張臘娥，汪新凡

（1. 湖南工業(yè)大學財經(jīng)學院，湖南株洲412007；2. 湖南有色金屬職業(yè)技術學院基礎課部，湖南株洲412006；3. 湖南工業(yè)大學理學院，湖南株洲412007）

基于正態(tài)分布優(yōu)先集結算子的隨機多準則群決策方法

張臘娥1,2，汪新凡3

（1. 湖南工業(yè)大學財經(jīng)學院，湖南株洲412007；2. 湖南有色金屬職業(yè)技術學院基礎課部，湖南株洲412006；3. 湖南工業(yè)大學理學院，湖南株洲412007）

對準則值為正態(tài)隨機變量，而準則之間具有優(yōu)先級別的隨機多準則群決策問題進行了研究。首先，定義了一種集結正態(tài)分布數(shù)的優(yōu)先加權平均（NDNPWA）算子，并給出了該算子的相關性質；進一步，基于NDNPWA算子和正態(tài)分布數(shù)加權算術平均（NDNWAA）算子，提出了一種準則值為正態(tài)隨機變量，準則之間具有優(yōu)先級別，而決策者之間不具有優(yōu)先級別的隨機多準則群決策方法。最后，通過實例分析表明，該方法具有可行性和有效性。

群決策；正態(tài)分布；NDNPWA算子

1 研究背景

多準則決策（multi-criteria decision making，MCDM）是指決策者為了完成某項目標而在考慮多個準則的情況下，從有限個可行方案中挑選最佳方案，或者對方案進行排序的過程。MCDM是當代決策科學的重要組成部分，在工程設計、經(jīng)濟、管理及軍事等諸多領域中有廣泛應用，從而受到人們的高度關注。在隨機不確定環(huán)境下，MCDM問題中的準則值往往為隨機變量的形式。特別地，由于正態(tài)分布是一種非常重要的概率分布，具有普適性，在許多情形下適合于描述準則值的隨機變化，因而很多隨機MCDM問題中的準則值為正態(tài)隨機變量的形式。這類準則值為正態(tài)隨機變量的MCDM問題（稱為正態(tài)隨機MCDM問題）不僅大量存在，而且具有重要的理論意義和實際價值，已引起研究者的高度重視。目前，正態(tài)隨機MCDM問題的處理方法一般有5種：1）SMAA（stochastic multi-objective acceptability analysis）方法[1]；2）基于粗糙集的方法[2]；3）基于隨機占優(yōu)的方法[3]；4）基于區(qū)間數(shù)的方法[4]；5）基于集結算子的方法[5]?；诩Y算子的方法給出了正態(tài)分布數(shù)的運算法則，定義了正態(tài)分布數(shù)加權算術平均（normal distribution number weighted arithmetic averaging，NDNWAA）算子，并給出了一種準則權重信息不完全確定，而準則值為正態(tài)隨機變量的動態(tài)隨機多準則決策方法。上述正態(tài)隨機MCDM方法各有特點，但它們僅考慮了各準則處于同一優(yōu)先級別的情形。

在實際的決策過程中，有時需要考慮各準則之間優(yōu)先級別不同的情形。例如，高校在引進博士時，首先需要考察應聘者的思想品德，即思想品德這個準則享有最高級別的優(yōu)先權。如果某應聘者思想品德不好，那么即使其科研和教學特別突出也不能引進。R. R. Yager[6-7]最早對該類問題進行探究，并用文獻檢索問題、購買自行車問題和組織管理問題等來說明這類情形，并提出了集結相應決策信息的優(yōu)先平均（prioritized averaging，PA）算子[6]和優(yōu)先有序加權平均（prioritized ordered weighted averaging，POWA）算子[7]。

由上述分析可知，準則之間具有優(yōu)先級別的正態(tài)隨機MCDM問題缺乏研究，而現(xiàn)有的正態(tài)隨機MCDM方法均無法解決這類問題。因此，本文將聚焦于這類問題，擬在NDNWAA算子和PA算子的基礎上，提出一種正態(tài)分布數(shù)優(yōu)先加權平均（normal distribution number prioritized weighted averaging， NDNPWA）算子，研究其性質，進而基于該算子提出一種準則值為正態(tài)隨機變量，且準則之間具有優(yōu)先級別的多準則群決策（multi-criteria group decision making，MCGDM）方法，并進行實例分析。

2 預備知識

2.1 正態(tài)分布數(shù)及其相關概念

正態(tài)分布是一種由下面的概率密度函數(shù)，即高斯函數(shù)所確定的連續(xù)的概率分布[4]：

3 正態(tài)分布數(shù)優(yōu)先集結算子

根據(jù)定義2、定義3和定義5，本章給出一種準則具有優(yōu)先級別情形下，集結正態(tài)分布數(shù)的優(yōu)先加權平均（NDNPWA）算子。

證明顯然，由式（5）集結得到的結果仍為正態(tài)分布數(shù)。下面用數(shù)學歸納法證明式（6）。

1）當n=2時，由于

2）假設當n=k時式（6）成立，即

即當n=k+1時，式（6）也成立。

綜合1）和2）可得，對n∈N且n≥2時，式（6）均成立。定理2 證畢。

NDNPWA算子具有以下些性質：

4 基于NDNPWA算子的MCGDM方法

根據(jù)上述決策信息，以下給出一種基于NDNPWA算子的MCGDM方法，具體步驟如下：

步驟1利用NDNWAA算子

方案Ai(i=1, 2, …, m)進行排序，并選擇最優(yōu)方案。

5 實例分析

某風險投資公司決定選擇一些項目進行投資。現(xiàn)有5個投資方案Ai(i=1, 2, …, 5)可供選擇，考核指標（即準則）有：投資額C1（萬元），風險損失值C2（萬元），風險盈利值C3（萬元）[5]，它們之間存在優(yōu)先級別?，F(xiàn)由3位決策專家（決策專家e1為董事長，決策專家e2為投資公司經(jīng)理，決策專家e3為專家，他們的權重向量為）對上述3項指標進行評估。評估的初始隨機決策矩陣（k=1, 2, 3）見表1～3，試確定最優(yōu)方案。

表1 初始隨機決策矩陣D(1)Table1Initial random decision matrix D(1)

表2 初始隨機決策矩陣D(2)Table2Initial nitial random decision matrix D(2)

表3 初始隨機決策矩陣D(3)Table3Initial random decision matrix D(3)

下面利用本文提出的決策方法求解。

步驟1利用NDNWAA算子，即式（11），把3個決策專家ek（k=1, 2, 3）給出的初始隨機決策矩陣（k=1, 2, 3）集結為群體評價值矩陣，見表4。

表4 群體評價值矩陣BTable4Group evaluation value matrix B

表5 規(guī)范化的群體評價值矩陣Table5Normalized group evaluation value matrix

表5 規(guī)范化的群體評價值矩陣Table5Normalized group evaluation value matrix

方案準則C2C3A1 A2 A3 A4 A5 C1 (0.8813, 0.0236) (0.8090, 0.0184) (0.9217, 0.0168) (0.6824, 0.0170) (1.0000, 0.0177) (1.0000, 0.0191) (0.9314, 0.0231) (0.9747, 0.0212) (0.6737, 0.0243) (0.7622, 0.0250) (0.7832, 0.0254) (0.8922, 0.0285) (0.8309, 0.0287) (1.0000, 0.0384) (0.9591, 0.0387)

步驟3利用式（15）計算得到準則優(yōu)先權重Tij(i=1, 2, …, 5；j=1, 2, 3)：

6 結語

本文針對準則值為正態(tài)隨機變量，而準則之間具有優(yōu)先級別的隨機MCGDM問題，在NDNWAA算子和PA算子的基礎上，定義了一種考慮準則之間具有優(yōu)先級別的正態(tài)分布數(shù)集結算子，即NDNPWA算子，并研究了該算子的相關性質。進一步，基于NDNPWA算子和NDNWAA算子，提出了一種準則值為正態(tài)隨機變量，準則之間具有優(yōu)先級別，而決策者之間不具有優(yōu)先級別的隨機MCGDM方法，且詳細給出了該方法的步驟。最后，通過一個實際例子對本文提出方法的可行性和有效性進行了驗證。實例驗證表明，本文提出的決策方法是可行的、有效的。由于現(xiàn)實中準則值為正態(tài)隨機變量的MCDM問題大量存在，準則之間具有優(yōu)先級別的情形也大量存在，因而本文的研究具有重要的實際意義和應用價值，可廣泛應用于供應鏈管理、應急管理、項目評估、維修服務以及軍事系統(tǒng)效能評價等相關決策中。

[1]Lahdelma R，Makkonen S，Salminen P. Multivariate Gaussian Criteria in SMAA[J]. European Journal of Operational Research，2006，170 (3)：957-970.

[2]Yao S B，Yue C Y. Approach to Stochastic Multi-Attribute Decision Problems Using Rough Sets Theory[J]. Journal of Systems Engineering and Electronics，2006， 17 (1)：103-108.

[3]姜廣田，樊治平，劉洋，等. 一種具有正態(tài)隨機變量的多屬性決策方法[J]. 控制與決策，2009，24(8)：1187-1191. Jiang Guangtian，F(xiàn)an Zhiping，Liu Yang，et al. Method for Multiple Attribute Decision Making with Normal Random Variables[J]. Control and Decision，2009，24(8)：1187-1191.

[4]王堅強，任劍.基于WC-OWA算子的隨機多準則決策方法[J]. 控制與決策，2007，22 (12)：1429-1432. Wang Jianqiang，Ren Jian. Stochastic Multi-Criteria Decision-Making Method Based on WC-OWA Operator [J]. Control and Decision，2007，22(12)： 1429-1432.

[5]汪新凡，楊小娟. 信息不完全確定的動態(tài)隨機多屬性決策方法[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐，2010，30 (2)：332-338. Wang Xinfan，Yang Xiaojuan. Dynamic Stochastic Multiple Attribute Decision Making Method with Incomplete Certain Information[J]. Systems Engineering-Theory & Practice，2010，30(2)：332-338.

[6]Yager R R. Prioritized Aggregation Operators[J]. International Journal of Approximate Reasoning，2008，48 (1)：263-274.

[7]Yager R R. Prioritized OWA aggregation[J]. Fuzzy Optimization and Decision Making，2009，8(3)：245-262.

（責任編輯：鄧光輝）

Approach to Stochastic Multi-Criteria Group Decision Making Based on Normal Distribution Prioritized Aggregation Operator

Zhang Lae1,2，Wang Xinfan3
（1. School of Finance & Economics，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China；2. Department of Fundamental Courses，Hunan Nonferrous Metals Vocational and Technical College，Zhuzhou Hunan 412006，China；3. School of Science，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

Investigates stochastic multi-criteria group decision making problems in which the criterion values are normal random variables and the criteria are in different priority levels. First, defines a new aggregation operator named normal distribution number prioritized weighted averaging (NDNPWA) operator and provides the relative properties of the operator. Furthermore, based on the NDNPWA operator and the normal distribution number weighted arithmetic averaging (NDNWAA) operator, proposes an approach for solving the stochastic multi-criteria group decision making problems in which the criterion values are normal random variables, the criteria are in different priority levels and the decision makers are not in different priority levels. Finally, presents an illustrative example to demonstrate the feasibility and effectiveness of the developed method.

group decision making；normal distribution；NDNPWA operator

C934

A

1673-9833(2014)06-0001-06

10.3969/j.issn.1673-9833.2014.06.001

2014-09-27

國家自然科學基金資助項目（71271218， 71221061），教育部人文社科基金資助項目（12YJA630114, 13YJC630200），湖南省自然科學基金資助項目（2015JJ2047）

張臘娥（1981-），女，湖南冷水江人，湖南有色金屬職業(yè)技術學院講師，湖南工業(yè)大學碩士生，主要研究方向為投資項目決策與風險管理，E-mail：179486581@qq.com

汪新凡（1966-），男，湖南安化人，湖南工業(yè)大學教授，博士，主要從事不確定決策和集結算子等研究，E-mail：zzwxfydm@126.com