孫克己

(上海機床廠有限公司 上海200093)

由上海機床廠有限公司承擔的國家基礎制造業(yè)科技重大專項——大型數控切點跟蹤曲軸磨床(MK8280/SD-H)已取得實質性的進展。為了與讀者共享這一科技成果，筆者打算連續(xù)撰文介紹研發(fā)心得與經驗，以饗讀者。

采用切點跟蹤法加工曲軸連桿頸，工件和砂輪架必須按照一定的數學模型運動，才能實現連桿頸輪廓的有效磨削。在磨削過程中，砂輪與連桿頸外圓始終保持相切。連桿頸圍繞工件軸線作圓周運動，砂輪架同時進行周期性的往復直線運動，所以，切點位置時時在變。工件旋轉一周，所有切點在連桿頸表面剛好形成了一條封閉的圓周曲線，但切點在三維空間形成的軌跡卻是一條近似的橢圓。

切點跟蹤磨削運動軌跡是工件回轉軸(頭架C1軸和尾架 C2軸)與砂輪架進給軸(X軸)聯動形成的，其磨削過程不同于一般的外圓磨削。其運動模型由兩個部分組成，即以頭尾架(裝載著工件)轉角為自變量的方程[2]

式(1)中，α為頭尾架(或工件）同步運動的轉角；ω為頭尾架(或工件)同步回轉運動的角速度；X為砂輪架作往復直線跟隨運動的位移。

為了建立運動控制模型，需要對 C1軸和 C2軸與 X軸間的運動規(guī)律以及運動控制方法進行研究。以曲軸連桿頸切點跟蹤磨削運動模型為基礎，尋找滿足伺服系統性能和連桿頸加工精度要求的運動控制方法，從而達到大型曲軸切點跟蹤磨削高精度、高效率的加工要求。

1 曲軸恒轉速磨削時磨削點的運動學分析

在切點跟蹤磨削中，連桿頸輪廓是由砂輪跟隨曲軸的回轉運動，在磨削過程中始終與連桿頸相切而形成的。連桿頸切點跟蹤磨削運動如圖1所示。

圖1 連桿頸切點跟蹤磨削運動示意圖

曲軸連桿頸繞主軸頸中心O旋轉，砂輪架沿X軸作往復直線跟蹤運動，實現曲軸連桿頸的磨削，磨削點坐標的軌跡方程可描述為

式(2)中，R為連桿頸偏心距；Rw為連桿頸半徑；Rs為砂輪半徑；(Xi，Yi)為磨削點相對于曲軸回轉中心O的直角坐標；Os為砂輪中心，Ow為連桿頸中心，α為OOw與OOs的夾角；β為OsOw與OOs的夾角；Ф為磨削點經過的圓弧所對應的角度。

從圖1中可以看出，X軸的原點為工件的回轉中心，即在曲軸主軸頸的軸線上。這樣，由式(1)建立的幾何關系可以推導出砂輪中心的運動方程(即 OOs距離)為

在任意時刻，X軸往復直線跟蹤運動的速度vx為

對某一具體的曲軸和確定直徑的砂輪，式(4)中除 α是變量外，其余的全是常量。因此，式(4)可改寫為

式(5)中，k是與α有關的變系數。

若曲軸以恒定轉速n(r/min)回轉時，對任意時刻曲軸的角速度ω和曲軸在t時刻，其轉角α有以下的關系:

由式(6)可知，當工件轉速恒定時，為

X軸的運動速度由變系數k(α)和工件轉速n來確定。

式(4)、(6)、(7)構成了基于工件恒轉速的切點跟蹤磨削運動控制模型。在進行磨削試驗時，發(fā)現這種模型雖然簡單，但很不完美，如不加以改進，就很難磨出理想圓度的連桿頸。分析原因如下:

圖2為曲軸以恒定轉速回轉時的切點跟蹤磨削連桿頸的過程。從圖2中不難看出，曲軸的恒轉速運動并沒有帶來連桿頸上磨削切點(以 Ow為中心)的恒角速度運動，相反，切點(以 Ow為中心)的角速度是時變的。這樣會產生連桿頸表面各點磨除率不一樣的問題，從而影響磨削精度和圓度。歸納起來，有以下幾個方面的問題:

圖2 工件恒轉速切點跟蹤磨削示意圖

首先，當曲軸轉角從0°運動到90°時，磨削點沿連桿頸表面從 A1運動到 A2，磨削了連桿頸上弧線段A1A2；當曲軸轉角從90°運動到180°時，磨削點沿連桿表面從 A2運動到 A3，磨削了連桿頸上弧線段A2A3；當曲軸轉角從180°運動到270°時，磨削點沿連桿表面從A3運動到A4，磨削了連桿頸上弧線段A3A4；當曲軸轉角從270°運動到360°時，磨削點沿連桿表面從A4運動到A1，磨削了連桿頸上弧線段A4A1，這樣就完成了連桿頸一個周期的磨削。從圖 2中可以看出，當轉角為90°時，A1A2弧明顯比A2A3弧長。由此可見，砂輪在各切點處的磨削時間是不同的。通過磨削試驗還知道，砂輪直徑越小，則各切點磨削時間變化越大。為了克服這一效應，在切點跟蹤磨床中采用了直徑較大的砂輪(如 MK8280/SD-H采用的是直徑為1600mm的大砂輪)。

其次，連桿頸上各切點的相對磨削速度不相等。當轉角 α=0°時，切點上連桿頸的運動方向與砂輪的運動方向剛好相反；當轉角α=180°時，切點上連桿頸的運動方向與砂輪的運動方向相同；當轉角α處于其它位置時，切點上連桿頸的運動方向與砂速的運動運動成一角度。由此可見，曲軸在以恒定轉速回轉時，連桿頸上各磨削點的相對磨削速度是不相等的。

再者，在連桿頸位于不同轉角時，切點的速度和大小時時在改變，造成了磨削時的切向力和法向力也在改變。加之在不同的轉角位置，曲軸的剛度也不盡相同，所有這些因素都會導致砂輪實際切入深度發(fā)生變化，從而明顯影響加工精度，尤其影響連桿頸的圓度。

從以上分析得知，若不加適當的處理，切點跟蹤磨削是不能簡單地直接采用工件以恒轉速運動控制方式的，特別是小規(guī)格的隨動磨床，如轎車曲軸磨床。要想獲得較高的磨削精度、理想的工件圓度和滿意的表面質量，曲軸應考慮采用變速回轉運動控制方式。但這種傳動方式對曲軸的機械傳動機構和伺服控制要求很高。傳動鏈應盡可能地簡潔，否則減速機構固有的反向間隙和重復定位精度偏差不但會給采用頭尾架雙軸驅動的同步運行造成麻煩，而且還會顯著地影響伺服軸變速回轉運動的動態(tài)特性，甚至會在被磨工件的表面上產生各種缺陷。另外，要想數控軸獲得好的時域和頻域響應，對伺服軸的優(yōu)化也非常重要，必須認真仔細地做好C軸、X軸等伺服軸的速度環(huán)和位置環(huán)的優(yōu)化，使相關數控軸運行能在最佳狀態(tài)。通過對大型數控曲軸磨床MK82125/H和大型數控切點跟蹤曲軸磨床MK8280/SD-H進行的試驗對比，可以明確地得出結論:曲軸驅動采用DD方式(又稱直驅方式，因direct drive而得名)是最理想的，如采用零傳動鏈的力矩電動機(torque motor)。MK8280/SD-H的頭尾架因采用了DD驅動方式，避免了傳動鏈帶來的種種瑕疵，頭尾架的同步控制效果非常好，C1和C2兩個伺服軸的同步角度偏差小到幾乎可以忽略不計，給高精度隨動磨削創(chuàng)造了良好的條件。

從理論上來說，切點跟蹤磨削采用工件回轉變速運動的方式是最合適的，在具備一定的硬件條件時，小型隨動曲軸磨床完全能夠做到。而大型隨動曲軸磨床由于巨大的運動慣量，想要實現頻繁、快速和靈活的變速運動是很困難的。因此，大規(guī)格的隨動磨床就要另辟蹊徑，可以采用工件恒轉速并輔以X軸的運動補償技術來實現，這就需要對運動模型進行適當的修改。

2 恒磨除率條件下磨削點的運動學分析

隨動磨削的運動過程非常復雜，磨削點的運動由4個部分組成:曲軸繞主軸頸軸線的回轉運動、磨削切點繞連桿頸軸線的回轉運動、砂輪架(X軸)周期性的往復直線運動以及切點沿砂輪表面往復的圓周運動。對連桿頸進行隨動磨削的最終目的是要使其表面形成一個符合要求的圓柱面，同外圓磨削的目的是一致的。所以，不妨將其轉化為外圓磨削來比對分析，如圖3所示。

在圖3中，Os為砂輪中心位置；O為主軸頸中心位置；Ow為連桿頸中心位置。將砂輪與連桿頸的連心距OsOw看成是不變的，砂輪中心Os繞連桿頸中心Ow旋轉，則容易得到切點繞連桿頸中Ow回轉的工件速度Vw為

式(9)中，ωw為切點相對于連桿頸中心Ow沿連桿頸外緣運動的角速度。

圖3 換一視角的切點跟蹤磨削運動模型

假設砂輪不轉動，根據相對運動的原理，砂輪中心Os繞曲軸中心O點進行轉動，并且OOs平移，從 Os點平移至Os’，工件上的磨削切點從A點移動到了 A1點，砂輪上的對應點則隨連心線 OOs從 A點移動到了A’點，砂輪上切點運動軌跡則為弧長A1A’，該弧長所對應的砂輪圓心角為 β。因此，在曲軸回轉運動與砂輪架運動共同作用下所形成的切點沿砂輪外緣的圓周運動速度為

若此時砂輪的線速度為VS，則砂輪上的切點相對于連桿頸上切點的合成速度Vp為

為了獲得滿意的連桿頸圓度，應該確保對工件恒磨除率的磨削，即保持工件速度與砂輪線速度之比為常量。設工件速度與砂輪速度之比為K，則

式(2)、(3)、(12)構成了曲軸連桿頸切點跟蹤磨削的運動控制模型。砂輪中心運行軌跡是以 Ow點為圓心、以Rs+ Rw為半徑的圓，其運動速度為

從圖3中的矢量三角形中可以看出，砂輪中心的速度Vt是由C軸和X軸的運動產生的兩速度矢量Vo和Vx之和。曲軸繞O點旋轉時，連桿頸中心點的速度為Vo(在圖示位置中方向向下)，根據相對運動原理，轉換到砂輪中心Os時，等價于砂輪中心獲得一方向向上的速度為-Vo。此時砂輪中心為保持磨削點的軌跡，X軸沿OOs方向的運動速度為Vx，Vx與-Vo的合成速度即為Vt。X軸隨動速度為

當曲軸以角速度ω回轉時，砂輪中心的速度為

X軸隨動速度又可表示為

對于一般的外圓磨削，Vs、Vw和磨削深度 ap是恒定值，所以精度和圓度容易得到保證。但切點跟蹤磨削就不同了，在磨削時很難控制 Vs、Vw和 ap使之同時恒定。然而在控制好恒磨除率之后，這個問題就能迎刃而解。工件的當量磨削厚度 heq與磨削深度ap、工件速度Vw成正比，與砂輪線速度Vs成反比。經典的公式為

要控制好恒磨除率，可在保持X軸進給量ap不變的同時，控制工件速度 Vw與砂輪線速度 Vs，使 Vw與Vs的比值不變。這樣，從理論上就能實現當量磨削厚度 heq和磨削力保持恒定。但在數控機床上直接應用時還需要作進一步的簡化處理。

3 簡化后的實用運動學模型

在連桿頸磨削過程中所建立的運動模型最終是要通過編制數控程序來實現的。從式(2)、(3)、(12)中不難看出，這樣的函數關系并不適合進行數控編程，必須要經過適當合理的簡化之后才能使用。一般而言，砂輪線速度Vs是常量且數值較大，砂輪線速度(MK8280/SD-H)可達125 m/s，常用的大型曲軸轉速大約10 r/min左右，也就是說，VS?RS(dβ/dt)，因此在式(12)中，可以忽略分母中的第二項RS(dβ/dt)，這樣，式(12)可以簡化成

經過計算并從磨削試驗得到驗證，在式(12)中忽略分母第二項Rs(dβ/dt)所產生的誤差小于1%。不過，這里需要指出的是，這種處理是在砂輪線速度與工件轉速差異很大的情況下作出的，大型曲軸磨床一般都能滿足這個條件，而在小型曲軸磨床中為了提高工作效率，工件的轉速一般都較高(有的甚至達到80 r/min)，這樣就不一定能滿足砂輪線速度與工件轉速差值巨大這個條件，因此不可以進行簡化。

從式(18)中可以分析出，簡化模型的本質是:在進行隨動磨削時應確保磨削點(切點)在連桿頸表面上運動的線速度保持恒定。設該切點的角速度為ωw[4]，則

這樣，切點的恒線速度控制就能轉化成曲軸轉角的速度控制了。盡管從理論上看轉角速度是時變的，但通過計算后得知，這個變化量很小，在實際應用時，可進一步將轉角速度作線性化處理，將產生的誤差在X軸運動時進行補償。補償的效果除了與理論計算結果有關之外，還與在進行磨削試驗過程中的經驗數據有關。需將兩者有機地結合在一起，從中尋找出最佳的運動控制方案。