“數據的集中趨勢和離散程度”這一章中，我們學習了平均數、眾數、中位數、極差、方差等概念，并利用它們來分析數據的集中趨勢和離散程度. 其中平均數、中位數、眾數都能刻畫數據的集中趨勢，極差和方差都能描述一組數據的離散程度. 但在解決實際問題時，根據決策的目的和實際意義，我們需要選擇不同的統(tǒng)計量作為決策的依據，那么如何根據實際需要來恰當地進行選擇呢？

平均數的概率：平均數反映了一組數據中各數據的平均大小，是一組數據的常用指標. 平均數是通過計算得到的，相對而言得到的數據較精確，所以大多數問題中，我們首先參考的統(tǒng)計量是平均數. 但是正因為它會隨每一個數據的變化而變化，所以容易受數據中極端數值的影響. 例如：在某項比賽中10個評委打分，其中9個評委的分數都差不多，但有一個評委分數特別低，計算出的平均數就會“失真”，這時的平均數就不能很好地反映平均實際水平，所以用這10個數據判分時，總要去掉一個最高分和一個最低分，再用其余的8個數據的平均值作為最后得分，現在這已是人們的常識了.

中位數的概念：是一組數據中最中間位置的數（奇數個數據時）或最中間的兩個數的平均數（偶數個數據時），所以中位數可以反映一組數據的中間位置水平.中位數是通過排序得到的，在一組數據的數值排序中處中間的位置，它不受最大、最小兩個極端數值的影響. 因此當一組數據中的個別數據變動較大時，我們常用中位數來描述這組數據的集中趨勢.

【典型例題】（2013·深圳）某校有21名同學參加比賽，預賽成績各不相同，要取前11名參加決賽，小穎已經知道了自己的成績，她想知道自己能否進入決賽，只需再知道這21名同學成績的（ ）.

A. 最高分 B. 中位數

C. 極差 D. 平均數

【解析】21個數據從小到大排列，小穎想知道自己能否進入決賽，只要知道她的預賽成績所在的位置是在第11位之前或之后即可. 而排列以后的第11位同學的成績正好是這組數據的中位數. 故她只要知道這21名同學成績的中位數即可.

眾數的概念：一組數據中出現次數最多的那個數據，叫做這組數據的眾數. 眾數的特點：①眾數在一組數據中出現的次數最多；②眾數反映了一組數據的集中趨勢，眾數出現的次數越多，它就越能代表這組數據的整體狀況，并且通過它能比較直觀地了解到一組數據的大致情況. 日常生活中諸如“最佳”、“最受歡迎”、“最滿意”等，都與眾數有關系，它反映了一種最普遍的傾向. 如果一組數據的眾數出現的次數不具明顯優(yōu)勢，用它來反映一組數據的典型水平就不大可靠了.

【典型例題】為籌備班級元旦聯歡晚會，班長對全班同學愛吃什么水果作了民意調查，再決定買哪種水果. 下面的調查數據中，他最應該關注的是（ ）.

A. 平均數 B. 眾數

C. 中位數 D. 加權平均數

【解析】決定買哪種水果，用生活中的經驗“少數服從多數”，而這里的“多數”實際上就是眾數的概念，所以在這個問題中，決策的依據是眾數.

極差的概念：極差是一組數據的最大值與最小值的差，它計算方便，只對極端值敏感，只是粗略反映了這組數據的變化范圍，在一定程度上描述了這組數據的離散程度. 所以在決策中極差的作用并不是很大.

方差的概念：方差是指各數據與平均數的差的平方的平均數，表示一組數據的波動性的大小的指標，因此方差可以判斷一組數據的穩(wěn)定性. 方差越大，數據越不穩(wěn)定；方差越小，數據越穩(wěn)定. 所以要比較穩(wěn)定性，一般會借助方差.

【典型例題】（2013·重慶）某特警隊為了選拔“神槍手”，舉行了1 000米射擊比賽，最后由甲、乙兩名戰(zhàn)士進入決賽，兩人各射靶10次，經過統(tǒng)計計算，甲、乙兩名戰(zhàn)士的總成績都是99.68環(huán)，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21. 則下列說法中，正確的是（ ）.

A. 甲的成績比乙的成績穩(wěn)定

B. 乙的成績比甲的成績穩(wěn)定

C. 甲、乙兩人成績的穩(wěn)定性相同

D. 無法確定誰的成績更穩(wěn)定

【解析】根據方差的意義，方差越小波動越小，越接近平均數，成績就越穩(wěn)定. 因為甲的方差0.28>乙的方差0.21，所以乙的成績比甲的成績穩(wěn)定. 考察幾組數據的穩(wěn)定程度其實質就是比較它們的方差，平均數相同或相差不大時，方差越小，這組數據就越穩(wěn)定.

實際上我們在一個問題中，并不是只考慮一個統(tǒng)計量，往往同時計算并分析幾個統(tǒng)計量，除了上面提到的五個基本統(tǒng)計量以外，有時還會考慮優(yōu)秀率、合格率等概念，甚至從不同的統(tǒng)計量進行分析，會得到不同的結論.

【典型例題】（2013·江蘇揚州）為聲援揚州“運河申遺”，某校舉辦了一次運河知識競賽，滿分10分，學生得分均為整數，成績達到6分以上（包括6分）為合格，達到9分以上（包括9分）為優(yōu)秀. 這次競賽中甲、乙兩組學生成績分布的條形統(tǒng)計圖如圖所示.

（1） 補充完成下面的成績統(tǒng)計分析表：

（2） 小明同學說：“這次競賽我得了7分，在我們小組中排名屬中游偏上！”觀察上表可知，小明是______組的學生. （填“甲”或“乙”）

（3） 甲組同學說他們組的合格率、優(yōu)秀率均高于乙組，所以他們組的成績好于乙組. 但乙組同學不同意甲組同學的說法，認為他們組的成績要好于甲組，請你給出兩條支持乙組同學觀點的理由.

【解析】（1） 將甲組成績按照從小到大的順序排列，找出第5、6個成績，求出平均數即為甲組的中位數；找出乙組成績，求出乙組的平均分，填表即可；

（2） 觀察表格，成績?yōu)?分處于中游略偏上，應為甲組的學生；

（3） 乙組的平均分高于甲組，中位數高于甲組，方差小于甲組，所以乙組成績好于甲組.

【答案】（1） 乙平均分：8.1；甲中位數：6；（2） 甲；（3） ①乙組同學平均分高于甲組；②乙組同學的方差小，比甲組穩(wěn)定，而且集中在中上游，所以支持乙組同學的觀點.

總之，平均數、中位數、眾數、極差、方差是從不同的角度描述數據的統(tǒng)計量，可謂“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”. 在利用統(tǒng)計的結果進行決策時，首先要弄清不同統(tǒng)計量之間的聯系和區(qū)別，要弄清不同統(tǒng)計量的內涵，然后結合問題的背景、進行決策的目的和意義，選擇恰當的統(tǒng)計量對數據進行分析，最后作出正確的決策. （作者單位：江蘇省無錫市江南中學）