摘 要：本文提出了一種基于N-mode SVD的HRTF個(gè)人化近似方法。HRTF（Head-Related Transfer Function），即頭相關(guān)傳輸函數(shù)，描述了聲波從聲源方位到耳道口的傳輸特性，反映了頭部、軀干和外耳等身體結(jié)構(gòu)對(duì)不同方向聲音信號(hào)的濾波效果。本文給出的多重近似方法基于傳統(tǒng)獨(dú)立主元分析的張量擴(kuò)展[1]。使用該方法只需測(cè)量不同個(gè)體的部分生理參數(shù)即可得到該個(gè)體的個(gè)人化HRTF。

關(guān)鍵詞：聽(tīng)覺(jué)系統(tǒng)；HRTF；張量；多重線性近似

中圖分類(lèi)號(hào)：TP311

頭相關(guān)傳輸函數(shù)HRTF（Head-Related Transfer Function）描述了聲波從聲源到耳道口的傳輸特性，反映不同個(gè)體的身體結(jié)構(gòu)對(duì)不同方向聲音信號(hào)的濾波效果，是頭相關(guān)脈沖響應(yīng)HRIR的傅里葉變換，它能解釋傳統(tǒng)的耳間差線索（雙耳時(shí)間差和雙耳強(qiáng)度差）的聲源定位機(jī)理，同時(shí)還能解釋傳統(tǒng)雙工理論所不能解釋的“混淆錐”問(wèn)題[2]。

HRTF與特定的聲源方位及特定個(gè)體的生理結(jié)構(gòu)（頭部、軀體、外耳等結(jié)構(gòu)）有關(guān)，如果采用不匹配的HRTF的虛擬聽(tīng)覺(jué)系統(tǒng)，聽(tīng)者由于其本身的HRTF與系統(tǒng)采用的HRTF差異，容易造成聽(tīng)者的聲源定位失真[3]。然而HRTF的測(cè)量是一項(xiàng)耗時(shí)且昂貴的工作，對(duì)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行全方位的HRTF測(cè)量也不切實(shí)際。因此，從應(yīng)用的角度考慮，需要尋求個(gè)人化HRTF的近似方法，即通過(guò)對(duì)受試者的一些結(jié)構(gòu)參數(shù)及生理尺寸的測(cè)量，或者通過(guò)測(cè)量空間少數(shù)方向的HRTF數(shù)據(jù)，通過(guò)近似的方法估計(jì)和定制出相應(yīng)的個(gè)人化HRTF。

1 HRTF的張量分解

1.1 張量的基本概念

通常情況下張量[5-7]可以看作為矩陣的擴(kuò)展，一個(gè)向量可以看成是一階張量，一個(gè)矩陣可以看成二階張量，有若干個(gè)相同維數(shù)矩陣疊放在一起組成立方體形式的數(shù)組可以看作為一個(gè)三階張量。更高階的張量無(wú)法使用可視化直接表示?；叶葓D像本質(zhì)上是一個(gè)矩陣[4，5]，視頻則是一個(gè)三階張量。一般情況下，基于向量的算法要把矩陣或者其它階張量展開(kāi)為向量，容易破壞原始數(shù)據(jù)的空間結(jié)構(gòu)。而基于張量的算法不需要將張量展開(kāi)為向量。下面是一些高階張量運(yùn)算定義[6]。

設(shè)X為M階張量，即 ，其中Ni表示X每階的維數(shù)。X的某個(gè)元素定義為： ，其中1≤ni≤Ni，1≤i≤M。

張量積：設(shè)X和Y張量同階，即 ， 則X和Y的張量積定義為：

（1）

張量模d矩陣化：模d矩陣化是指將一個(gè)M階張量 轉(zhuǎn)換為一個(gè)矩陣。即將張量X轉(zhuǎn)換為 ， 。張量模d矩陣化的實(shí)質(zhì)就是把張量X的第Nd階方向的向量提出來(lái)，而其它階方向的向量置于Nd階方向的向量的后面形成一個(gè)矩陣。

張量壓縮：張量壓縮通過(guò)讓兩個(gè)下標(biāo)相等并把所有重復(fù)下標(biāo)的值相加得到。張量壓縮可以使張量階數(shù)減2，同時(shí)滿足愛(ài)因斯坦求和約定。通常情況下， ， ，張量積 的壓縮定義為：

（2）

張量的模d乘：張量的模d乘是張量 和矩陣 的一種運(yùn)算，表示為X×dU。

1.2 基于N-mode SVD的HRTF分解

N-mode SVD分解最主要的一個(gè)功能是對(duì)于目標(biāo)維度的降維。傳統(tǒng)的PCA降維會(huì)影響整個(gè)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)，而N-mode SVD降維可以分別對(duì)特定維度進(jìn)行。

SVD（singular value decomposition）作為傳統(tǒng)主元分析法的拓展，D=U1SU2T，假設(shè)D為m×n矩陣，那么U1為m×m階酉矩陣；S為m×n階對(duì)角矩陣，其中Sii為D的奇異值；U2T為n×n階酉矩陣。使用張量的模d乘可得D=S×1U1×2U2，對(duì)于通用的N-mode SVD可以表示為：

D=z×1U1×2U2×L×nUn×NUN

式中核張量z類(lèi)似于SVD分解中奇異值張量，Ui表示張量的特征向量。詳細(xì)的N-mode SVD分解請(qǐng)參考文獻(xiàn)[1]。

2 HRTF多重線性近似

2.1 HRTF數(shù)據(jù)

本文采用加州大學(xué)戴維斯分校提供的CIPIC數(shù)據(jù)庫(kù)[8]，它提供了43個(gè)真人對(duì)象的1250個(gè)方位（50個(gè)垂直方向，25個(gè)水平方向）的HRIR數(shù)據(jù)。其空間分辨率約5°。另外CIPCI數(shù)據(jù)庫(kù)還給出了27個(gè)人體參數(shù)的測(cè)量數(shù)據(jù)。每個(gè)HRIR時(shí)長(zhǎng)4.5ms共200個(gè)采樣點(diǎn)，經(jīng)過(guò)FFT變換得到HRTF，這里我們左右耳組合成一個(gè)包含左右耳HRTF共400個(gè)頻率點(diǎn)。

CIPIC數(shù)據(jù)庫(kù)中的43個(gè)真人受試者其中有8個(gè)人的數(shù)據(jù)不可獲取，故37個(gè)受試者的數(shù)據(jù)可用。對(duì)于該37個(gè)對(duì)象的人體參數(shù)經(jīng)過(guò)DTF的PCA分析選擇8個(gè)人體參數(shù)。最后得出一個(gè)人體參數(shù)矩陣作為Uperson初始數(shù)據(jù)集A。

2.2 HRTF個(gè)人化

使用上述HRTF數(shù)據(jù)A，定義一個(gè)HRTF數(shù)據(jù)張量，D∈RF×P×D，其中F為DTF頻率點(diǎn)數(shù)（400），P為CIPIC數(shù)據(jù)庫(kù)中可用的受試者人數(shù)（37），D為方位數(shù)（1250）。使用N-mode SVD分解，可以將張量分解為：D=z×1UF×2UP×3UD

本文使用的目標(biāo)維度是UP，即所需降維的是UP，這里我們將UP從37降低到5，得到 ，這樣即需要計(jì)算出A→ 的投影矩陣。這里采用 回歸模型，其中B為一個(gè)系數(shù)矩陣，式子兩邊先轉(zhuǎn)置后左乘A-1可解得BT： 。

對(duì)于一個(gè)新的受試者（HRTF不在數(shù)據(jù)庫(kù)內(nèi)），其人體參數(shù)張量可表示為anew，解該張量系數(shù)矩陣 ，其滿足： 通過(guò) ，可以解得該新受試者的完整HRTF，得：

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)論

由于CIPIC數(shù)據(jù)庫(kù)中有8個(gè)人人體參數(shù)數(shù)據(jù)不全，這里選取剩余37個(gè)人的HRIR和相應(yīng)的人體參數(shù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。為了充分利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們將36個(gè)測(cè)量對(duì)象數(shù)據(jù)用于建立回歸模型，另外一個(gè)人數(shù)據(jù)（這里使用數(shù)據(jù)庫(kù)中編號(hào)為163的測(cè)量對(duì)象數(shù)據(jù)）用于測(cè)試模型的有效性。為了驗(yàn)證該方法的性能，及方便評(píng)價(jià)本章提出的HRTF個(gè)人化方法的有效性，本文利用譜失真度（SD：Spectral Distortion）[9]來(lái)度量估計(jì)的HRTF與數(shù)據(jù)庫(kù)中測(cè)量得到的HRTF之間的逼近程度：

式中H（?n）為測(cè)量的HRTF， 為估計(jì)的HRTF，?為頻率。文獻(xiàn)[10]的研究表明：SD的值越小表明估計(jì)的HRTF與測(cè)量得到的HRTF越接近，且用估計(jì)的HRTF也可以得到較好的定位效果。

圖1給出了CIPIC數(shù)據(jù)庫(kù)中標(biāo)號(hào)為163號(hào)的前半水平面左耳的SD值。其頻帶范圍為0～2S，綠色線為測(cè)量得到的HRTF）。從圖中可以看出，除了個(gè)別頻率點(diǎn)突變外，本文給出的HRTF個(gè)人化方法能夠較好地逼近測(cè)量的HRTF。

圖1 編號(hào)163前半水平面左耳SD值

圖2 編號(hào)163水平方向-55度右耳

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作者簡(jiǎn)介：蔣孟宜（1987-），男，四川達(dá)縣人，研究生；付安邦，碩士。

作者單位：四川大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，成都 610064