引例 某校從高一年級(jí)的8個(gè)班選拔學(xué)生組建一支10人的藍(lán)球隊(duì)，每班至少1人參加，一共有幾種名額分配方案？如果允許部分班級(jí)沒(méi)有選到呢？

分析 構(gòu)造一個(gè)思維模型，把10個(gè)名額設(shè)想成排成一排的10枚棋子，依次分成8個(gè)組，每組至少1枚，可在10枚棋子之間的9個(gè)空隙中選取7個(gè)用插板隔開(kāi)即成8個(gè)組，從左到右的每組棋子枚數(shù)就等于分配給相應(yīng)各個(gè)班的名額數(shù)，因此共有7 C36=種分配方案.

如果允許部分班級(jí)沒(méi)有選到即部分班級(jí)的名額數(shù)為0，用對(duì)應(yīng)思想進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，考慮每個(gè)班各增加一個(gè)名額，8個(gè)班共增加8個(gè)名額，于是問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：從8個(gè)班中選拔10+8=18人，每班至少1人，有幾種名額分配方案？可把18個(gè)名額設(shè)想成排成一排的18枚棋子，從棋子之間的17個(gè)空隙中選7個(gè)空隙用插板隔開(kāi)，將其依次分成8個(gè)組，有7

C種不同的名額分配方案.

對(duì)上述特例歸納總結(jié)可編制一個(gè)：

一般性問(wèn)題：將m個(gè)名額分到n個(gè)單位去，每個(gè)單位至少r個(gè)名額（m，n是正整數(shù)，r是非負(fù)整數(shù)，且mnr≥），有幾種不同的分配方案？

例1 在一次工資套改中，編號(hào)為k（ k =1， 2， 3， 4，5， 6， 7， 8）的8位職工的工資f（ k ）取自于1600、1650、1750、1900、2100、2300等六個(gè)檔次，且滿足f（ k ）≤f（ k+1），這8位職工工資的所有可能情況的種數(shù)是多少？

解法1與解法2都是正確的，說(shuō)明這兩個(gè)等式是成立的.再取若干組具體數(shù)字驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)等式是成立的.但如何用純組合知識(shí)證明這兩個(gè)等式真假？筆者還未能實(shí)現(xiàn)，盼望有興趣者探證之！

參考文獻(xiàn)

[1]朱麗強(qiáng).一個(gè)組合問(wèn)題的解法.數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（1）：45