周顏萍

在學(xué)習(xí)的過程中，同學(xué)們對于概率知識(shí)并不陌生，因?yàn)槲覀儚男W(xué)就開始體驗(yàn)事件發(fā)生的等可能性、游戲規(guī)則的公平性，并能計(jì)算一些簡單事件發(fā)生的可能性. 進(jìn)入初中以后，我們在具體情景中開始了解概率的意義，初步了解頻率與概率的關(guān)系. 但是多數(shù)同學(xué)只記住了用列舉法求隨機(jī)事件的概率，甚至相當(dāng)一部分同學(xué)認(rèn)為隨機(jī)事件都是等可能事件，以為解決概率問題都可以套公式計(jì)算. 另外，同學(xué)們往往只知道用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率估算概率，并不清楚頻率和概率之間的區(qū)別. 下面我們就一起來看看頻率和概率之間到底有什么關(guān)系吧！

在多次隨機(jī)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，如果事件A出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)q，并且0≤q≤1，則在數(shù)學(xué)上我們定義事件A的概率為 p，記作P（A）=q，稱之為概率的統(tǒng)計(jì)定義. 概率的統(tǒng)計(jì)定義提供了一個(gè)具體值，并且在試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)n較大時(shí)，可用頻率給出概率的一個(gè)近似值，這是概率統(tǒng)計(jì)定義最有價(jià)值的地方. 由于教材的限制以及初中生的認(rèn)知水平等原因，理解概率的統(tǒng)計(jì)定義是一個(gè)難點(diǎn)，如下問題很值得我們探究：①定義中說到的存在“某個(gè)常數(shù)”到底是一個(gè)怎樣的數(shù)？②能夠求出這個(gè)常數(shù)嗎？③既然存在著這個(gè)常數(shù)，為什么又要求這個(gè)常數(shù)的近似值呢？④定義中的“穩(wěn)定于”該怎樣去理解呢？

要解決上述問題，首先必須了解概率的統(tǒng)計(jì)定義的基本內(nèi)容和其中的一些關(guān)鍵詞語，充分理解概率的統(tǒng)計(jì)概念的內(nèi)涵.

1. 頻率穩(wěn)定于概率是對大量的試驗(yàn)而言的

概率論里研究的隨機(jī)試驗(yàn)，可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行，如果某個(gè)試驗(yàn)只能進(jìn)行一次，那么某一事件A要么肯定會(huì)發(fā)生，要么就不會(huì)不發(fā)生，在這樣的條件下得出的結(jié)果根本無隨機(jī)性可言，更談不上發(fā)生的可能性的大小了. 事實(shí)上，頻率穩(wěn)定于概率這個(gè)結(jié)論是針對大量的試驗(yàn)而言的. 如果在試驗(yàn)次數(shù)不多的前提下，用頻率來估計(jì)概率是不太合適的. 例如，只做了10次拋擲均勻硬幣的試驗(yàn)，其中有7次正面朝上，就認(rèn)為正面朝上的概率大約為0.7，其誤差就較大了，所以頻率穩(wěn)定于概率是對大量的實(shí)驗(yàn)而言的.

2. 頻率與概率既有密切的聯(lián)系，又有本質(zhì)的區(qū)別

由于概率是通過大量重復(fù)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的，所以在利用概率思想進(jìn)行決策時(shí)，會(huì)產(chǎn)生理解上的困難. 因此，只有深刻理解概率與頻率的關(guān)系以及概率與頻率的本質(zhì)區(qū)別，才能正確理解概率的意義.

（1） 概率是隨機(jī)事件的本質(zhì)屬性，完全決定于事件的本身，是先于試驗(yàn)而客觀存在的，它不會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加而發(fā)生變化. 如拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面向上的概率是0.5，與做多少次試驗(yàn)無關(guān).

（2） 頻率是個(gè)隨機(jī)變化的數(shù)值，在開始試驗(yàn)之前是不能確定的，事件發(fā)生的頻率反映在n次重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果和總的試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)，即重復(fù)試驗(yàn)的總次數(shù)n不同，結(jié)果（頻率）可能不同，而且即使重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n相同，事件出現(xiàn)的次數(shù)k也可能不同，結(jié)果（頻率）也就可能不同. 頻率是一個(gè)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加可能發(fā)生變化的統(tǒng)計(jì)量.

（3） 在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率會(huì)趨近于概率. 在實(shí)際問題中，通常在某隨機(jī)事件概率未知的前提下，我們正是通過多次重復(fù)試驗(yàn)，求得隨機(jī)事件的頻率，并用它來估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率.

（4） 事件發(fā)生的頻率客觀上能夠體現(xiàn)事件概率的含義，即在多次重復(fù)試驗(yàn)中，一個(gè)事件發(fā)生的頻率越大，說明在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的可能性越大； 如果重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率越小，說明該事件再一次試驗(yàn)發(fā)生的可能性越小. 反過來，事件發(fā)生的概率也應(yīng)該體現(xiàn)在事件的頻率上，即事件的概率越大，在重復(fù)試驗(yàn)中，該事件發(fā)生得越頻繁，頻率也越大； 同樣如果事件A的概率較小，它在重復(fù)試驗(yàn)中的頻率也較小. 這說明概率的現(xiàn)實(shí)意義是可以用頻率來解釋的，它能幫助人們做出合理的決策，但這并不意味著可以用頻率來代替概率.

（5） 盡管某個(gè)事件發(fā)生的概率較大，也就是說該事件發(fā)生的可能性較大，但是，在一次或幾次試驗(yàn)中該事件也可能不發(fā)生. 同樣，盡管某個(gè)事件的概率較小，但是在一次試驗(yàn)中該事件也可能發(fā)生. 這正是事件的隨機(jī)性與概率的確定性的區(qū)別. 概率只是一種理論上的推斷事件發(fā)生可能性的大小，并不是真實(shí)發(fā)生的結(jié)果，如在購買彩票的過程中，購買一張彩票中特等獎(jiǎng)的概率很小，但不意味著就一定不會(huì)中獎(jiǎng).

3. “穩(wěn)定于”的實(shí)際意義

頻率“靠近”概率是可以直接觀察到的一種客觀現(xiàn)象，而通過實(shí)踐又可以證實(shí)，概率很接近1的事件在一次試驗(yàn)中幾乎一定會(huì)發(fā)生，這就是為什么可以“用頻率估計(jì)概率”的理由.

4. 定義中的“常數(shù)”本質(zhì)是一種理論上的推斷

概率實(shí)際上是頻率的科學(xué)抽象. 在概率的統(tǒng)計(jì)定義中，只說到存在“某個(gè)常數(shù)”，并沒有說到如何求這個(gè)常數(shù)，即求概率值. 無論是誰去拋一枚均勻的硬幣，在試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，正面朝上的頻率，都會(huì)在常數(shù)0.5附近擺動(dòng). 在大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，正面朝上和反面朝上的比例約為1∶1，古今中外的多次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果中，這一比值大致相同，這個(gè)結(jié)果是不會(huì)以人的意志為轉(zhuǎn)移的. 這些事實(shí)讓我們相信，事件發(fā)生的概率是客觀存在的. 但無論是根據(jù)概率的統(tǒng)計(jì)定義或公理化定義，我們都是在承認(rèn)事件發(fā)生的概率是客觀存在的前提下進(jìn)行的. 因此，隨機(jī)事件的概率本質(zhì)上是以大量隨機(jī)試驗(yàn)為基礎(chǔ)，然后在此基礎(chǔ)上的一種理論上的推斷，也就是說概率實(shí)際是頻率在理論上的一種期望值，這個(gè)理論上的期望值，嚴(yán)格來說是無法通過具體試驗(yàn)精確地確定的，即使重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)再多也不能做到，因此我們只能由此粗略地確定一個(gè)近似值. 當(dāng)然，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，我們可以得到比較接近準(zhǔn)確值的“近似值”，而在實(shí)踐中，較高精度的近似值可以幫助我們來進(jìn)行判斷和分析.

5. 實(shí)驗(yàn)次數(shù)越多，頻率就會(huì)越接近概率的說法不一定正確

用頻率估計(jì)概率，有人認(rèn)為“試驗(yàn)次數(shù)越多，用頻率估計(jì)概率就越準(zhǔn)確”. 這樣的敘述嚴(yán)密嗎？極端特例： 擲一枚硬幣兩次，得到正面朝上的頻率為0.5，而擲1 000次硬幣，理論上仍有可能得到頻率為1. 說明“試驗(yàn)次數(shù)越大，估計(jì)就越準(zhǔn)確”，這樣的表述不嚴(yán)密.

隨機(jī)現(xiàn)象有其偶然性一面，也有其必然性一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復(fù)試驗(yàn)中呈現(xiàn)出的固有規(guī)律，我們稱之為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律. 因而在一般情形下，觀察與試驗(yàn)是認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象和發(fā)現(xiàn)與解決概率問題的一種有效方法.

（作者單位：江蘇省常州鐘樓實(shí)驗(yàn)中學(xué)）