董芳芳

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

1 Hilbert K-模及框架

緊算子代數(shù)模（簡稱Hilbert K-模）是一種特殊的Hilbert C?-模，K為作用在Hilbert空間上的全體緊算子組成的C?-代數(shù)，顯然I?K，D.Bakic和B.Guljas在文獻(xiàn)[1]中證明了這種模一定有特殊的標(biāo)準(zhǔn)正交基，其特殊點(diǎn)在于相同基向量的內(nèi)積為K中的一個(gè)秩1的自伴投影（見定義2），下面我們先給出與本文有關(guān)的HilbertK-模的相關(guān)概念.

定義1[1]設(shè)K為作用在Hilbert空間Η上的全體緊算子組成的C?-代數(shù)，Μ是復(fù)數(shù)域C上的線性空間，Μ 是左K-模，滿足：μ(kx)=(μk)x=k(μx)，其中任意的 μ∈C，k∈K，x∈Μ，若·,·:Μ×Μ→K 具有性質(zhì):

則稱(M,·,·)為準(zhǔn)HilbertK-模.在Μ上定義范數(shù)‖x‖:=‖x,x ‖12，若Μ在該‖·‖意義下完備，就稱之為HilbertK-模.

定義2[1]稱序列{vλ,λ∈Λ}為HilbertK-模 Μ的標(biāo)準(zhǔn)正交序列，若對任意的λ,μ∈Λ，

其中 ξ∈H，且 ‖ξ‖=1(H為Hilbert空間)，eξ，ξ∈K如 下 定 義 ：對 任 意 的 η ∈H ，eξ,ξ(η)=(η,ξ)ξ.同 時(shí)=eξ,ξ=，我們稱 eξ,ξ為 {vλ,λ∈Λ}的支撐投影，其中·(,·)指Hilbert空間中元素的內(nèi)積；若該標(biāo)準(zhǔn)正交序列完備，即=Μ ，任意的 λ∈Λ ，則稱它為Μ的標(biāo)準(zhǔn)正交基.定義3[2]稱HilbertK-模Μ中的序列{xλ,λ∈Λ}為框架，若存在常數(shù) c＞0,d＞0，使得對任意的x∈Μ ，c x,x ≤x,xλxλ,x ≤d x,x.

若 c=d=1，則稱{xλ,λ∈Λ}為正規(guī)緊框架，若只有右半部等式成立，則稱{xλ,λ∈Λ}為Bessel序列.

定義 4[2]設(shè)Μ1,Μ2均為HilbertK-模，T:Μ1→Μ2是K-線性算子(即T(kx)=kT(x)，任意的x∈Μ1，k∈K)，若存在K-線性算子T?:Μ2→Μ1，使得對任意的x∈Μ1，y∈Μ2，Tx,y=x,T?y ，則稱T 是可伴算子.

2 Hilbert K-模上的廣義框架

受這點(diǎn)的啟發(fā)，考慮Hilbert K-模M,Nj,j∈J，其中J為有限或可數(shù)生成的指標(biāo)集，類似地，在M到Nj上引入類似于θ的算子列：Aj:M→Nj,使得對任意的 x∈M ，Aj(x)=x,xj,λvj,λ，其中 {xj.λ,λ ∈Λ}為 M 的框架，{vj.λ,λ∈Λ}為 Nj的標(biāo)準(zhǔn)正交基，同時(shí)Aj為 可 伴 算 子 ，且(gj)=gj,vj,λxj,λ，當(dāng) 然 ，)=vj,λ,vj,λxj,λ=eξ,ξxj,λ，將 {eξ,ξxj,λ,j∈J,λ ∈Λ}稱為算子序列{Aj,j∈J}的誘導(dǎo)系列，這樣研究的核心就從K-模M 上的序列{xλ,λ∈Λ}的研究上升到算子序列{Aj,j∈J}的研究.

再由上面{Aj,j∈J}的引入，顯然有

這樣如何把算子序列{Aj,j∈J}定義為框架，Bessel序列，正規(guī)緊框架，自然就與Hilbert K-模上序列{xλ,λ∈Λ}定義為框架，Bessel序列，正規(guī)緊框架的定義方法聯(lián)系起來，當(dāng)然為了區(qū)別起見，這里稱為廣義框架，廣義Bessel序列，廣義正規(guī)緊框架，并且和孫文昌在2005年引入的Hilbert空間上的g-框架的概念相類似.下面給出HilbertK-模上的廣義框架的定義.

定義5設(shè)M,Nj均為Hilbert K-模，Aj:M→Nj為可伴算子，稱算子序列{Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義框架，若存在 A＞0，B＞0，使得對任意的x ∈M ，有

特別地，若 A=B=1，則稱{Aj,j∈J}為M 關(guān)于Nj的廣義正規(guī)緊框架，將a,b分別稱為其廣義下，上框架界；若只有右半不等式成立，則稱{Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義Bessel序列.

定義6[2]稱序列{Λj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基，若滿足：

3 Hilbert K-模上廣義框架的框架變換

由于在HilbertK-模M上，l2(K)不存在，也就是沒有意義將M膨脹，從而在以往的研究中，在M本身上引入了框架{xλ,λ∈Λ}的框架變換，并研究了其性質(zhì).受這點(diǎn)啟發(fā)，下面在M自身上引入廣義框架{Aj,j∈J}的框架變換.

定義7設(shè){Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義框架，{Λj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義標(biāo)準(zhǔn)正交基，引入算子Φ:M→M ，使得對任意的 x∈M ，Φ(x)=Aj(x)，則 Φ 為可伴算子，且 Φ*(x)Λj(x)，將 Φ 稱為{Aj,j∈J}的廣義框架變換.

根據(jù)定義易知Φ為單射.事實(shí)上，由于{Aj,j∈J}為廣義框架，從而存在a,b＞0，使得

即a x,x≤ Φ(x),Φ(x)≤b x,x ，因此若 Φ(x)=0，即有不等式：a x,x≤0≤b x,x，從而只有 x,x=0，即x=0，從而Φ為單射，即Φ*為滿射，因此Φ*Φ就為雙射，即 Φ*Φ 可逆，且 Φ*Φ=A*A.

jj

記S=Φ*Φ，則S為M上的可逆自伴的正算子，將這里的S稱為{Aj,j∈J}的廣義框架算子，同時(shí)由上面的推導(dǎo)有:當(dāng){Aj,j∈J}為廣義正規(guī)緊框架時(shí)，S=Φ*Φ=I；當(dāng){Aj,j∈J}為廣義框架時(shí)，

其中a,b分別為{Aj,j∈J}的下，上廣義框架界.

4 廣義框架的和與直和

定理1設(shè){Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均為M關(guān)于Nj的廣義框架，Φ1和Φ2分別為其廣義框架變換，且Φ=0，A和B均為作用在M上的可伴算子，且2A+B*B=I，則{AjA+BjB,j∈J}也為 M 關(guān)于 Nj的廣義框架.

證明由于{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均為M關(guān)于Nj的廣義框架，不妨設(shè)其廣義下上界分別為：a,b,c,d，則對任意的x∈M，

從而，{AjA+BjB,j∈J}也為M關(guān)于Nj的廣義框架，只是 min{a,c}和 max{b,d}x,x一般不是{AjA+BjB,j∈J}的最優(yōu)下，上廣義框架界.

由上面的定理有：

推論1設(shè){Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均為 M 關(guān)于Nj的廣義正規(guī)緊框架，Φ1和Φ2分別為其廣義框架變換，且=0，A和B均為作用在M上的可伴算子，且 A*A+B*B=I，則{AjA+BjB,j∈J}也為 M 關(guān)于Nj的廣義正規(guī)緊框架.

證明由于{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均為廣義正規(guī)緊框架，從而

即{AjA+BjB,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義正規(guī)緊框架.定理2 設(shè){Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}分別為 M1和

M2關(guān)于Nj的廣義正規(guī)緊框架，A和B分別為作用在 M1和M2上的可伴算子，且A*A⊕B*B=I，則{AjA⊕BjB,j∈J}為M1⊕M2關(guān)于Nj的廣義正規(guī)緊框架.證明對任意的x∈M1，y∈M2，

類似的，有

定理3設(shè){Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}分別為M1和 M2關(guān)于Nj的廣義框架，A和B分別為作用在M1和M2上的可伴算子，且A*A⊕B*B=I，則{AjA⊕BjB,j∈J}為M1⊕M2關(guān)于Nj的廣義框架.

該定理的證明與定理1的證明類似，這里不再累贅.

最后，給出有關(guān)子集上廣義框架的一個(gè)結(jié)論.

定理4 {Aj,j∈I}為 M 關(guān)于 {Nj,j∈I}的廣義Bessel序列，且 J?I，{Aj,j∈J}只為 M 關(guān)于{Nj,j∈J}廣義算子序列，則{Aj,j∈IJ}為 M 關(guān)于{Nj,j∈IJ}廣義Bessel序列.

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