王 草包琦瑋李全旺

1）清華大學(xué)土木工程系，北京 100084

2）北京市市政設(shè)計(jì)研究總院，北京 100035

簡支混凝土梁橋Pushover分析簡化方法1

王 草1)包琦瑋2)李全旺1)

1）清華大學(xué)土木工程系，北京 100084

2）北京市市政設(shè)計(jì)研究總院，北京 100035

靜力Pushover分析方法是研究結(jié)構(gòu)在地震作用下力學(xué)性能的非線性分析方法，目前已經(jīng)得到了廣泛的運(yùn)用。本文主要討論了對(duì)于簡支梁橋的簡化Pushover分析方法。對(duì)于非高墩的規(guī)則橋梁，結(jié)構(gòu)的重量主要來自于上部結(jié)構(gòu)，因而可以把分析模型簡化為單自由度體系。當(dāng)給定了墩柱潛在塑性鉸區(qū)的彎矩-曲率關(guān)系曲線后，可以通過簡單的運(yùn)算得到其Pushover曲線，從而避免了有限元建模的麻煩。該方法對(duì)于工程運(yùn)用有著一定的參考價(jià)值。最后，結(jié)合算例表明了該簡化方法的有效性。

簡支梁橋 Pushover分析 抗震評(píng)估 簡化方法

引言

在大震作用下，傳統(tǒng)的基于承載力的抗震設(shè)計(jì)不足以預(yù)估結(jié)構(gòu)的變形和結(jié)構(gòu)在大震作用下的實(shí)際行為，因此結(jié)構(gòu)基于位移的抗震設(shè)計(jì)越來越受到重視（毛建猛，2008）。

作為計(jì)算結(jié)構(gòu)在地震作用下非線性反應(yīng)的簡便方法，Pushover方法由于原理簡單、計(jì)算方便且精度滿足工程需求，已得到越來越廣泛的研究（秦泗鳳，2008；馬千里等，2008），并已經(jīng)被國內(nèi)外的一些規(guī)范所采用（中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)，2001；FEMA 273，1996）。

在對(duì)規(guī)則橋梁進(jìn)行Pushover分析時(shí)，當(dāng)結(jié)構(gòu)的自重主要來自于上部結(jié)構(gòu)時(shí)，可以將體系簡化為單自由度體系，這樣，Pushover分析過程便可以得到進(jìn)一步簡化。

本文首先介紹了靜力Pushover分析方法的原理，然后提出了對(duì)于簡支梁橋的Pushover分析簡化方法，最后結(jié)合算例說明了該方法的有效性。

1 靜力Pushover分析方法

對(duì)于n維多自由度體系，若已知其質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣分別為M，C和K，則可以基于D' Alembert原理建立其運(yùn)動(dòng)方程（劉晶波等，2005）：

對(duì)于一個(gè)n維線性空間，n個(gè)線性無關(guān)的向量可以組成一組基；該空間內(nèi)的其他任意向量可以用這組基的線性組合來表示。容易證明，對(duì)于n個(gè)自由度體系而言，其n階主振型{φ1,φ2,…φn}便是其形狀向量的一組基。這樣，式（1）的解（體系的變形形狀向量）可以用φ1，φ2,…φn的線性組合表示：

式中，αi(t)為時(shí)變廣義坐標(biāo)。

在如此的線性表示下，并假定Rayleigh阻尼，則可以利用主振型向量對(duì)M和K的正交性，對(duì)式（1）進(jìn)行解耦：

式中，ξj和ωj分別為第j階的主振型對(duì)應(yīng)的廣義阻尼比和頻率；Mj為第j階廣義質(zhì)量，j=1，2，3，… n。

現(xiàn)考慮由第j振型引起的第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的地震力Fij。令，由式（3）可得：

式中，Sa( j )為第j振型對(duì)應(yīng)的加速度譜（Gupta等2000）。

進(jìn)一步可得：

現(xiàn)對(duì)上述n–DOF作如下2點(diǎn)假定：①體系的地震響應(yīng)僅由基本振型決定；②位移向量x由控制點(diǎn)處的位移xn和結(jié)構(gòu)的基本振型形狀向量φ1表示，即x=xnφ1（認(rèn)為在地震動(dòng)過程中，結(jié)構(gòu)的變形形狀保持不變）。

由上述2點(diǎn)假定，令式（5）中的j=1，則：

另一方面，若xn是向量x中最大的元素，則：

由式（7）可得：

對(duì)結(jié)構(gòu)施加逐漸增大的水平力F時(shí)，可以得到其“水平力–端頂位移”曲線，稱之為Pushover曲線；基于式（6）和式（8）可以將該曲線轉(zhuǎn)化為“位移–加速度”譜曲線，稱之為“能力譜曲線”。如圖1所示，將能力譜曲線和設(shè)計(jì)反應(yīng)譜（需求譜）曲線繪制在同一坐標(biāo)系中；隨著水平力F的增加（沿著能力譜曲線箭頭走勢(shì)），若這2條曲線有交點(diǎn)，則該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的水平位移值xlim即為結(jié)構(gòu)在地震力作用下的最大水平位移響應(yīng)。然后，若xlim不大于給定的位移閾值，則認(rèn)為結(jié)構(gòu)在此地震作用下安全；否則，則結(jié)構(gòu)在此地震強(qiáng)度下不安全（Chopra等，2000）。這便是Pushover分析方法的思路。關(guān)于xlim的求解方法在眾多文獻(xiàn)中均有介紹，在此不再贅述（毛建猛，2008；馬千里等，2008；Chopra等，2000）。然而需要注意的是，Pushover分析方法是建立在兩個(gè)簡化條件的基礎(chǔ)上，而這樣的假定在簡化問題的同時(shí)也會(huì)帶來一定的計(jì)算誤差。由此，眾多學(xué)者在研究中都給出了Pushover分析的改進(jìn)方法（Chopra等，2002；Fajfar等，1996）。由于本文的主旨是給出Pushover分析的一個(gè)簡化方法，而非討論該法的精確程度，故而這些改進(jìn)算法在下文中不予涉及。

圖1 Pushover分析方法圖示Fig. 1 Illustration for the Pushover analysis method

2 對(duì)于簡支梁橋的Pushover簡化分析

圖2 獨(dú)立墩柱的墩頂水平位移圖Fig. 2 Illustration for the horizontal displacement of a single abutment

基于Pushover分析方法求解簡支梁橋橋墩的頂部位移時(shí)，注意到其較之普通高層建筑結(jié)構(gòu)，有著如下特殊性質(zhì)：①主要質(zhì)量集中在頂部，而普通高層建筑的質(zhì)量沿高度方向分散分布；②在墩頂施加水平作用力，可將墩柱看作一個(gè)彈（塑）性桿件來研究其變形問題。

考慮如圖2所示的墩柱。當(dāng)橋墩受到的端頂水平推力較小時(shí)，沿墩柱高度方向的彎矩呈線性分布，墩頂處產(chǎn)生的水平位移Δtot在彈性范圍內(nèi)。當(dāng)水平推力逐漸增加，于墩底處的彎矩值達(dá)到截面的屈服彎矩My時(shí)，會(huì)在墩底處形成塑性鉸。

如圖3所示，用彈簧模型來模擬塑性鉸的力學(xué)特征（秦泗鳳，2008），其中，Lp為等效塑性鉸區(qū)的長度。將墩柱的塑性變形等效為Lp長度內(nèi)的塑性段變形Δpla，則有：

式中，Δela為墩頂處的彈性變形。

對(duì)于塑性鉸區(qū)的截面，為了簡化問題，通常可以將其彎矩對(duì)曲率的曲線（M-φ曲線）雙線性化（中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，2008）。如圖4所示，其中φy為截面的屈服曲率；φu為截面的極限曲率。

圖3 塑性鉸彈簧模型Fig. 3 Spring model for the plastic hinge

圖4 彎矩-曲率的雙折線化模型Fig. 4 Bilinear model for the moment–curvature curve

由圖3則有：

考慮墩頂處的彈性變形量Δela，設(shè)曲率沿墩高方向呈線性分布，則有：

將式（10）和式（11b）代入式（9）中，則可以得到在塑性范圍內(nèi)墩柱的水平位移和塑性鉸區(qū)內(nèi)截面塑性曲率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

對(duì)于多數(shù)簡支梁橋或者連續(xù)梁橋，認(rèn)為其結(jié)構(gòu)的主要重量來自于上部結(jié)構(gòu)。在此簡化條件下，對(duì)圖2中的墩柱進(jìn)行受力分析，同時(shí)考慮P–Δ效應(yīng)，則有：式中，M為墩柱底的彎矩；F為墩柱受到的水平作用力；L為墩高；P為上部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的豎向荷載（等效集中作用于墩頂）。

另一方面，如圖4所示，對(duì)于塑性鉸區(qū)的截面，存在著如下近似的彎矩-曲率關(guān)系：

這樣，可以聯(lián)立式（12）、（13）和（14）來建立墩柱頂?shù)乃阶饔昧臀灰浦g的對(duì)應(yīng)關(guān)系（即Pushover曲線）：

按前節(jié)介紹的Pushover分析步驟，需要將式（15）中的Pushover曲線轉(zhuǎn)化為能力譜曲線。對(duì)于這樣的簡化情況，有：

式中，g為重力加速度。

式（15）和式（16）建立了獨(dú)立混凝土墩柱的能力譜曲線，其表達(dá)的形式簡單，而且避免了有限元軟件建模分析的麻煩。

如果給出了墩柱精確的M-φ曲線，則可以按照如下方法來得到Pushover曲線：給定曲率值φ，然后由式（12）計(jì)算得到Δ（?），再由M-φ曲線給出彎矩M，進(jìn)而由式（13）解出F。從這里也可以看到，Pushover曲線可以由M-φ曲線通過線性變換得到。

如果考慮墩柱頂?shù)闹ё鶆偠?，如圖5所示，則可按如下方法來得到Pushover曲線。

更為一般地，如果某一聯(lián)橋有多個(gè)墩柱，則可以先分別得到每個(gè)墩柱的Pushover曲線，然后將這些曲線線性疊加，即可得到整聯(lián)的F-Δ曲線。

對(duì)于規(guī)則圓形或矩形的墩柱截面，由規(guī)范可以直接算得M-φ曲線的關(guān)鍵參數(shù)，從而方便地得到Pushover曲線（中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，2008）；而對(duì)于復(fù)雜、不規(guī)則的截面，可以通過迭代算法（葉列平，2005）給出其M-φ曲線。

3 算例分析

算例引用康釗（2005）對(duì)官園橋5號(hào)軸橋墩進(jìn)行順橋向Pushover分析的結(jié)果，以該文獻(xiàn)中的計(jì)算結(jié)果與本文方法給出的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

考慮的橋墩為門式雙墩柱–蓋梁結(jié)構(gòu)，墩柱尺寸如圖6所示，柱高為5m?？拐鹪O(shè)防烈度為8度，設(shè)計(jì)基本地震加速度為0.20g，場(chǎng)地類別為II類?？紤]如圖7所示的模型，其中用彈簧模擬支座，其水平抗推剛度為K=45481kN/m。

塑性鉸長度Lp（cm）由規(guī)范給出（中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，2008）。

圖5 考慮支座水平位移的Pushover分析Fig. 5 Pushover analysis considering the horizontal displacement of bearing

圖6 墩柱的截面尺寸Fig. 6 Section size of the Guanyuanqiao abutment at Beijing

圖7 Pushover計(jì)算模型Fig. 7 Pushover analysis model

其中，b為矩形截面的短邊；H為塑性鉸截面到反彎點(diǎn)的距離（cm）；fy為縱向鋼筋抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值（MPa）；ds為縱向鋼筋的直徑（cm）。

康釗（2005）給出了墩柱潛在塑性鉸區(qū)截面的彎矩-曲率曲線，如圖8所示。由此M-φ曲線，結(jié)合本文的方法，則可以得到Pushover曲線，如圖9所示。

圖8 單個(gè)墩柱的彎矩-曲率曲線Fig. 8 Moment-curvature curve for single abutment

圖9 Pushover分析結(jié)果Fig. 9 Result of the Pushover analysis

為了對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震性能分析，將Pushover曲線轉(zhuǎn)化為能力譜曲線，并與需求譜曲線畫在同一坐標(biāo)系中，如圖10所示。

應(yīng)注意圖10中采用的是彈塑性反應(yīng)譜。為了考慮結(jié)構(gòu)的彈塑性，Vidic等（1994）提出用折減系數(shù)R(μ)來對(duì)彈性反應(yīng)譜進(jìn)行修正：

其中，μ為位移延性系數(shù)（秦泗鳳，2008），由式（9）和式（11）可得：

R(μ)與μ的關(guān)系可表示為：

其中，Tg為結(jié)構(gòu)的特征周期；c1，c2，cR和cT由結(jié)構(gòu)的滯回性質(zhì)確定，取值見表1。

表1 取ξ = 0.05時(shí)，式（21）中的參數(shù)取值Table 1 Values for parameters in equation (21) when ξ=0.05

在圖10中從康釗（2005）的結(jié)果和本文方法給出的結(jié)果均能看到，在8度設(shè)防烈度E2地震作用下，支座頂?shù)乃轿灰茷?0mm，墩頂?shù)乃轿灰萍s為30mm，為墩柱高度的1/167，滿足變形控制要求。同時(shí)，從圖10中也可以看到，用本文方法得到的近似Pushover分析方法與非簡化情況相比，二者給出的結(jié)果符合的很好。

圖10 確定結(jié)構(gòu)的性能點(diǎn)Fig. 10 Determination of the performance point

4 結(jié)論

本文主要討論了簡支梁橋的簡化Pushover分析方法。對(duì)于非高墩橋梁，由于結(jié)構(gòu)重力主要來自于上部結(jié)構(gòu)，故而可以將之簡化為單自由度體系。在給定截面的彎矩-曲率曲線后，則通過簡單的運(yùn)算即可得到結(jié)構(gòu)Pushover曲線，從而省去了有限元建模的麻煩。算例分析結(jié)果表明，該方法的精度滿足工程要求，從而對(duì)工程運(yùn)用有一定的參考價(jià)值。

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Simplified Pushover Analysis Method for Simply Supported Concrete Bridges

Wang Cao1), Bao Qiwei2)and Li Quanwang1)

1) Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China
2) Beijing General Municipal Engineering Design and Research Institute, Beijing 100035, China

The Nonlinear Static Pushover analysis is a method utilized for description of the structural seismic performance under strong earthquakes, and it has been widely used by many researchers. This paper mainly discusses the simplified Pushover method for simply supported concrete bridges. It is noted that for regular bridges with short piers, the structural weight comes mainly from the superstructure, with which the analytical model can be simplified as a single degree system. The Pushover curve can be obtained with simple algebra given the moment –curvature relationship of the section in the potential hinge area, indicating that one does not need to establish a finite element model to get the Pushover curve. Thus, the proposed method can be a valuable reference for practice. Finally, the accuracy of the simplified method is presented with an illustrative example.

Simply supported concrete bridges; Pushover analysis; Seismic safety assessment; Simplified method

王草，包琦瑋，李全旺，2014．簡支混凝土梁橋Pushover分析簡化方法．震災(zāi)防御技術(shù)，9（3）：439—446．

10.11899/zzfy20140310

清華大學(xué)自主科研基金（20121087910）

2014-03-11

王草，男，生于1993年。碩士研究生。主要從事橋梁安全評(píng)估工作。Email：mornsun17@gmail.com