晉建廠(chǎng), 王偉

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基于MATLAB PDE的變壓器二維建模和漏磁場(chǎng)分析

晉建廠(chǎng)1, 王偉2

（1. 海軍裝備部，北京 100841；2. 中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430064）

MATLAB提供了一個(gè)偏微分方程求解的工具箱（PDE），利用該工具可以實(shí)現(xiàn)偏微分方程類(lèi)型的設(shè)定、幾何模型建立、方程求解和結(jié)果圖形化顯示。變壓器短路阻抗主要由漏磁場(chǎng)決定，本文通過(guò)建立變壓器的二維模型，并利用MATLAB PDE工具箱進(jìn)行分析計(jì)算漏磁場(chǎng)，并在此基礎(chǔ)上采用能量法計(jì)算了變壓器漏磁通和短路阻抗大小，得到了短路阻抗與變壓器結(jié)構(gòu)的關(guān)系。

變壓器 短路阻抗 MATLAB PDE

0 前言

船舶電力推進(jìn)系統(tǒng)一般由變壓器、變頻器及推進(jìn)電機(jī)組成。變壓器的短路阻抗是變壓器的重要參數(shù)之一，該參數(shù)過(guò)大則壓降較大，影響輸出電壓；該參數(shù)過(guò)小則導(dǎo)致短路電流過(guò)大，不利于系統(tǒng)保護(hù)。變壓器短路阻抗主要由漏磁場(chǎng)決定，本文通過(guò)建立變壓器的二維模型，并利用MATLAB PDE工具箱進(jìn)行分析計(jì)算漏磁場(chǎng)，得到了短路阻抗與變壓器結(jié)構(gòu)的關(guān)系。

1 變壓器漏磁場(chǎng)分析及其二維模型

變壓器中其和等于零的磁勢(shì)所建立的磁場(chǎng)叫做變壓器的漏磁場(chǎng)，本節(jié)以雙繞組變壓器為例。變壓器的磁場(chǎng)可以看做是由兩個(gè)部分組成，其一是勵(lì)磁磁勢(shì)建立主磁通，其二是由磁勢(shì)和為零的二次電流和一次電流負(fù)載分量建立的磁場(chǎng)成為漏磁場(chǎng)，按照全電流定律，漏磁磁勢(shì)不可能產(chǎn)生與變壓器兩個(gè)線(xiàn)圈都交鏈的磁通，僅可能包含與一個(gè)線(xiàn)圈逐次或者完全交鏈的磁通。經(jīng)過(guò)上述分析，可以知道漏磁通只交鏈一個(gè)線(xiàn)圈，考慮到繞組繞在芯柱上呈圓形，故認(rèn)為漏磁場(chǎng)是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)場(chǎng)，即沿著軸向?qū)ΨQ(chēng)軸不同的位置(角度)漏磁場(chǎng)近似相等，這樣就給簡(jiǎn)化漏磁場(chǎng)的分析帶來(lái)了條件，即可以把三維的漏磁場(chǎng)簡(jiǎn)化為二維的情況分析，但是二維的簡(jiǎn)化也是有選擇性的，由于芯柱是連接鐵軛構(gòu)成了鐵心窗口，所以有考慮或者不計(jì)鐵芯窗口對(duì)漏磁場(chǎng)影響兩種簡(jiǎn)化方式。為了分析的方便，本文在簡(jiǎn)化過(guò)程中，不計(jì)鐵芯的磁滯效應(yīng), 忽略鐵芯的飽和, 各向異性, 近似認(rèn)為鐵芯磁導(dǎo)率為無(wú)窮大;且忽略變壓器繞組的各種支架、鐵芯拉板、夾件等對(duì)漏磁場(chǎng)的影響。下面對(duì)兩種簡(jiǎn)化的模型進(jìn)行介紹。

考慮鐵芯窗口對(duì)漏磁的影響，這樣在簡(jiǎn)化過(guò)程中要把鐵軛表現(xiàn)出來(lái)，如圖1，圖中R1為變壓器芯柱二維模型，R4、R5為鐵芯窗口，R3、R6為變壓器A相低壓繞組，R2、R7為變壓器A相高壓繞組；B、C相與A相相同；R16為油箱。

2 MATLAB PDE工具箱介紹

MATLAB提供了一個(gè)偏微分方程求解的工具箱（PDE），利用該工具可以實(shí)現(xiàn)偏微分方程類(lèi)型的設(shè)定、幾何模型建立、參數(shù)給定、邊界條件的設(shè)定、三角網(wǎng)格的劃分和細(xì)化以及方程求解和結(jié)果圖形化顯示，這是標(biāo)準(zhǔn)的有限元方法計(jì)算的流程。磁場(chǎng)分析的基礎(chǔ)是麥克斯韋方程組，麥克斯韋方程組有積分和微分兩種形式，針對(duì)于MATLAB PDE工具箱是一個(gè)偏微分方程的求解工具，本文主要討論了麥克斯韋方程的微分形式以及在PDE中應(yīng)用。經(jīng)過(guò)分析，在求解過(guò)程中以不同物理量建立的方程其形式和求解的難易程度不同。以場(chǎng)量磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度為直接待求量的微分方程如下：

觀察方程（4），矢量磁位在x,y,z三個(gè)方向都有自由度，這樣分析較為麻煩，針對(duì)于變壓器漏磁場(chǎng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，前文提出的變壓器的二維漏磁場(chǎng)分析模型，將矢量磁位的自由度由x,y,z三個(gè)方向上減少到z軸方向上。MATLAB PDE工具箱提供了兩種求解模式，一種是利用圖形用戶(hù)界面（GUI）求解，另一種是利用函數(shù)命令行的方法求解。利用GUI可以直觀、快速、準(zhǔn)確的實(shí)現(xiàn)偏微分方程的求解，本文主要介紹應(yīng)用GUI求解模式進(jìn)行變壓器磁場(chǎng)分析。PDE工具箱一共能夠解四種形式的偏微分方程（組），本文選擇雙曲線(xiàn)PDE方程：

前文已經(jīng)把求解域簡(jiǎn)化為二維的情況，所以矢量磁位方程可以化為標(biāo)量方程，矢量磁位只有在z軸上有分量，即：

將變壓器的物理特性參數(shù)與方程的系數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)即可求解。本文選用的模型中，一般認(rèn)為磁力線(xiàn)不超出變壓器油箱，磁力線(xiàn)又是磁位AZ的等勢(shì)線(xiàn)，所以這里設(shè)置其邊界條件為齊次Dirichlet條件，設(shè)置AZ在邊界上全部為零，在邊界上建立一個(gè)封閉的磁力線(xiàn)，由于磁力線(xiàn)不能交叉，所以這樣就能把求解域里的磁力線(xiàn)約束在油箱里面。

3 仿真結(jié)果的后處理方法

在MATLAB PDE中能夠直接輸出的是網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的矢量磁位值（離散解），矢量磁位Az并不是最終要求解的物理量，對(duì)于磁場(chǎng)分析，最基本的是要求出場(chǎng)域上的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值，對(duì)于只有z軸分量的矢量磁位AZ來(lái)說(shuō)，兩者之間的關(guān)系如下。

從上式中可以看出，需要求出矢量磁位Az在場(chǎng)域上的連續(xù)解，本文采用一階線(xiàn)性插值的方法，通過(guò)直接輸出的離散解求出矢量磁位的連續(xù)解，進(jìn)而求出場(chǎng)域上磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布。求解出磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布后，就可以進(jìn)行進(jìn)一步的計(jì)算，本文主要計(jì)算了變壓器的短路阻抗，運(yùn)用能量法計(jì)算短路阻抗，下面介紹一下其原理。對(duì)于磁場(chǎng)的儲(chǔ)能從不同的角度分析可以推導(dǎo)出不同的表達(dá)式，漏磁場(chǎng)的儲(chǔ)能公式可以表示為：

上式中:V為漏磁通分布三維區(qū)域。

由于變壓器的漏磁場(chǎng)已經(jīng)簡(jiǎn)化為二維場(chǎng)來(lái)進(jìn)行求解的，且經(jīng)過(guò)分析，變壓器的漏磁場(chǎng)是軸對(duì)稱(chēng)的，即能量的求解區(qū)域?yàn)樾D(zhuǎn)體，所以上式進(jìn)行如下簡(jiǎn)化：

考慮到有限元離散化，上式可以簡(jiǎn)化為：

式（11）對(duì)應(yīng)于單相（或室磁場(chǎng)為靜態(tài)場(chǎng)）情況下，對(duì)于三相交變磁場(chǎng)則有：

上式中：U為變壓器額定相電壓（這個(gè)在計(jì)算時(shí)需要根據(jù)繞組的連接方式確定）。至此已經(jīng)分析了變壓器漏磁場(chǎng)簡(jiǎn)化為二維的原理、PDE工具箱應(yīng)用模式的選擇、求解計(jì)算的原理以及關(guān)鍵參數(shù)的設(shè)置和數(shù)據(jù)的后處理方法，便可進(jìn)行仿真計(jì)算和結(jié)果分析。

4 仿真結(jié)果分析

從上面的分析中可以看到，靜磁學(xué)下的橢圓形方程相對(duì)簡(jiǎn)單，對(duì)于變壓器工頻交流磁場(chǎng)，屬于低頻問(wèn)題，把它簡(jiǎn)化為靜磁場(chǎng)求解是比較簡(jiǎn)單的，實(shí)際仿真過(guò)程中也大大縮短了仿真時(shí)間，本文以變壓器STQK-1600/10為例建立模型進(jìn)行仿真。變壓器在額定工作狀態(tài)下，其鐵芯工作在線(xiàn)性區(qū)，上面分析出漏磁通之交鏈于一個(gè)線(xiàn)圈，故認(rèn)為三相之間的漏磁場(chǎng)分布獨(dú)立，下圖是應(yīng)用靜磁場(chǎng)橢圓形方程，故對(duì)B相繞組施加直流激勵(lì)所得到的仿真結(jié)果圖。

從圖2中可以一看出，磁通主要分布在鐵芯中，漏磁通占很小的部分，下面具體分析變壓器漏磁場(chǎng)的分布特點(diǎn)。圖3、圖4為高壓繞組軸向中心線(xiàn)上磁感應(yīng)強(qiáng)度軸向分量分布圖。

從圖4中可以看出，高壓繞組中心線(xiàn)上磁感應(yīng)強(qiáng)度輻向分量從下端到上端先變大、在1/4處開(kāi)始變小，在1/2處反向變大，在3/4處又開(kāi)始變小，并在末端反向，其分布規(guī)律在軸向具有對(duì)稱(chēng)性。本次仿真模型中，低壓繞組高度約為高壓繞組的一半，其中心在一個(gè)高度上，所以在中心點(diǎn)處磁勢(shì)平衡，幅向磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，從中心往上和往下分析，由于在同一高度上的磁勢(shì)不平衡變得越來(lái)越明顯（低壓繞組的磁勢(shì)較大），幅向漏磁逐漸變大，到達(dá)1/4和3/4處時(shí)即大約低壓繞組兩端處，磁力線(xiàn)發(fā)散、漏磁磁阻變大，磁感應(yīng)強(qiáng)度又開(kāi)始變小，到達(dá)高壓繞組端部時(shí)，由于此處高壓繞組的磁勢(shì)的影響大于低壓繞組磁勢(shì)的影響，磁感應(yīng)強(qiáng)度開(kāi)始反向，但由于端部磁力線(xiàn)發(fā)散、磁阻較大，磁感應(yīng)強(qiáng)度幅值很小。

圖5、圖6分別為低壓繞組軸向中心線(xiàn)上磁感應(yīng)強(qiáng)度軸向和幅向分量分布圖。

可以看出低壓繞組軸向中心線(xiàn)上磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布于高壓繞組遵循相同的規(guī)律，但低壓繞組處的磁感應(yīng)強(qiáng)度輻向分量要大于高壓繞組同一位置，這說(shuō)明由于同一高度上的磁勢(shì)不平橫對(duì)低壓繞組的影響大于高壓繞組。仿真有關(guān)結(jié)論如下：低壓繞組與高壓繞組之間的絕緣距離越短，磁阻越小，漏磁通越大，短路阻抗越大。高低壓繞組高度不一樣，會(huì)造成幅向漏磁通很大，可采用分層或者分段的方法盡量保證高低壓繞組高度一致，以減少幅向漏磁通，進(jìn)而減小短路阻抗。

[1] 吳小慶. 數(shù)學(xué)物理方程[M].成都：電子科技大學(xué)出版社，2004.

[2] 蘇金明，阮沈勇，王永利. MATLAB工程數(shù)學(xué)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[3] 陸君安. 偏微分方程的MATLAB解法[M]. 武漢：武漢大學(xué)出版社.

[4] 黃作英，闕沛文，陳亮. PDE工具箱實(shí)現(xiàn)偏微分方程的有限元求解. 計(jì)算機(jī)仿真, 2006, (23)9.

Analysis on Leakage Magnetic Field and Modeling for Transformer Based on MATLAB PDE

Jin Jianchang1,Wang Wei2

(1. Naval Equipment Department, Beijing 100841, china ; 2. China Ship Development and Design Center，Wuhan 430064，China)

2014-09-13

TM421

A

1003-4862（2014）11-0021-04

晉建廠(chǎng)(1982-), 男，本科。研究方向：船舶電力推進(jìn)系統(tǒng)。