摘要：由于各種主客觀因素的影響，目前工科線性代數(shù)教學(xué)中往往只是一味的介紹知識，而忽略了數(shù)學(xué)思想的滲透與引導(dǎo)，使學(xué)生對原本就枯燥的數(shù)學(xué)更加排斥，事倍功半。文章以作者多年的教學(xué)實踐為基礎(chǔ)，從等價關(guān)系、公理化思想、線性變換、從具體到一般的推廣、空間和同構(gòu)、算法等六個方面找到數(shù)學(xué)思想與教學(xué)內(nèi)容的切入口，指出線性代數(shù)課程向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)思想的途徑，從而加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)興趣。

關(guān)鍵詞：教學(xué)改革線性代數(shù)數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)素養(yǎng)

一、引言

數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科技的基礎(chǔ)和基本工具，尤其對于理工科科技從業(yè)人員。那么在高校的學(xué)生培養(yǎng)和數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何強化數(shù)學(xué)思想的傳遞，從而加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)興趣就很重要了。

文章依據(jù)作者多年的線性代數(shù)教學(xué)實踐，總結(jié)了本課程中引入數(shù)學(xué)思想的切入口和結(jié)合點，以期拋磚引玉，供同行進(jìn)一步探討與提高。

1. 什么是數(shù)學(xué)思想

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對數(shù)學(xué)事實與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識[1]。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)觀點、方法的總結(jié)與提升，是數(shù)學(xué)知識中更深刻更凝練更本質(zhì)的知識。對于學(xué)習(xí)者而言，數(shù)學(xué)思想既有綱領(lǐng)式的指導(dǎo)意義，也有總括式的歸納總結(jié)意義。而對于創(chuàng)造者而言，它則更具有啟發(fā)性。在學(xué)習(xí)中應(yīng)予以充分的重視。

2.理工科數(shù)學(xué)教學(xué)中向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)思想的重要性

對于理工科專業(yè)人才的培養(yǎng)，在全國乃至全世界數(shù)學(xué)課程都是公共必修基礎(chǔ)課，都是學(xué)習(xí)專業(yè)知識的基礎(chǔ)和基本工具，可見其必要性和重要性。對于學(xué)習(xí)者而言，必要的數(shù)學(xué)知識更是其創(chuàng)新技術(shù)，作出原創(chuàng)性成果的必備基礎(chǔ)和堅強后盾。

目前各高校都在進(jìn)行教育教學(xué)改革，教學(xué)方面理論學(xué)時被壓縮，數(shù)學(xué)課程也不可幸免。線性代數(shù)從最初的64學(xué)時壓縮到48學(xué)時再到如今的32學(xué)時。再加上課程考試、國慶等假期的影響，實際授課學(xué)時往往只有28學(xué)時左右，有效授課時間捉襟見肘。另一方面，大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容都是最基本的高等數(shù)學(xué)知識，在量上很難舍棄。又由于數(shù)學(xué)知識的前后連貫性強，更不可斷章取義，這就導(dǎo)致課程內(nèi)容幾無壓縮空間。再一方面學(xué)生剛剛從中學(xué)進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)，其對專業(yè)知識滿懷期待但又缺乏認(rèn)知，尚不能意識到數(shù)學(xué)知識的必要性和重要性。再加上數(shù)學(xué)本身不那么簡單易學(xué)，這就使學(xué)生容易厭學(xué)數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)重視程度不夠。

鑒于以上諸多因素，應(yīng)加強數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中的引入，強化數(shù)學(xué)思想的傳遞，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和認(rèn)識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)興趣。古人云，授人以魚不如授人以漁。漁是什么？漁就是思想方法。在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)思想，一方面是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的要求，是“提綱挈領(lǐng)”理解掌握數(shù)學(xué)知識的需要；另一方面是解決教學(xué)實際中學(xué)時少內(nèi)容多這一矛盾的關(guān)鍵。將數(shù)學(xué)思想作為引導(dǎo)，學(xué)生更容易從整體把握所學(xué)內(nèi)容。這不僅提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也提高了其學(xué)習(xí)興趣，事半功倍。

3. 加強數(shù)學(xué)思想的教學(xué)對教師提出更高要求

在課堂中潛移默化地強化數(shù)學(xué)思想的傳遞，對教師自身的數(shù)學(xué)修養(yǎng)、教學(xué)技術(shù)等都提出更高要求。一方面，教師需要學(xué)習(xí)更多更現(xiàn)代的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)而濃縮提煉出思想方法，另一方面，需要找到這些思想性的知識與現(xiàn)行理工科本科教學(xué)內(nèi)容的銜接點和切入口。并且需要尋找較“低等”的數(shù)學(xué)語言來傳授高等的抽象的現(xiàn)代的思想方法。這些都對教師自身修養(yǎng)提出更高的要求。

二、以學(xué)科知識為載體，傳遞數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在目前的教學(xué)內(nèi)容、學(xué)時安排和學(xué)生接受能力等主客觀條件的約束下，可以將以下幾個方面的內(nèi)容和方法融匯于課堂教學(xué)中，突出其綱領(lǐng)脈絡(luò)的地位，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生在掌握知識的同時，學(xué)習(xí)體會數(shù)學(xué)思想精髓，加深對于概念定理的理解，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，并推動擴(kuò)大對于代數(shù)乃至整個數(shù)學(xué)學(xué)科的理解和領(lǐng)悟，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1.等價關(guān)系

課程中涉及到等價關(guān)系的知識點很多，并且等價的思想貫穿課程的始終。集合上的一種等價關(guān)系，必然等效于集合上的一個劃分，并因此產(chǎn)生等價類，產(chǎn)生商集。在同一個等價類中，有相應(yīng)的等價不變量以及完全等價不變量。等價不變量是等價類中各對象的共性，具有重要的意義，在數(shù)學(xué)研究中，相當(dāng)部分的工作都與分類有關(guān)。因此，等價關(guān)系、等價類、等價不變量的思想對于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)具有很好的啟蒙作用。

行列式可按一行（列）展開，那是否能按多行（列）展開呢？有了從具體到一般的推廣思想，那么由一行展開公式必然誘導(dǎo)人們?nèi)ニ伎及炊嘈姓归_的問題。這樣就產(chǎn)生了行列式按多行（列）展開的Laplace展式。顯然Laplace展式的應(yīng)用更廣更有效。例如對于含零較多的行列式，Laplace展式應(yīng)用起來更快捷。

5. 空間和同構(gòu)

線性代數(shù)中涉及到數(shù)學(xué)中的一些重要概念。這些概念本身就具有一般性。

空間是數(shù)學(xué)中涉及最廣的概念之一，在大學(xué)的公共基礎(chǔ)課線性代數(shù)中首次詳盡闡述。當(dāng)給一個集合賦予特定的結(jié)構(gòu)時，就構(gòu)成一個空間，即“集合+結(jié)構(gòu)”就是空間。如線性空間、度量空間、Banach空間等。空間構(gòu)成數(shù)學(xué)研究的基本范圍和對象。這樣的概念當(dāng)然很重要了。

同構(gòu)是線性代數(shù)中涉及的另一個類似的概念。兩個空間之間如果可以建立雙射，并且該雙射對于空間的結(jié)構(gòu)也是保持的，那么這兩個空間就同構(gòu)。例如一般的線性空間與通常向量空間的同構(gòu)、度量空間的等距同構(gòu)等。兩個同構(gòu)的空間具有相同的結(jié)構(gòu)，可以將其中研究的較成熟的一個空間的相應(yīng)結(jié)論直接應(yīng)用到另一個新的抽象的空間中去。這樣不僅減少很多工作量，也加深了對數(shù)學(xué)及自然界的認(rèn)識。

6. 算法

另一個需要提及的問題就是“算法思想”。線性代數(shù)只是最初級的基礎(chǔ)課。對于理工科學(xué)生而言，后續(xù)的矩陣論、計算方法等都是將來工程計算的必備工具。在后續(xù)課程中將重點研究如何更快捷更實際可行地計算復(fù)雜的工程問題。但線性代數(shù)中已涉及到類似的思想。在求解線性方程組時若其系數(shù)矩陣是可逆矩陣，則可以用Cramer法則求解也可以用Gauss消元法求解。似乎Cramer法則有一般的公式，更通用易行，而Gauss消元法由于主元選擇的主觀性，似乎無固定方法，通用性差。實則不然，工程中涉及幾百、幾千未知量的線性方程組是司空見慣的事，若要用Cramer法則計算，其運算量相當(dāng)龐大，即使用現(xiàn)今最先進(jìn)的計算機(jī)，也超出了工程時限要求而不可行。相反，Gauss消元法不僅可以通過固定的步驟完成，而且資源占用少，只需少許時間就可完成計算，具有工程實用性和可行性。

三、教學(xué)實踐與小結(jié)

在教學(xué)實踐中，由于學(xué)時限制，可以將課程中簡單易學(xué)的部分，尤其是許多程式化的運算，下放給學(xué)生自學(xué)，而對于難的抽象的部分由教師系統(tǒng)講解。在教學(xué)中融入數(shù)學(xué)思想的啟發(fā)與熏陶，不僅加深了學(xué)生對課程內(nèi)容的理解，強化了對知識的融會貫通，也提高了學(xué)生對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，達(dá)到事半功倍的效果。

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