摘 要 數(shù)學(xué)物理方程是許多理工科專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，對提升學(xué)生的科學(xué)素質(zhì)有深遠(yuǎn)意義。在教學(xué)實踐中，作者圍繞調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、提高教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)學(xué)生能力，不斷探索教學(xué)教法、總結(jié)經(jīng)驗。在本文中，就教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段等方面總結(jié)了幾點(diǎn)體會。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)物理方程 教學(xué)實踐 教學(xué)方法 教學(xué)效果

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Abstract \"Mathematical physics equations\" many science and engineering is an important foundation for professional courses to enhance students' scientific quality has far-reaching significance. In teaching practice， the authors focus on mobilizing the enthusiasm of students， improve the quality of teaching students the ability to continuously explore teaching teachings， lessons learned. In this article， the terms of teaching content， teaching methods and teaching methods， etc. Some experience summarized.

Key words Mathematical Physics Equations； teaching practice； teaching methods； teaching effects

數(shù)學(xué)物理方程是從物理問題中導(dǎo)出的反映客觀物理量在空間和時間上相互制約關(guān)系的偏微分方程（有時也包括常微分方程和積分方程），是物理過程的數(shù)學(xué)表達(dá)式。①眾多理工學(xué)科的本質(zhì)問題都可歸屬于對相應(yīng)的數(shù)學(xué)物理方程的研究，因此，數(shù)學(xué)物理方程是理工專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課和必修課。該課程以偏微分方程作為研究對象，把數(shù)學(xué)理論、求解方法和物理實際緊密融合在一起。通過應(yīng)用物理定律對實際的物理問題建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述物理問題的能力；通過學(xué)習(xí)典型的數(shù)學(xué)物理方程的求解，為學(xué)生儲備解決實際物理問題的數(shù)學(xué)技能；通過對數(shù)學(xué)過程和物理意義的深入剖析，讓學(xué)生體會到形式與內(nèi)容的統(tǒng)一、科學(xué)內(nèi)在的美。因而，這門課程的開設(shè)，不僅為后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)奠定了必要的數(shù)學(xué)知識，而且提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)物理素質(zhì)，對學(xué)生將來進(jìn)一步開展科學(xué)研究具有重要而深遠(yuǎn)的意義。然而，由于課程不僅涉及知識面廣，包含了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、常微分方程、積分變換、和物理學(xué)中力熱光電等知識，而且有大量的繁瑣數(shù)學(xué)推導(dǎo)，求解結(jié)果通常又是復(fù)雜的級數(shù)或者積分形式，其中又使用了三角函數(shù)或者特殊函數(shù)來表示，往往讓學(xué)生倍感枯燥、產(chǎn)生畏懼情緒，是一門公認(rèn)的較難課程。尤其對我們電信院學(xué)生來說，這門難學(xué)課程又是學(xué)習(xí)后續(xù)的電波傳播、電磁場理論、微波技術(shù)等其它幾門公認(rèn)難學(xué)課程的起點(diǎn)和基石，教師教好這門課程、學(xué)生學(xué)好這門課程顯得尤為重要。如何改進(jìn)教學(xué)教法，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的能動性，是教師所面臨的一項重要課題。筆者借鑒他人的教改經(jīng)驗，在教學(xué)實踐中，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段等多方面進(jìn)行了一些有益探索，并取得了良好的教學(xué)效果。

1 突出教學(xué)重點(diǎn)和注意教學(xué)方法

數(shù)學(xué)物理方程這門課程具有內(nèi)容多、難度大，而課時較少的特點(diǎn)，這就需要教師根據(jù)教學(xué)目的和教學(xué)要求全面把握教學(xué)內(nèi)容、突出教學(xué)重點(diǎn)。該課程的主要內(nèi)容是具有典型意義的三類偏微分方程的建立，以及分離變量法、行波法、積分變換法和格林函數(shù)法幾種典型的求解方法，因此，教師教學(xué)需要圍繞這些內(nèi)容展開，突出教學(xué)重點(diǎn)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)三類方程建立和求解的過程中來逐漸掌握偏微分方程的基本理論。

注意循序漸進(jìn)安排教學(xué)內(nèi)容，便于學(xué)生對知識的理解和掌握，可以取得事半功倍的效果。例如，講解利用分離變量法求解兩端固定弦的自由振動方程后，可以引導(dǎo)學(xué)生思考，這種方法是否也能求解熱傳導(dǎo)方程和拉普拉斯方程？通過適當(dāng)練習(xí)，學(xué)生能夠掌握具有第一類其次邊界條件的偏微分方程的分離變量解法。再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，如果是第二類和第三類邊界條件，利用分離變量法求解，解的形式會是怎樣？經(jīng)過分析和練習(xí)，學(xué)生能夠舉一反三，熟練掌握分離變量法，并能深刻理解本征函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)非齊次方程求解時，學(xué)生很容易地聯(lián)想到本征值和本征函數(shù)，培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用知識的能力。

注意前后知識點(diǎn)的內(nèi)在邏輯性、突出知識體系的連續(xù)性和系統(tǒng)性，有利于學(xué)生形成自己的知識結(jié)構(gòu)。學(xué)生在學(xué)習(xí)兩類特殊函數(shù)時，容易迷失在繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)中。授課時，我們結(jié)合簡單的專業(yè)研究現(xiàn)象來引導(dǎo)學(xué)生，對于大家常見的柱狀天線和球形天線，假如它們發(fā)射的電波滿足前面所學(xué)的第一、二或三類邊界條件，該如何進(jìn)行分離變量求解從而知道電波的傳播和分布呢？從而很自然引入球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系下偏微分方程的表達(dá)形式，并類比前面所學(xué)知識，進(jìn)行變量分離，對每個分離后的微分方程尋找本征函數(shù)，勒讓德多項式和貝塞爾函數(shù)分別是相應(yīng)微分方程的本征函數(shù)而已。這樣，通過分離變量和本征函數(shù)的數(shù)學(xué)和物理思想，把前后知識融為一體，讓學(xué)生把厚書讀薄，牢固掌握。

注意知識的歸納總結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生分析和解決問題的能力。盡管該課程教學(xué)課時緊，但是花少許時間對所學(xué)知識進(jìn)行歸納和歸納總結(jié)，會產(chǎn)生良好的教學(xué)效果。在教學(xué)的不同階段，可就三類方程、或者四種求解方法、或者不同的類型邊界條件、或者不同坐標(biāo)系下解的特點(diǎn)的角度，分別進(jìn)行對比總結(jié)，提高學(xué)生的分辨能力和求解技能。再如，在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生容易把球坐標(biāo)系中軸對稱靜態(tài)問題和柱坐標(biāo)系中圓域的Dirichlet問題容易混淆，經(jīng)過教學(xué)總結(jié)，考試檢查中幾乎不再有學(xué)生犯這類錯誤了。

2 數(shù)學(xué)過程和物理意義并重

數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)中，肯定避免不了繁多的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和冗長的求解過程，然而，如果教師僅限于清楚講授數(shù)學(xué)過程和數(shù)學(xué)技巧，可能會使學(xué)生感到枯燥，失去對這門課程的好奇心和學(xué)習(xí)的興趣，尤其是在授課的早期階段、學(xué)生剛學(xué)習(xí)這門課程的時候。在教學(xué)過程中，注重從實際物理問題出發(fā)，利用物理規(guī)律和物理背景建立起數(shù)學(xué)物理方程，而且闡明數(shù)學(xué)過程和數(shù)學(xué)結(jié)果中的物理含義，從而使學(xué)生從數(shù)學(xué)的抽象思維中獲得感性的認(rèn)識，便于學(xué)生理解，讓這門課程真正起到培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實際物理問題的能力的作用。

在教學(xué)過程中，我們結(jié)合學(xué)生專業(yè)特點(diǎn)以及可能繼續(xù)攻博的情況，深化了物理過程和物理意義的教學(xué)，注重理論學(xué)習(xí)聯(lián)系實際應(yīng)用。例如，面對眾多Fourier變化性質(zhì)，我們逐一解釋在電路、電波和通訊領(lǐng)域的應(yīng)用，學(xué)生都表現(xiàn)出濃厚的興趣，能很快理解和掌握這些性質(zhì)。對于包括自然邊界條件在內(nèi)的各類邊界條件，闡明在電磁場研究中的具體形式及其物理含義，并明確告訴學(xué)生，后續(xù)學(xué)習(xí)的電波理論和微波技術(shù)等課程，實質(zhì)上就是求解Maxwell偏微分方程組在不同初始條件和邊界條件下的解。結(jié)合球形天線和柱形天線，以及電波在大氣中的Mie散射等實際問題，讓學(xué)生認(rèn)識到為什么要在球坐標(biāo)系下和柱坐標(biāo)系下研究數(shù)學(xué)物理方程以及研究的重要性。對于方程的級數(shù)解和積分解等各種形式解的物理意義，我們都不惜深究，同時，向?qū)W生指明，這種從實際物理問題到數(shù)學(xué)建模求解，再從方程數(shù)學(xué)解回到實際的物理世界和物理意義的研究模式，實際上也是未來大家做學(xué)問的常用模式，不僅要習(xí)慣這種研究模式，而且要善于運(yùn)用這種研究模式。通過這種結(jié)合物理、聯(lián)系實際的教學(xué)，我們感到學(xué)生沒有被大量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)模糊視野，非常熱愛學(xué)習(xí)這門課程，下課后經(jīng)常有大量的學(xué)生圍繞教師饒有興趣地開展討論，久久不愿離去。

在教學(xué)中，我們注重厘清數(shù)學(xué)和物理的內(nèi)在關(guān)系，讓學(xué)生認(rèn)識到該課程所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)和物理的高度統(tǒng)一。例如，客觀上，物理量的演變不僅受到物理規(guī)律的支配，還與物理量在周圍空間分布和上一時刻狀態(tài)有關(guān)，對應(yīng)于數(shù)學(xué)上，描述為偏微分方程和邊界條件、初始條件。再如，對初學(xué)分離變量法求解兩端固定弦自由振動方程獲得的級數(shù)解的深入分析。振動產(chǎn)生波，波是大家熟知的物質(zhì)世界的一種運(yùn)動形式。對于兩端固定的弦，弦的長度、線密度等固有因素，決定了弦振動的快慢即波動周期；同時，波速取決于介質(zhì)屬性，或者說弦的固有因素也決定了波速，這就意味著波長也是確定的；表示波動的數(shù)學(xué)形式是三角函數(shù)，用數(shù)學(xué)語言來說，就是方程的本征值和本征函數(shù)是確定的。那么，對于弦振動方程的求解，實質(zhì)上就是要確定弦中允許存在的一系列波譜成分的強(qiáng)度，具體由弦初始位移和初始速度中相應(yīng)譜成分決定，換成數(shù)學(xué)語言，解是三角函數(shù)的級數(shù)和，要計算的就是三角函數(shù)的系數(shù)，具體值由兩個初始條件做Fourier級數(shù)展開求得。因此，是客觀世界的運(yùn)動特征決定了解的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，或者說，解的數(shù)學(xué)表達(dá)形式是對客觀世界運(yùn)動特征的恰當(dāng)描述。對非齊次邊界條件和非齊次方程的解、達(dá)朗貝爾解、積分解等各種形式的解，做類似的數(shù)學(xué)和物理分析，從而，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，偏微分方程的求解通常是很困難的，一般很難找到一個較簡單的解析式解，我們的求解過程是物理和數(shù)學(xué)的高度統(tǒng)一，是數(shù)學(xué)和物理的和諧美，培養(yǎng)學(xué)生的鑒賞能力、科學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)激情。

3 傳統(tǒng)和現(xiàn)代教學(xué)手段并用

教學(xué)過程，在傳統(tǒng)的粉筆板書的基礎(chǔ)上，靈活采用多種現(xiàn)代化教學(xué)手段，提高教學(xué)效果。傳統(tǒng)的板書教學(xué)方式，推導(dǎo)過程清楚直觀，便于對重難點(diǎn)進(jìn)行突破。雖然授課速度較慢，但對于接受新知識的學(xué)生來說，留有較充足的時間思考，印象深刻，便于課堂上消化所學(xué)知識。在課堂教學(xué)中，我們?nèi)匀灰詡鹘y(tǒng)的黑板板書為主要教學(xué)方式，繼續(xù)發(fā)揮傳統(tǒng)教學(xué)方式的優(yōu)勢。此外，盡管是大學(xué)教學(xué)，黑板板書也應(yīng)該盡量避免隨意性，對板書內(nèi)容和板書模式、課前根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和要求做好精心設(shè)計，條理清晰，利于學(xué)生學(xué)習(xí)。

同時，靈活應(yīng)用現(xiàn)代化的多媒體手段進(jìn)行輔助教學(xué)。對于一些背景知識、歸納總結(jié)、非重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容的定理和推導(dǎo)、以及部分教師擴(kuò)展的教學(xué)內(nèi)容，適合電子課件教學(xué)。充分利用Matlab和Maple等教學(xué)軟件，②發(fā)揮多媒體聲、圖和動畫視頻等優(yōu)勢，把物理情景和物理過程形象地展示出來，既豐富了課堂，又加深了學(xué)生的理解。而且，我們鼓勵學(xué)生自己動手編程，對物理過程進(jìn)行分和仿真，例如，有學(xué)生用動畫展示和比較了弦振動方程在三類邊界條件下的解，有學(xué)生成功模擬了柱坐標(biāo)系中柱面波的傳播、反射和衍射等現(xiàn)象?，F(xiàn)代化的教學(xué)手段，深受學(xué)生歡迎。

總之，充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)物理方程這門課程的重要性，根據(jù)課程的特點(diǎn)，在教學(xué)實踐中，我們始終以夯實學(xué)生基礎(chǔ)、培養(yǎng)學(xué)生能力為目標(biāo)，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提升教學(xué)質(zhì)量上下足功夫，不斷探索和總結(jié)教學(xué)方法，取得了良好的成績。時代在發(fā)展，社會在進(jìn)步，知識在更新，教學(xué)無止境，需要我們教師相互學(xué)習(xí)、相互探討，堅持教學(xué)改革，為培養(yǎng)優(yōu)秀人才而不斷努力。

注釋

① 姚端正，梁家寶.數(shù)學(xué)物理方法（第二版）.武漢大學(xué)出版社，1997.

② 彭芳麟.數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB解法與可視化.清華大學(xué)出版社，2004.