摘 要：本文介紹了分數(shù)階微積分的定義，以及分數(shù)階超前校正裝置的定義及其數(shù)字實現(xiàn)。以某無人機俯仰通道為例，借助MATLAB的優(yōu)化功能設(shè)計分數(shù)階超前校正裝置，并進行仿真。結(jié)果表明，分數(shù)階超前校正裝置具有比整數(shù)階校正裝置更優(yōu)的控制性能，且對系統(tǒng)參數(shù)變化具有一定的魯棒性。

關(guān)鍵詞：分數(shù)階微積分；分數(shù)階超前校正；MATLAB；無人機

中圖分類號：V212.12

在自動控制系統(tǒng)的校正中，超前校正是一種簡單實用的校正方式，在無人機飛行控制系統(tǒng)的設(shè)計中也有廣泛的應(yīng)用，分數(shù)階微積分的應(yīng)用已逐漸應(yīng)用到許多工程領(lǐng)域。應(yīng)用分數(shù)階控制器，可以使系統(tǒng)獲得較整數(shù)階控制器更好的控制品質(zhì)和動態(tài)特性。

1 分數(shù)階微積分定義

分數(shù)階微積分是指微積分的階次為分數(shù)甚至推廣到復(fù)數(shù)領(lǐng)域的微分和積分的理論，它與整數(shù)階微積分是統(tǒng)一的，是整數(shù)階微積分的推廣。

定義連續(xù)的分數(shù)階微積分算子如下：

式中：0和t分別為微分或積分的上下限；τ為積分變量，α為任意復(fù)數(shù)。

常用的分數(shù)階微積分的定義有下列三種。

（1）Grunwald-Letnikov定義

式中：[x]表示x的整數(shù)部分； 為二項式系數(shù)。

（2）Riemann-Liouville定義

式中：n-1

（3）Caputo定義

此定義更適用于分數(shù)階微積分方程初值問題，而與Riemann-Liouville定義的區(qū)別是在對常數(shù)的求導(dǎo)上，前者為0，后者無界。對于很廣的一類實際函數(shù)，Riemann-Liouville與Grunwald-Letnikov定義是等效的。

從以上定義可以看出，連續(xù)函數(shù)在某點的分數(shù)階微積分和整數(shù)階不同，區(qū)別之處在于它不是在該點處求極限，而是與初始時刻到該點之前的所有時刻的函數(shù)值有關(guān)，具有記憶性。

2 分數(shù)階超前校正裝置及其數(shù)字實現(xiàn)

與整數(shù)階超前校正裝置的傳遞函數(shù)類似，采用分數(shù)階的超前校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可定義為：

對于一般系統(tǒng)，為簡化設(shè)計，傳遞函數(shù)中分子分母階次相同。

目前有許多不同的近似的方法，每種方法都有各自的優(yōu)點和不足，具體在應(yīng)用中選取哪一種，取決于系統(tǒng)自身的設(shè)計要求。本文選取Crone近似方法來處理分數(shù)階微積分函數(shù)。Crone近似法提供了一種基于零點和極點遞歸分布的連續(xù)近似，這樣在交替的區(qū)間選擇零點和極點，就可構(gòu)造一傳遞函數(shù)，其增益在頻域的對數(shù)坐標中幾乎是線性的，而相位幾乎為常數(shù)，并使其增益的斜率和相位對應(yīng)于分數(shù)階傳遞函數(shù)的值。該方法在給定的頻率范圍內(nèi)擬合效果較好，穩(wěn)定性較高。

采用Crone近似實現(xiàn)的傳遞函數(shù)為：

式中：

n個零點：

n個極點：

3 仿真實例

以某無人機為例，其狀態(tài)方程為：

可得升降舵到俯仰角的傳遞函數(shù)。進一步加入舵機后，其傳遞函數(shù)為：

利用MATLAB仿真，可知未校正系統(tǒng)雖然是穩(wěn)定的，但平穩(wěn)性和快速性差，需要進行校正。

3.1 整數(shù)階及分數(shù)階超前校正裝置參數(shù)的選取

利用Matlab2013/simulink模塊中的優(yōu)化功能，首先構(gòu)造系統(tǒng)模型如圖1：

圖1

在整數(shù)階超前校正裝置設(shè)計時，為使系統(tǒng)對于高頻噪聲具有很好的抑制能力，首先限定α=10。利用Matlab2013/Simulink Design Optimization模塊中的Check Step Response characteristics工具，在響應(yīng)范圍設(shè)定中，暫且規(guī)定響應(yīng)從零首次上升至終值90%所需的時間為上升時間；規(guī)定響應(yīng)首次到達并保持在±2%誤差帶內(nèi)的時間為調(diào)節(jié)時間。在此基礎(chǔ)上初步設(shè)定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的上升時間tr=5s，調(diào)節(jié)時間ts=7s，及超調(diào)量為10%。選取T為待定參數(shù)，并賦初值為1，進行多次優(yōu)化，確定整數(shù)階校正裝置的參數(shù)T=0.0585。因此校正裝置的傳遞函數(shù)為：

設(shè)計分數(shù)階超前校正裝置的傳遞函數(shù)，并利用Crone近似為五階系統(tǒng)，其零極點形式為：

為了使分數(shù)階校正裝置具有上述整數(shù)階校正裝置相同的抑制高頻噪聲能力，可令二者高頻段的對數(shù)幅頻值相同，因此有：

利用Check Step Response characteristics工具，響應(yīng)范圍設(shè)定與整數(shù)階校正裝置參數(shù)優(yōu)化的設(shè)置相同，并選取T和μ為待定參數(shù)，并賦初值為T=0.5，μ=1，通過多次優(yōu)化，選取參數(shù)分別為，u=1.8892，T=0.1841。因此校正裝置的傳遞函數(shù)為：

3.2 校正裝置性能比較

仿真出利用整數(shù)階與分數(shù)階超前校正裝置校正后的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖2，分別用點劃線和實線表示。由圖可得，經(jīng)整數(shù)階校正裝置校正后，系統(tǒng)的超調(diào)量δ%=34.2%，調(diào)節(jié)時間ts=2.38s；經(jīng)分數(shù)階校正裝置校正后，超調(diào)量δ%=0.421%，調(diào)節(jié)時間ts=1.13s。仿真結(jié)果表明，兩種校正裝置均能使系統(tǒng)在很短時間內(nèi)穩(wěn)定，且無穩(wěn)態(tài)誤差。而分數(shù)階校正裝置能夠使系統(tǒng)具有更好的平穩(wěn)性和快速性，系統(tǒng)的控制性能得到了明顯的改善。

圖2

如果使該模型參數(shù)在±20%的范圍內(nèi)變化，而控制器參數(shù)不變，可得到的響應(yīng)曲線如圖3所示。其中虛線和點劃線分別為系統(tǒng)各參數(shù)減小20%和增大20%后，利用上述分數(shù)階校正裝置校正后的單位階躍響應(yīng)曲線。與實線所表示的參數(shù)未發(fā)生變化時的校正結(jié)果相比，控制效果基本相同?？梢?，分數(shù)階超前校正裝置對待校正系統(tǒng)的參數(shù)變化不是很敏感，如果校正裝置參數(shù)已經(jīng)整定好，即使被控對象參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化，在不調(diào)整校正裝置參數(shù)的情況下，仍然可以得到良好的控制效果，這說明該校正裝置具有一定的魯棒性。

圖3

4 結(jié)束語

分數(shù)階超前校正突破了傳統(tǒng)的超前校正對校正裝置階次的限制，使其階次可以在實數(shù)范圍內(nèi)選取，因此增加了兩個可調(diào)參數(shù)，即增加了兩個自由度，能夠更靈活精確地對系統(tǒng)進行校正。本文以某無人機俯仰通道為例，借助MATLAB軟件中的優(yōu)化功能，采用分數(shù)階超前校正裝置對系統(tǒng)進行了校正設(shè)計。與傳統(tǒng)的整數(shù)階超前校正裝置相比，校正后的系統(tǒng)具有更好的穩(wěn)定程度和動態(tài)性能。且當分數(shù)階超前校正裝置的參數(shù)確定后，若系統(tǒng)的相應(yīng)參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化，校正裝置仍能起到基本相同的控制效果，而不必重新整定校正裝置的參數(shù)值，因而其具有更強的魯棒性。因此證明了分數(shù)階超前校正裝置性能的優(yōu)越性。分數(shù)階超前校正裝置在無人機飛行控制系統(tǒng)設(shè)計中將具有廣闊的應(yīng)用前景。

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作者簡介：焦明姝（1983-），吉林雙遼人，碩士，講師，研究方向：控制工程及自動化。

作者單位：空軍航空大學(xué) 飛行器控制系，吉林長春 130022