澤，何勁，魏星，等.基于Contourlet變換的圖像壓縮感知重構(gòu)［J］.計(jì)算機(jī)工程，2012，38（12）：194－196.Zheng W Z，He J，Wei X，et al.Image compressive sensing reconstruction based on contourlet transform ［J］.Computer Engineering，2012，38（12）：194－196.（in Chinese）

［8］ Abolghasemi V，F(xiàn)erdowsi S，Sanei S.A gradient－based alternating minimization approach for optimization of the measurement matrix in compressive sensing［J］.Signal Processing，2012（92）：999－1009.

［9］ Needell D，Vershynin R.Uniform uncertainty principle and signal recovery via regularized orthogonal matching pursuit［J］.Foundations of Computational Mathematics，2007，9（3）：317－334.

［10］ 傅瑤，孫雪晨，薛旭成，等.基于非下采樣輪廓波變換的全彩色圖像與多光譜圖像融合方法研究［J］.液晶與顯示，2013，28（3）：429－433.Fu Y，Sun X C，Xue X C，et al.Panchromatic and multispectral image fusion method based on nonsubsampled contourlet transform ［J］.Chinese Journal of Liquid Crystals and Displays，2013，28（3）：429－433.（in Chinese）