黎 恒，肖伸平

（湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

磁懸浮球系統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)魯棒控制器設(shè)計

黎 恒，肖伸平

（湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

為了實現(xiàn)對磁懸浮球系統(tǒng)的精確控制，根據(jù)變結(jié)構(gòu)理論，設(shè)計了一種具有更強魯棒性的二階動態(tài)滑?？刂破?。其中新切換面含有系統(tǒng)輸入的高階導(dǎo)數(shù)，降低了趨近律中不連續(xù)項的影響，改善了普通滑模控制器存在嚴(yán)重抖振的缺陷。通過與普通滑?？刂破鬟M(jìn)行仿真比較，結(jié)果表明，所設(shè)計的二階動態(tài)滑模變結(jié)構(gòu)控制器能使系統(tǒng)有較好的動態(tài)性能并能較好地實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮。

磁懸??；非線性；二階動態(tài)滑模

0 引言

磁懸浮技術(shù)是利用電磁力將物體懸浮在空氣中的一種技術(shù)。由于磁懸體與支撐之間無任何接觸，沒有摩擦帶來的能量消耗和速度限制，具有無摩擦、無噪聲，擁有無定位間隙誤差的精確定位功能等優(yōu)點，可在液態(tài)和真空等特殊環(huán)境下工作。因此，磁懸浮技術(shù)具有廣泛的應(yīng)用前景，如磁懸浮列車、磁懸浮軸承及磁懸浮風(fēng)洞等[1]。

由于磁懸浮系統(tǒng)本身固有的非線性以及外部干擾引起的不確定性，很難為其建立精確的系統(tǒng)模型，因此，對于非線性部分，采用傳統(tǒng)的控制方法無法達(dá)到理想的控制效果。目前，國內(nèi)外許多學(xué)者致力于磁懸浮系統(tǒng)的非線性控制方法的研究，如自適應(yīng)控制[2]、模糊控制[3]、魯棒控制[4]等，都對磁懸浮系統(tǒng)的非線性部分有一定的控制作用。近年來滑模變結(jié)構(gòu)控制算法逐漸應(yīng)用于磁懸浮控制系統(tǒng)中，其最大的優(yōu)點是對系統(tǒng)參數(shù)攝動及外擾動具有良好的魯棒性。但由于傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制的不連續(xù)性，在實際控制中存在嚴(yán)重抖振，如何削弱控制系統(tǒng)所引起的抖振，是學(xué)者們研究的重點課題。

動態(tài)滑模和高階滑模都有削弱系統(tǒng)抖振的作用[5]。本文采用將兩者結(jié)合起來的二階動態(tài)滑模，不僅得到了本質(zhì)上連續(xù)的控制率，而且為滑模面提供了類似于邊界層的切換帶，從而可達(dá)到削弱抖振的目的。

1 磁懸浮球系統(tǒng)模型

1.1 磁懸浮球系統(tǒng)的基本組成

磁懸浮球系統(tǒng)主要由光源、電磁鐵、光電傳感器、功放模塊、控制器和小球等元件組成，系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)圖如圖1所示，其中x為磁極到小球上表面的氣隙，i為線圈電流[6]。

1.2 磁懸浮球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

圖1 磁懸浮球系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)圖Fig. 1 The basic structure of magnetic levitation ball system

系統(tǒng)參數(shù)為：小球質(zhì)量m=0.046 kg，線圈等效電阻R=9.6 Ω，線圈等效電感L=0.109 H，x為磁極到小球上表面的氣隙，F(xiàn)為小球受到的電磁力，A為鐵芯面積，N為線圈匝數(shù)，U(t)為線圈輸入電壓，空氣磁導(dǎo)率0=4×10-7H/m。

忽略外界干擾力的影響，小球在豎直方向的動力學(xué)方程、電磁力方程以及基爾霍夫電壓定律如下：

小球處于平衡狀態(tài)時刻的位移為x0，電流為i0，則有

在平衡點附近對磁懸浮球系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，將式（2）用泰勒級數(shù)展開，舍去高次項后，可以表示為

根據(jù)式（1）和式（4）整理得

將式（5）進(jìn)行拉氏變換后，以線圈電流i為輸入，氣隙間距x為輸出的磁懸浮球系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

通過計算可知系統(tǒng)有2個極點，且有一個極點為正，表示系統(tǒng)本質(zhì)不穩(wěn)定，需要加入控制器加以控制。

2 滑模變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計

磁懸浮系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器是利用設(shè)計的切換函數(shù)和滑動模態(tài)控制率的輸出來調(diào)整系統(tǒng)的輸入[7-8]，從而實現(xiàn)鋼球的穩(wěn)定懸浮。

2.1 傳統(tǒng)滑模控制器

磁懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式（7），對于磁懸浮系統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制器，系統(tǒng)的誤差和誤差變化率分別為

式中r為系統(tǒng)的給定位置，r=9 mm。

取切換函數(shù)為

式中c＞0為待定常數(shù)。

采用削弱抖振的指數(shù)趨近律方法來設(shè)計磁懸浮球系統(tǒng)的控制率[9]，系統(tǒng)的趨近律為slaw，則

式中ξ和k均為大于0的待定常數(shù)。

根據(jù)式（7）和式（9）可得系統(tǒng)的控制率為

式中ks為功率放大器增益，這里取ks=1。

2.2 二階動態(tài)滑模控制器

由式（7），（9），（11），（12）整理得控制率的一階導(dǎo)數(shù)為

3 系統(tǒng)仿真

本文基于Matlab中的Simulink環(huán)境下建立磁懸浮滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)仿真程序，并根據(jù)第2章的內(nèi)容，利用二階動態(tài)滑模變結(jié)構(gòu)魯棒控制算法推導(dǎo)出來的系統(tǒng)控制率，而搭建的系統(tǒng)仿真圖如圖2所示。仿真時根據(jù)滑模面的存在條件及控制率的穩(wěn)定條件，得到一組較合適的磁懸浮二階動態(tài)滑模變結(jié)構(gòu)控制器的待定參數(shù)：c=100，λ=30，ξ=100，k=80。仿真結(jié)果表明，小球平衡后的位置x0可以通過仿真結(jié)果觀察。最后將二階動態(tài)滑模控制器與傳統(tǒng)滑?？刂破鱗6]進(jìn)行仿真比較。

圖2 二階動態(tài)滑模磁懸浮系統(tǒng)仿真圖Fig.2 The simulation diagram of magnetic levitation system with second-order dynamic sliding mode controller

將二階動態(tài)滑?？刂破髋c傳統(tǒng)滑模控制器進(jìn)行仿真對比試驗，得到控制率輸出結(jié)果如圖3所示，小球的懸浮位置結(jié)果如圖4所示。

圖3 控制率輸出結(jié)果Fig.3 The result of control rate output

圖4 小球位置仿真波形圖Fig.4 The simulated curve of ball’s position

由圖3和圖4可知，采用二階動態(tài)滑模魯棒控制器的磁懸浮球系統(tǒng)的輸出抖振明顯得到了削弱，小球?qū)崿F(xiàn)了更穩(wěn)定的懸浮。

4 結(jié)語

本文在推導(dǎo)出磁懸浮球系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型后，采用二階動態(tài)滑模魯棒控制器對其進(jìn)行控制。磁懸浮球系統(tǒng)的二階滑模魯棒控制器由于結(jié)合了二階滑模和動態(tài)滑模這兩種具有抖振削弱能力的控制策略，明顯抑制了滑模面抖動對系統(tǒng)的影響，達(dá)到了理想的削弱抖振的效果。通過與傳統(tǒng)滑模控制進(jìn)行仿真對比試驗，仿真結(jié)果表明，本文在磁懸浮球系統(tǒng)上所設(shè)計的二階動態(tài)滑模魯棒控制器在使小球快速穩(wěn)定達(dá)到給定值的同時，也極大地抑制了系統(tǒng)的抖振。這樣也能更好地滿足高性能磁懸浮球系統(tǒng)對控制的要求。

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（責(zé)任編輯：鄧光輝）

Design of Sliding Mode Variable Structure Robust Controller for Magnetic Levitation Ball System

Li Heng，Xiao Shenping
（School of Electrical and Information Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

According to the variable structure theory, presents a second-order dynamic sliding mode controller with stronger robustness to achieve precise control of the magnetic levitation ball system, in which the higher derivative of the new switching surface reduces the impact of the discontinuous terms in the reaching law and improves the defect of serious chattering existing in common sliding mode controller. Through the simulated comparison to the common controller, it indicates that the designed controller gets system better dynamic performance and achieve system steady levitation

magnetic levitation；nonlinear；second-order dynamic sliding mode

TP273

：A

：1673-9833(2014)01-0058-04

2013-11-22

國家自然科學(xué)基金資助項目（61203136），湖南省自然科學(xué)基金資助項目（11JJ2038）

黎 恒（1991-），男，安徽安慶人，湖南工業(yè)大學(xué)碩士生，主要研究方向為智能控制理論及其工程應(yīng)用，

E-mail：871355899@qq.com

10.3969/j.issn.1673-9833.2014.01.012